Integrabilidad uniforme

En matemáticas, la integrabilidad uniforme es un concepto importante en el análisis real , el análisis funcional y la teoría de la medida , y desempeña un papel vital en la teoría de las martingalas .

La integrabilidad uniforme es una extensión de la noción de que una familia de funciones está dominada en${\displaystyle L^{1}}$que es fundamental en la convergencia dominada . Varios libros de texto sobre análisis real y teoría de la medida utilizan la siguiente definición: ^{[ 1 ]}

Definición A: Sea${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ser un espacio de medida positivo . Un conjunto${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu)}$se denomina uniformemente integrable si${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L^{1}(\mu )}<\infty }$y a cada uno${\displaystyle \varepsilon >0}$allí corresponde un${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que

${\displaystyle \int _ {E}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

cuando sea${\displaystyle f\in \Phi }$y${\displaystyle \mu (E)<\delta.}$

La definición A es bastante restrictiva para espacios de medida infinitos. GA Hunt introdujo una definición más general ^{[ 2 ]} de integrabilidad uniforme que funciona bien en espacios de medida generales .

Definición H: Sea${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ser un espacio de medida positivo. Un conjunto${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu)}$se denomina uniformemente integrable si y solo si

${\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>g\}}|f|\,d\mu =0}$

dónde${\displaystyle L_{+}^{1}(\mu )=\{g\in L^{1}(\mu ):g\geq 0\}}$.

Dado que la definición de Hunt es equivalente a la Definición A cuando el espacio de medida subyacente es finito (véase el Teorema 2 a continuación), la Definición H se adopta ampliamente en Matemáticas.

El siguiente resultado ^{[ 3 ]} proporciona otra noción equivalente a la de Hunt. Esta equivalencia se utiliza a veces como definición de integrabilidad uniforme.

Teorema 1: Si${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$es un espacio de medida finito (positivo), entonces un conjunto${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu)}$es uniformemente integrable si y solo si

${\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-g)^{+}\,d\mu =0}$

Si además${\displaystyle \mu (X)<\infty }$, entonces la integrabilidad uniforme es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones

1.${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-a)_{+}\,d\mu =0}$.

2.${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0}$

Cuando el espacio subyacente${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$es${\displaystyle \sigma }$-finito, la definición de Hunt es equivalente a la siguiente:

Teorema 2: Sea${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ser un${\displaystyle \sigma }$-espacio de medida finita y${\displaystyle h\in L^{1}(\mu )}$ser tal que${\displaystyle h>0}$casi en todas partes. Un conjunto${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu)}$es uniformemente integrable si y solo si${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L^{1}(\mu )}<\infty }$y para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que

${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

cuando sea${\displaystyle \int _{A}h\,d\mu <\delta }$.

Una consecuencia de los Teoremas 1 y 2 es que se deduce la equivalencia de las Definiciones A y H para medidas finitas. En efecto, la afirmación de la Definición A se obtiene tomando${\displaystyle h\equiv 1}$en el Teorema 2.

Otro concepto asociado con la integrabilidad uniforme es el de compacidad . En este artículo, la compacidad se considera en un contexto más general.

Definición: Supongamos${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$es un espacio de medida. Sea${\displaystyle {\mathcal {K}}\subset {\mathfrak {M}}}$ser una colección de conjuntos de medida finita. Una familia${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu)}$Se dice que es estricto con respecto a${\displaystyle {\mathcal {K}}}$si

${\displaystyle \inf _{K\in {\mathcal {K}}}\sup _{f\in \Phi }\int _{X\setminus K}|f|\,d\mu =0}$

Cuando${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathfrak {M}}\cap L^{1}(\mu )}$,${\displaystyle \Phi }$Simplemente se dice que está apretado .

Cuando el espacio de medición${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$es un espacio métrico equipado con el Borel${\displaystyle \sigma }$álgebra, ${\displaystyle \mu }$es una medida regular y${\displaystyle {\mathcal {K}}}$es la colección de todos los subconjuntos compactos de${\displaystyle X}$, la noción de${\displaystyle {\mathcal {K}}}$La rigidez descrita anteriormente coincide con el concepto bien conocido de rigidez utilizado en el análisis de medidas regulares en espacios métricos.

Para${\displaystyle \sigma }$-espacios de medida finita, se puede demostrar que si una familia${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$es uniformemente integrable, entonces${\displaystyle \Phi }$es ajustado. Esto se refleja en el siguiente resultado, que se utiliza a menudo como definición de integrabilidad uniforme en la literatura de análisis:

Teorema 3: Supongamos que${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$es un${\displaystyle \sigma }$-espacio de medida finita. Una familia${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$es uniformemente integrable si y solo si

1. ${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{1}<\infty }$.
2. ${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0}$
3. ${\displaystyle \Phi }$está apretado.

Cuando${\displaystyle \mu (X)<\infty }$La condición 3 es redundante (véase el Teorema 1 anterior).

En muchos libros de análisis ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} , la condición 2 del Teorema 3 se reemplaza a menudo por otra condición llamada equiintegrabilidad :

Definición: Una familia${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de funciones medibles de valor complejo o real es equiintegrable (o uniformemente absolutamente continua con respecto a una medida)${\displaystyle \mu }$) si para alguno${\displaystyle \varepsilon >0}$hay${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que $${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {C}}}\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon \qquad {\text{whenever}}\qquad \mu (A)<\delta }$$

El teorema 3 dice entonces que la equiintegrabilidad junto con${\displaystyle L^{1}}$La acotación y la rigidez (condiciones (1) y (3) en el Teorema 3) son equivalentes a la integrabilidad uniforme .

