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Articulo de referencia

Matriz unitaria

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En álgebra lineal , una matriz cuadrada compleja invertible U es unitaria si su matriz inversa U −1 es igual a su transpuesta conjugada U * , es decir, si

U∗U=UU∗=I,{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}

donde I es la matriz identidad .

En física , especialmente en mecánica cuántica , la transpuesta conjugada se denomina adjunta hermitiana de una matriz y se denota con una daga ( ⁠†{\displaystyle \dagger }⁠ ), por lo que la ecuación anterior se escribe

U†U=UU†=I.{\displaystyle U^{\daga }U=UU^{\daga }=I.}

Una matriz compleja U es unitaria especial si es unitaria y su determinante matricial es igual a 1 .

Para números reales , el análogo de una matriz unitaria es una matriz ortogonal . Las matrices unitarias tienen una importancia significativa en mecánica cuántica porque preservan la normalización de los vectores de estado y los productos internos entre ellos. [ 1 ] [ 2 ]

Propiedades

Para cualquier matriz unitaria U de tamaño finito, se cumplen las siguientes condiciones:

Para cualquier entero no negativo n , el conjunto de todas las matrices unitarias n × n con multiplicación de matrices forma un grupo , llamado grupo unitario U( n ) .

Toda matriz cuadrada con norma euclidiana unitaria es el promedio de dos matrices unitarias. [ 3 ]

Condiciones equivalentes

Si U es una matriz cuadrada compleja, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: [ 4 ]

  1. U{\displaystyle U}es unitario.
  2. U∗{\displaystyle U^{*}} es unitario.
  3. U{\displaystyle U}es invertible conU−1=U∗{\displaystyle U^{-1}=U^{*}}.
  4. Las columnas deU{\displaystyle U}formar una base ortonormal dedonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}con respecto al producto interno usual. En otras palabras,U∗U=I{\displaystyle U^{*}U=I}.
  5. Las filas deU{\displaystyle U}formar una base ortonormal dedonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}con respecto al producto interno usual. En otras palabras,UU∗=I{\displaystyle UU^{*}=I}.
  6. U{\displaystyle U}es una isometría con respecto a la norma usual. Es decir,‖Uincógnita‖2=‖incógnita‖2{\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}a pesar deincógnita∈donorte{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}, dónde‖incógnita‖2=∑i=1norte|incógnitai|2{\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}.
  7. U{\displaystyle U}es una matriz normal (equivalentemente, existe una base ortonormal formada por autovectores deU{\displaystyle U}) con valores propios situados en el círculo unitario.

Construcciones elementales

matriz unitaria de 2 × 2

Una expresión general de una matriz unitaria de 2 × 2 esU=[ab−miiφb∗miiφa∗],|a|2+|b|2=1 ,{\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}

que depende de 4  parámetros reales (la fase de a , la fase de b , la magnitud relativa entre a y b , y el ángulo φ ) y * es el conjugado complejo . La forma está configurada de manera que el determinante de dicha matriz es det(U)=miiφ .{\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}

El subgrupo de esos elementosU{\displaystyle U}condet(U)=1{\displaystyle \det(U)=1}se denomina grupo unitario especial SU(2).

Entre varias formas alternativas, la matriz U se puede escribir de esta forma:  U=miiφ/2[miiαporque⁡θmiiβpecado⁡θ−mi−iβpecado⁡θmi−iαporque⁡θ] ,{\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}

dóndemiiαporque⁡θ=a{\displaystyle e^{i\alpha }\cos \theta =a}ymiiβpecado⁡θ=b,{\displaystyle e^{i\beta }\sin \theta =b,}arriba, y los ángulosφ,α,β,θ{\displaystyle \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta }puede tomar cualquier valor.

