hipérbola unitaria

En geometría , la hipérbola unitaria es el conjunto de puntos${\displaystyle (x,y)}$en el plano cartesiano que satisfacen la ecuación implícita${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$En el estudio de grupos ortogonales indefinidos , la hipérbola unitaria constituye la base para una longitud radial alternativa .${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}}$.

Mientras que el círculo unitario rodea su centro, la hipérbola unitaria requiere la hipérbola conjugada.${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$para complementarlo en el plano. Este par de hipérbolas comparten las asíntotas y = x e y = − x . Cuando se utiliza la hipérbola conjugada de la hipérbola unitaria, la longitud radial alternativa es${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.}$

La hipérbola unitaria es un caso especial de la hipérbola rectangular , con una orientación , ubicación y escala particulares . Como tal, su excentricidad es igual a${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}.}$^{[ 1 ]}

La hipérbola unitaria encuentra aplicaciones donde el círculo debe reemplazarse por la hipérbola para fines de geometría analítica. Un ejemplo destacado es la representación del espacio-tiempo como un espacio pseudo-euclidiano . Allí, las asíntotas de la hipérbola unitaria forman un cono de luz . Además, la atención prestada por Gregoire de Saint-Vincent a las áreas de sectores hiperbólicos condujo a la función logaritmo y a la parametrización moderna de la hipérbola mediante áreas de sectores. Cuando se comprenden las nociones de hipérbolas conjugadas y ángulos hiperbólicos, los números complejos clásicos , que se construyen alrededor del círculo unitario, pueden reemplazarse por números construidos alrededor de la hipérbola unitaria.

Generalmente se dice que las líneas asintóticas a una curva convergen hacia ella. En geometría algebraica y teoría de curvas algebraicas existe un enfoque diferente para las asíntotas. La curva se interpreta primero en el plano proyectivo usando coordenadas homogéneas . Luego, las asíntotas son líneas tangentes a la curva proyectiva en un punto en el infinito , evitando así la necesidad de un concepto de distancia y convergencia. En un marco común, ( x, y, z ) son coordenadas homogéneas con la línea en el infinito determinada por la ecuación z = 0. Por ejemplo, CG Gibson escribió: ^{[ 2 ]}

Para la hipérbola rectangular estándar${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}-1}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, la curva proyectiva correspondiente es${\displaystyle F=x^{2}-y^{2}-z^{2},}$que se encuentra con z = 0 en los puntos P = (1  : 1  : 0) y Q = (1  : − 1  : 0). Tanto P como Q son simples en F , con tangentes x + y = 0, x − y = 0; de esta manera recuperamos las conocidas 'asíntotas' de la geometría elemental.

El diagrama de Minkowski , o diagrama espacio-temporal, se dibuja en un plano espacio-temporal donde el aspecto espacial se ha restringido a una sola dimensión. Los diagramas espacio-temporales muestran la geometría subyacente a fenómenos como la dilatación del tiempo. Las unidades de distancia y tiempo en dicho plano son:

• unidades de 30 centímetros de longitud y nanosegundos , o
• unidades astronómicas e intervalos de 8 minutos y 20 segundos, o
• años luz y años .

Cada una de estas escalas de coordenadas da como resultado conexiones de fotones de eventos a lo largo de líneas diagonales con pendiente más o menos uno. Cinco elementos constituyen el diagrama que Hermann Minkowski utilizó para describir las transformaciones de la relatividad: la hipérbola unitaria, su hipérbola conjugada , los ejes de la hipérbola, un diámetro de la hipérbola unitaria y el diámetro conjugado . El plano con los ejes se refiere a un marco de referencia en reposo . El diámetro de la hipérbola unitaria representa un marco de referencia en movimiento con rapidez a donde tanh a = y / x y ( x , y ) es el punto final del diámetro en la hipérbola unitaria. El diámetro conjugado representa el hiperplano espacial de simultaneidad correspondiente a la rapidez a . En este contexto, la hipérbola unitaria es una hipérbola de calibración ^{[ 3 ] [ 4 ]} Comúnmente en el estudio de la relatividad se toma como primaria la hipérbola con eje vertical:

La flecha del tiempo va de abajo hacia arriba en la figura, una convención adoptada por Richard Feynman en sus famosos diagramas. El espacio está representado por planos perpendiculares al eje del tiempo. El aquí y ahora es una singularidad en el centro. ^{[ 5 ]}

La convención del eje temporal vertical proviene de Minkowski en 1908, y también se ilustra en la página 48 de * La naturaleza del mundo físico* de Eddington (1928).

