Unión (teoría de conjuntos)

En teoría de conjuntos , la unión (denotada por ∪) de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de la colección. ^{[ 1 ]} Es una de las operaciones fundamentales mediante las cuales los conjuntos pueden combinarse y relacionarse entre sí.La unión nula se refiere a una unión decero ( ⁠${\displaystyle 0}$) conjuntos ypor definición es igual alconjunto vacío.

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A , en B , o en ambos A y B. ^{[ 2 ]} En notación de construcción de conjuntos ,

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ o }}x\in B\}}$. ^{[ 3 ]}

Por ejemplo, si A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 4, 6, 7}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un ejemplo más elaborado (que involucra dos conjuntos infinitos) es:

A = { x es un número entero par mayor que 1 }

B = { x es un número entero impar mayor que 1 }

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

Como otro ejemplo, el número 9 no está contenido en la unión del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10, ...} , porque 9 no es ni primo ni par.

Los conjuntos no pueden tener elementos duplicados, ^{[ 3 ] [ 4 ]} por lo que la unión de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {1, 2, 3, 4} .

La notación para el concepto general puede variar considerablemente. Para una unión finita de conjuntos${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$uno escribe a menudo${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$o${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$. Varias notaciones comunes para uniones arbitrarias incluyen:${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$,${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$, y${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$La última de estas anotaciones se refiere a la unión de la colección.${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$, donde I es un conjunto de índices y${\displaystyle A_{i}}$es un conjunto para cada${\displaystyle i\in I}$⁠ . En el caso de que el conjunto de índices I sea el conjunto de los números naturales , se utiliza la notación${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$, lo cual es análogo a la de las sumas infinitas en series. ^{[ 7 ]}

Cuando el símbolo "∪" se coloca antes de otros símbolos (en lugar de entre ellos), generalmente se muestra con un tamaño mayor.

La noción más general es la unión de una colección arbitraria de conjuntos, a veces llamada unión infinitaria . Si M es un conjunto o clase cuyos elementos son conjuntos, entonces x es un elemento de la unión de M si y solo si existe al menos un elemento A de M tal que x es un elemento de A. ^{[ 7 ]} En símbolos:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Esta idea engloba las secciones anteriores; por ejemplo, A ∪ B ∪ C es la unión de la colección { A , B , C } . Además, si M es la colección vacía, entonces la unión de M es el conjunto vacío.

La unión binaria es una operación asociativa ; es decir, para cualquier conjunto ⁠${\displaystyle A,B,{\text{ and }}C}$⁠ , $${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$ Por lo tanto, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de las anteriores puede escribirse como ⁠${\displaystyle A\cup B\cup C}$⁠ . Además, la unión es conmutativa , por lo que los conjuntos se pueden escribir en cualquier orden. ^{[ 9 ]} El conjunto vacío es un elemento neutro para la operación de unión. Es decir, ⁠${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$⁠ , para cualquier conjunto ⁠${\displaystyle A}$⁠ . Además, la operación de unión es idempotente: ⁠${\displaystyle A\cup A=A}$Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la disyunción lógica .

La intersección se distribuye sobre la unión $${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$ y la unión se distribuye sobre la intersección ^{[ 2 ]}$${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$ El conjunto potencia de un conjunto${\displaystyle U}$⁠ , junto con las operaciones dadas por la unión, la intersección y la complementación , es un álgebra booleana . En esta álgebra booleana, la unión se puede expresar en términos de intersección y complementación mediante la fórmula $${\displaystyle A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },}$$ donde el superíndice${\displaystyle {}^{\complement }}$denota el complemento en el conjunto universal .${\displaystyle U}$Alternativamente , la intersección puede expresarse en términos de unión y complementación de manera similar:${\displaystyle A\cap B=(A^{\complement }\cup B^{\complement })^{\complement }}$Estas dos expresiones juntas se denominan leyes de De Morgan . ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

La palabra inglesa union proviene del término en francés medio que significa "unión", que a su vez proviene del latín posclásico unionem , "unidad". ^{[ 13 ]} El término original para unión en teoría de conjuntos era Vereinigung (en alemán), introducido en 1895 por Georg Cantor . ^{[ 14 ]} El uso inglés de unión de dos conjuntos en matemáticas comenzó a utilizarse al menos en 1912, por James Pierpont . ^{[ 15 ] [ 16 ]} El símbolo${\displaystyle \cup }$La notación utilizada para la unión en matemáticas fue introducida por Giuseppe Peano en sus Arithmetices principia en 1889, junto con las notaciones para la intersección.${\displaystyle \cap }$, establecer membresía${\displaystyle \in }$y subconjuntos${\displaystyle \subset }$. ^{[ 17 ]}

• Álgebra de conjuntos : identidades y relaciones que involucran conjuntos. 
• Alternancia (teoría del lenguaje formal) − la unión de conjuntos de cadenas
• Axioma de unión : concepto en la teoría axiomática de conjuntos. 
• Unión disjunta – En matemáticas, operación sobre conjuntos 
• Principio de inclusión-exclusión : técnica de conteo en combinatoria. 
• Intersección (teoría de conjuntos) : conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos. 
• Operación binaria iterada : aplicación repetida de una operación a una secuencia. 
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos – Igualdades para combinaciones de conjuntos 
• Teoría ingenua de conjuntos – Teorías informales de conjuntos 
• Diferencia simétrica : elementos que pertenecen exactamente a uno de dos conjuntos. 

• "Unión de conjuntos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Unión e intersección infinitas en ProvenMath. Las leyes de De Morgan demostradas formalmente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.