Al introducirα=ψ+δ{\displaystyle \alpha =\psi +\delta }yβ=ψ−δ,{\displaystyle \beta =\psi -\delta ,}tiene la siguiente factorización:

U=miiφ/2[miiψ00mi−iψ][porque⁡θpecado⁡θ−pecado⁡θporque⁡θ][miiδ00mi−iδ] .{\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}

Esta expresión resalta la relación entre matrices unitarias de 2 × 2 y matrices ortogonales de 2 × 2 de ángulo θ .

Otra factorización es [ 5 ]

U=[porque⁡ρ−pecado⁡ρpecado⁡ρporque⁡ρ][miiξ00miiζ][porque⁡σpecado⁡σ−pecado⁡σporque⁡σ] .{\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}

Son posibles muchas otras factorizaciones de una matriz unitaria en matrices básicas. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Peres, Asher (1993). Teoría cuántica: conceptos y métodos . Teorías fundamentales de la física. Kluwer Academic. págs.  41, 52. ISBN 978-0-7923-2549-9.
  2. ↑ Rieffel, Eleanor ; Polak, Wolfgang (2011). Computación cuántica: una introducción sencilla . Computación científica y de ingeniería. The MIT Press. pág. 72. ISBN  978-0-262-01506-6.
  3. ↑ Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Descomposición aditiva de matrices reales". Álgebra lineal y multilineal . 50 (4): 321– 326. doi : 10.1080/03081080290025507 . S2CID 120125694 . 
  4. ↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial . Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9781139020411 . ISBN 9781139020411.
  5. ↑ Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "Una nota sobre la factorización de matrices unitarias" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 547 : 32– 44. doi : 10.1016/j.laa.2018.02.017 . ISSN 0024-3795 . S2CID 125455174 .  
  6. ↑ Williams, Colin P. (2011). «Puertas cuánticas». En Williams, Colin P. (ed.). Exploraciones en computación cuántica . Textos en ciencias de la computación. Londres, Reino Unido: Springer. pág. 82. doi : 10.1007/978-1-84628-887-6_2 . ISBN  978-1-84628-887-6.
  7. ↑ Nielsen, MA ; Chuang, Isaac (2010). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . pág. 20. ISBN  978-1-10700-217-3OCLC 43641333​​ 
  8. ↑ Barenco, Adriano; Bennett, Charles H.; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P.; Margolus, Norman; Shor, Peter; et al. (1 de noviembre de 1995). "Puertas elementales para computación cuántica". Physical Review A . 52 (5). American Physical Society (APS): 3457– 3467, esp.p. 3465. arXiv : quant-ph/9503016 . Bibcode : 1995PhRvA..52.3457B . doi : 10.1103/physreva.52.3457 . ISSN 1050-2947 . PMID 9912645 . S2CID 8764584 .    
  9. ↑ Marvian, Iman (10 de enero de 2022). "Restricciones en las operaciones unitarias realizables impuestas por la simetría y la localidad" . Nature Physics . 18 (3): 283– 289. arXiv : 2003.05524 . Bibcode : 2022NatPh..18..283M . doi : 10.1038/s41567-021-01464-0 . ISSN 1745-2481 . S2CID 245840243 .  
  10. ↑ Jarlskog, Cecilia (2006). "Parametrización recursiva y fases invariantes de matrices unitarias". Journal of Mathematical Physics . 47 (1): 013507. arXiv : math-ph/0510034 . Bibcode : 2006JMP....47a3507J . doi : 10.1063/1.2159069 .
  11. ↑ Alhambra, Álvaro M. (10 de enero de 2022). "Prohibido por la simetría" . Noticias y opiniones. Nature Physics . 18 (3): 235– 236. Bibcode : 2022NatPh..18..235A . doi : 10.1038/s41567-021-01483-x . ISSN 1745-2481 . S2CID 256745894. La física de los sistemas grandes se suele entender como el resultado de las operaciones locales entre sus componentes. Ahora se demuestra que esta imagen puede ser incompleta en sistemas cuánticos cuyas interacciones están restringidas por simetrías.