Una forma directa de parametrizar la hipérbola unitaria comienza con la hipérbola xy = 1 parametrizada con la función exponencial :${\displaystyle (e^{t},e^{-t}).}$

Esta hipérbola se transforma en la hipérbola unitaria mediante una transformación lineal que tiene la matriz${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\$ :}

${\displaystyle (e^{t},e^{-t})\ A=\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)=(\cosh t,\sinh t).}$

Este parámetro t es el ángulo hiperbólico , que es el argumento de las funciones hiperbólicas .

Una expresión temprana de la hipérbola unitaria parametrizada se encuentra en Elementos de Dinámica (1878) de W. K. Clifford . Él describe el movimiento cuasi-armónico en una hipérbola de la siguiente manera:

La moción${\displaystyle \rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )}$tiene algunas analogías curiosas con el movimiento armónico elíptico. ... La aceleración${\displaystyle {\ddot {\rho }}=n^{2}\rho \$ ;} por lo tanto, siempre es proporcional a la distancia desde el centro, como en el movimiento armónico elíptico, pero dirigido en dirección opuesta al centro. ^{[ 6 ]}

Como cónica particular , la hipérbola puede parametrizarse mediante el proceso de adición de puntos sobre una cónica. La siguiente descripción fue proporcionada por analistas rusos:

Fijemos un punto E en la cónica. Consideremos que los puntos en los que la línea recta trazada a través de E paralela a AB interseca la cónica por segunda vez son la suma de los puntos A y B.

Para la hipérbola${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$con el punto fijo E = (1,0) la suma de los puntos${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$y${\displaystyle (x_{2},\ y_{2})}$ese es el punto${\ Displaystyle (x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2}, y_ {1} x_ {2} + y_ {2} x_ {1})}$bajo la parametrización${\displaystyle x=\cosh \ t}$y${\displaystyle y=\sinh \ t}$Esta adición corresponde a la adición del parámetro t . ^{[ 7 ]}

Mientras que el círculo unitario se asocia con los números complejos , la hipérbola unitaria es clave para el plano ^de los números complejos divididos , que consiste en z = x + yj , donde j² = +1. Entonces jz = y + xj , por lo que la acción de j sobre el plano consiste en intercambiar las coordenadas. En particular, esta acción intercambia la hipérbola unitaria con su conjugada e intercambia pares de diámetros conjugados de las hipérbolas.

En términos del parámetro de ángulo hiperbólico a , la hipérbola unitaria consta de puntos

${\displaystyle \pm (\cosh a+j\sinh a)}$, donde j = (0,1).

La rama derecha de la hipérbola unitaria corresponde al coeficiente positivo. De hecho, esta rama es la imagen del mapa exponencial que actúa sobre el eje j . Por lo tanto, esta rama es la curva${\displaystyle f(a)=\exp(aj).}$La pendiente de la curva en a viene dada por la derivada

${\displaystyle f^{\prime }(a)=\sinh a+j\cosh a=jf(a).}$Para cualquier a ,${\displaystyle f^{\prime }(a}$) es hiperbólicamente ortogonal a${\displaystyle f(a)}$. Esta relación es análoga a la perpendicularidad de exp( a i) e i exp( a i) cuando i ² = − 1.

Desde${\displaystyle \exp(aj)\exp(bj)=\exp((a+b)j)}$, la rama es un grupo bajo multiplicación.

A diferencia del grupo del círculo , este grupo de la hipérbola unitaria no es compacto . De forma similar al plano complejo ordinario, un punto que no se encuentra en las diagonales tiene una descomposición polar que utiliza la parametrización de la hipérbola unitaria y la longitud radial alternativa.

• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations , Figura 4.33, página 70, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1.