Operador unitario

En análisis funcional , un operador unitario es un operador sobreyectivo y acotado en un espacio de Hilbert que conserva el producto interno . Ejemplos no triviales incluyen rotaciones, reflexiones y el operador de Fourier . Los operadores unitarios generalizan las matrices unitarias . Generalmente, se considera que los operadores unitarios operan en un espacio de Hilbert, pero esta misma noción sirve para definir el concepto de isomorfismo entre espacios de Hilbert.

Definición 1. Un operador unitario es un operador lineal acotado U  : H → H en un espacio de Hilbert H que satisface U * U = UU * = I , donde U * es el adjunto de U , e I  : H → H es el operador identidad .

La condición más débil U * U = I define una isometría . La otra condición más débil, UU * = I , define una coisometría . Por lo tanto, un operador unitario es un operador lineal acotado que es a la vez una isometría y una coisometría, ^{[ 1 ]} o, equivalentemente, una isometría sobreyectiva . ^{[ 2 ]}

Una definición equivalente es la siguiente:

Definición 2. Un operador unitario es un operador lineal acotado U  : H → H en un espacio de Hilbert H para el cual se cumplen las siguientes condiciones:

• U es sobreyectiva y
• U preserva el producto interno del espacio de Hilbert, H. En otras palabras, para todos los vectores x e y en H tenemos:

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

La noción de isomorfismo en la categoría de espacios de Hilbert se captura si se permite que el dominio y la imagen difieran en esta definición. Las isometrías preservan las secuencias de Cauchy ; por lo tanto, se preserva la propiedad de completitud de los espacios de Hilbert ^{[ 3 ].}

La siguiente definición, aparentemente más débil, también es equivalente:

Definición 3. Un operador unitario es un operador lineal acotado U  : H → H en un espacio de Hilbert H para el cual se cumplen las siguientes condiciones:

• el rango de U es denso en H y
• U preserva el producto interno del espacio de Hilbert, H. En otras palabras, para todos los vectores x e y en H tenemos:

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

Para ver que las definiciones 1 y 3 son equivalentes, observe que U preserva el producto interno implica que U es una isometría (por lo tanto, un operador lineal acotado ). El hecho de que U tenga un rango denso garantiza que tenga un inverso acotado U ⁻¹ . Es claro que U ⁻¹ = U * .

Así, los operadores unitarios son simplemente automorfismos de espacios de Hilbert, es decir, preservan la estructura (la estructura del espacio vectorial, el producto interno y, por lo tanto, la topología ) del espacio sobre el que actúan. El grupo de todos los operadores unitarios de un espacio de Hilbert H dado a sí mismo se denomina a veces grupo de Hilbert de H , denotado por Hilb( H ) o U ( H ) .

• La función identidad es, trivialmente, un operador unitario.
• Las rotaciones en R² son el ejemplo no trivial más sencillo ^de operadores unitarios. Las rotaciones no modifican la longitud de un vector ni el ángulo entre dos vectores. Este ejemplo puede extenderse a R³ . En dimensiones aún mayores, puede extenderse a la rotación de ^Givens .
• Reflexiones, como la transformación de Householder .
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$veces una matriz de Hadamard .
• En general, cualquier operador en un espacio de Hilbert que actúa permutando una base ortonormal es unitario. En el caso de dimensión finita, dichos operadores son las matrices de permutación .
• En el espacio vectorial C de los números complejos , la multiplicación por un número de valor absoluto 1 , es decir, un número de la forma e ^iθ para θ ∈ R , es un operador unitario. θ se denomina fase, y esta multiplicación se denomina multiplicación por una fase. Nótese que el valor de θ módulo 2π no afecta al resultado de la multiplicación, por lo que los operadores unitarios independientes en C están parametrizados por un círculo. El grupo correspondiente, que, como conjunto, es el círculo, se llama U(1) .
• El operador de Fourier es un operador unitario, es decir, el operador que realiza la transformada de Fourier (con la normalización adecuada). Esto se deduce del teorema de Parseval .
• Las puertas lógicas cuánticas son operadores unitarios. No todas las puertas son hermíticas .
• De manera más general, las matrices unitarias son precisamente los operadores unitarios en espacios de Hilbert de dimensión finita , por lo que la noción de operador unitario es una generalización de la noción de matriz unitaria. Las matrices ortogonales son el caso especial de matrices unitarias en las que todas las entradas son reales. ^{[ 4 ]} Son los operadores unitarios en R ⁿ .
• El desplazamiento bilateral en el espacio de secuencias ℓ ² indexado por los enteros es unitario.
• El desplazamiento unilateral (desplazamiento a la derecha) es una isometría; su conjugado (desplazamiento a la izquierda) es una coisometría.
• Los operadores unitarios se utilizan en representaciones unitarias .
• Un elemento unitario es una generalización de un operador unitario. En un álgebra unitaria , un elemento U del álgebra se denomina elemento unitario si U * U = UU * = I , donde I es el elemento identidad multiplicativo . ^{[ 5 ]}
• Cualquier combinación de lo anterior.

El requisito de linealidad en la definición de un operador unitario puede omitirse sin cambiar el significado porque puede derivarse de la linealidad y la positividad definida del producto escalar :

${\displaystyle {\begin{alineado}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\[5pt]&=0\end{aligned}}}$

Análogamente obtenemos

${\displaystyle \|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.}$

• El espectro de un operador unitario U se encuentra en el círculo unitario . Es decir, para cualquier número complejo λ en el espectro, se tiene | λ | = 1. Esto puede verse como una consecuencia del teorema espectral para operadores normales . Según el teorema, U es unitariamente equivalente a la multiplicación por una ^función f medible por Borel en L² ( μ ) , para algún espacio de medida finito ( X , μ ) . Ahora bien , UU * = I implica | f ( x )| ^² = 1 , μ - ae. Esto demuestra que el rango esencial de f , por lo tanto el espectro de U , se encuentra en el círculo unitario.
• Una transformación lineal es unitaria si es sobreyectiva e isométrica. (Utilice la identidad de polarización para mostrar la condición "solo si").

• Antiunitario – Mapa antilineal biyectivo entre dos espacios de Hilbert complejos Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección 
• Arco arrugado
• Puerta lógica cuántica : circuito básico en computación cuántica. 
• Matriz unitaria : matriz compleja cuya transpuesta conjugada es igual a su inversa. 
• Transformación unitaria : endomorfismo que preserva el producto interno. 

• Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.

• Doran, Robert S .; Belfi, Víctor A. (1986). Caracterizaciones de álgebras C *: los teoremas de Gelfand-Naimark . Nueva York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.

• Halmos, Paul (1982). Un libro de problemas sobre espacios de Hilbert . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  19 (2.ª  ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.

• Lang, Serge (1972). Variedades diferenciales . Reading, Mass. – Londres – Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.

• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (Tercera  ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5