Espacio uniformemente convexo

En matemáticas , los espacios uniformemente convexos (o espacios uniformemente redondos ) son ejemplos comunes de espacios de Banach reflexivos . El concepto de convexidad uniforme fue introducido por primera vez por James A. Clarkson en 1936.

Un espacio uniformemente convexo es un espacio vectorial normado tal que, para todo${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$hay algo${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que para cualesquiera dos vectores con${\displaystyle \|x\|=1}$y${\displaystyle \|y\|=1,}$la condición

${\displaystyle \|xy\|\geq \varepsilon }$

implica que:

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta .}$

Intuitivamente, el centro de un segmento de línea dentro de la esfera unitaria debe estar muy adentro de la esfera unitaria, a menos que el segmento sea corto.

• La esfera unitaria puede ser reemplazada por la bola unitaria cerrada en la definición. Es decir, un espacio vectorial normado.${\displaystyle X}$es uniformemente convexa si y solo si para cada${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$hay algo${\displaystyle \delta >0}$de modo que, para cualesquiera dos vectores${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en la bola de unidad cerrada (es decir,${\displaystyle \|x\|\leq 1}$y${\displaystyle \|y\|\leq 1}$) con${\displaystyle \|xy\|\geq \varepsilon }$, uno tiene${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$(tenga en cuenta que, dado${\displaystyle \varepsilon }$, el valor correspondiente de${\displaystyle \delta }$podría ser menor que la proporcionada por la definición original más débil).

• El teorema de Milman-Pettis afirma que todo espacio de Banach uniformemente convexo es reflexivo , mientras que lo contrario no es cierto.
• Todo espacio de Banach uniformemente convexo es un espacio de Radon-Riesz , es decir, si${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$es una sucesión en un espacio de Banach uniformemente convexo que converge débilmente a${\displaystyle f}$y satisface${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|,}$entonces${\displaystyle f_{n}}$converge fuertemente a${\displaystyle f}$, eso es,${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0}$.
• Un espacio Banach${\displaystyle X}$es uniformemente convexa si y solo si su dual${\displaystyle X^{*}}$es uniformemente liso .
• Todo espacio uniformemente convexo es estrictamente convexo . Intuitivamente, la convexidad estricta implica una desigualdad triangular más fuerte.${\displaystyle \|x+y\|<\|x\|+\|y\|}$cuando sea${\displaystyle x,y}$son linealmente independientes, mientras que la convexidad uniforme requiere que esta desigualdad sea uniformemente verdadera.

• Todo espacio con producto interno es uniformemente convexo. ^{[ 1 ]}
• Todo subespacio cerrado de un espacio de Banach uniformemente convexo es uniformemente convexo.
• Las desigualdades de Clarkson implican que los espacios L ^p${\displaystyle (1<p<\infty )}$son uniformemente convexas.
• En cambio,${\displaystyle L^{\infty }}$no es uniformemente convexa.

• Módulo y característica de convexidad
• Función uniformemente convexa
• Espacio uniformemente liso