Los siguientes teoremas describen criterios muy útiles para la integrabilidad uniforme, que tienen numerosas aplicaciones en Análisis y Probabilidad.

Teorema de la Vallée-Poussin ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Suponer${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$es un espacio de medida finito. La familia${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(\mu )}$es uniformemente integrable si y solo si existe una función${\displaystyle G:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$de tal manera que${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty }$y $${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{X}G(|f|)\,d\mu <\infty .}$$La función${\displaystyle G}$puede elegirse para que sea monótona creciente y convexa.

La integrabilidad uniforme proporciona una caracterización de la compacidad débil en${\displaystyle L^{1}}$.

Teorema de Dunford - Pettis ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Suponer${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$es un${\displaystyle \sigma }$-medida finita. Una familia${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(\mu )}$tiene cierre compacto en la topología débil${\displaystyle \sigma (L^{1},L^{\infty })}$si y solo si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es uniformemente integrable.

En teoría de la probabilidad , la Definición A o el enunciado del Teorema 1 se presentan a menudo como definiciones de integrabilidad uniforme utilizando la notación de esperanza de variables aleatorias, ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} es decir,

1. Una clase${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Una matriz de variables aleatorias se denomina uniformemente integrable si:

• Existe un número finito${\displaystyle M}$de tal manera que, para cada${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)\leq M}$y
• Por cada${\displaystyle \varepsilon >0}$existe${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que, para cada medida${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle P(A)\leq \delta }$y cada${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon }$.

o alternativamente

2. Una clase${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Un conjunto de variables aleatorias se denomina uniformemente integrable (UI) si para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$existe${\displaystyle K\in [0,\infty )}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ for all }}X\in {\mathcal {C}}}$, dónde${\displaystyle I_{|X|\geq K}}$es la función indicadora${\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\end{cases}}}$.

Los siguientes resultados se aplican a la definición probabilística. ^{[ 15 ]}

• La definición 1 podría reescribirse tomando los límites como$${\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})=0.}$$
• Una secuencia no UI. Deje${\displaystyle \Omega =[0,1]\subset \mathbb {R} }$y definir$${\displaystyle X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$Claramente${\displaystyle X_{n}\in L^{1}}$y de hecho${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,}$para todo n . Sin embargo,$${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|I_{\{|X_{n}|\geq K\}})=1\ {\text{ for all }}n\geq K,}$$y al comparar con la definición 1, se observa que la secuencia no es uniformemente integrable.

• Al utilizar la Definición 2 en el ejemplo anterior, se puede ver que la primera cláusula se satisface como${\displaystyle L^{1}}$norma de todos${\displaystyle X_{n}}$s son 1, es decir, limitados. Pero la segunda cláusula no se cumple como dado ningún${\displaystyle \delta }$positivo, hay un intervalo${\displaystyle (0,1/n)}$con medida menor que${\displaystyle \delta }$y${\displaystyle E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1}$a pesar de${\displaystyle m\geq n}$.
• Si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria de la interfaz de usuario , mediante la división$${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|\geq K\}})+\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|<K\}})}$$y acotando cada uno de los dos, se puede ver que una variable aleatoria uniformemente integrable siempre está acotada en${\displaystyle L^{1}}$.
• Si alguna secuencia de variables aleatorias${\displaystyle X_{n}}$está dominado por un integrable no negativo${\displaystyle Y}$: es decir, para todo ω y n ,$${\displaystyle |X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega ),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,}$$luego la clase${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de variables aleatorias${\displaystyle \{X_{n}\}}$es uniformemente integrable.
• Una clase de variables aleatorias acotadas en${\displaystyle L^{p}}$(${\displaystyle p>1}$) es uniformemente integrable.

Una familia de variables aleatorias${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$es uniformemente integrable si y solo si ^{[ 16 ]} existe una variable aleatoria ${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle EX<\infty }$y ${\displaystyle |X_{i}|\leq _{\mathrm {icx} }X}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$, dónde ${\displaystyle \leq _{\mathrm {icx} }}$denota el orden estocástico convexo creciente definido por ${\displaystyle A\leq _{\mathrm {icx} }B}$si${\displaystyle E\phi (A)\leq E\phi (B)}$para todas las funciones reales convexas no decrecientes${\displaystyle \phi }$.

Una secuencia${\displaystyle \{X_{n}\}}$converge a${\displaystyle X}$en el${\displaystyle L^{1}}$norma si y solo si converge en medida a${\displaystyle X}$y es uniformemente integrable. En términos de probabilidad, una secuencia de variables aleatorias que converge en probabilidad también converge en la media si y solo si son uniformemente integrables. ^{[ 17 ]} Esta es una generalización del teorema de convergencia dominada de Lebesgue , véase el teorema de convergencia de Vitali .

• Shiryaev, AN (1995). Probabilidad (2  ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 187-188 . ISBN  978-0-387-94549-1.
• Diestel, J. y Uhl, J. (1977). Medidas vectoriales , Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1