Universo (matemáticas)

En matemáticas , y en particular en la teoría de conjuntos , la teoría de categorías , la teoría de tipos y los fundamentos de las matemáticas , un universo es una colección que contiene todas las entidades que uno desea considerar en una situación dada.

En teoría de conjuntos, los universos suelen ser clases que contienen (como elementos ) todos los conjuntos para los que se espera demostrar un teorema en particular . Estas clases pueden servir como modelos internos para diversos sistemas axiomáticos, como la teoría de conjuntos ZFC o la de Morse-Kelley . Los universos son de vital importancia para formalizar conceptos en teoría de categorías dentro de los fundamentos de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, el ejemplo canónico que motiva una categoría es Set , la categoría de todos los conjuntos, que no puede formalizarse en una teoría de conjuntos sin alguna noción de universo.

En la teoría de tipos, un universo es un tipo cuyos elementos son tipos.

Quizás la versión más simple sea que cualquier conjunto puede ser un universo, siempre que el objeto de estudio se limite a ese conjunto en particular. Si el objeto de estudio está formado por los números reales , entonces la recta real R , que es el conjunto de los números reales, podría ser el universo en cuestión. Implícitamente, este es el universo que Georg Cantor utilizó cuando desarrolló por primera vez la teoría de conjuntos ingenua moderna y la cardinalidad en las décadas de 1870 y 1880 en aplicaciones al análisis real . Los únicos conjuntos que interesaban originalmente a Cantor eran subconjuntos de R.

Este concepto de universo se refleja en el uso de diagramas de Venn . En un diagrama de Venn, la acción tradicionalmente tiene lugar dentro de un gran rectángulo que representa el universo U. Generalmente se dice que los conjuntos se representan mediante círculos; pero estos conjuntos solo pueden ser subconjuntos de U. El complemento de un conjunto A viene dado entonces por la porción del rectángulo que queda fuera del círculo de A. Estrictamente hablando, este es el complemento relativo U \ A de A con respecto a U ; pero en un contexto donde U es el universo, puede considerarse como el complemento absoluto AC de A. De manera similar, existe la noción de intersección nula , que es la intersección de conjuntos cero (es decir, ningún conjunto, no ^conjuntos nulos ).

Sin un universo, la intersección nula sería el conjunto de absolutamente todo, lo cual generalmente se considera imposible; pero teniendo en cuenta el universo, la intersección nula puede tratarse como el conjunto de todo lo que se está considerando, que es simplemente U. Estas convenciones son bastante útiles en el enfoque algebraico de la teoría básica de conjuntos, basada en retículos booleanos . Excepto en algunas formas no estándar de la teoría axiomática de conjuntos (como New Foundations ), la clase de todos los conjuntos no es un retículo booleano (es solo un retículo relativamente complementado ).

En contraste, la clase de todos los subconjuntos de U , llamada conjunto potencia de U , es un retículo booleano. El complemento absoluto descrito anteriormente es la operación de complemento en el retículo booleano; y U , como intersección nula, sirve como el elemento superior (o intersección nula ) en el retículo booleano. Entonces , las leyes de De Morgan , que tratan sobre los complementos de intersecciones y uniones (que son uniones en la teoría de conjuntos), se aplican, e incluso se aplican a la intersección nula y a la unión nula (que es el conjunto vacío ).

Sin embargo, una vez que se consideran subconjuntos de un conjunto dado X (en el caso de Cantor, X = R ), el universo puede necesitar ser un conjunto de subconjuntos de X. (Por ejemplo, una topología en X es un conjunto de subconjuntos de X ). Los diversos conjuntos de subconjuntos de X no serán en sí mismos subconjuntos de X , sino que serán subconjuntos de P X , el conjunto potencia de X. Esto puede continuarse; el objeto de estudio puede consistir a continuación en tales conjuntos de subconjuntos de X , y así sucesivamente, en cuyo caso el universo será P ( P X ). En otra dirección, se pueden considerar las relaciones binarias en X (subconjuntos del producto cartesiano X × X ) , o funciones de X en sí mismo, que requieren universos como P ( X × X ) o X ^X .

Por lo tanto, incluso si el interés principal es X , el universo puede necesitar ser considerablemente mayor que X. Siguiendo las ideas anteriores, se podría desear que la superestructura sobre X sea el universo. Esto se puede definir mediante recursión estructural de la siguiente manera:

• Sea S ₀ X el propio X.
• Sea S ₁ X la unión de X y P X .
• Sea S ₂ X la unión de S ₁ X y P ( S ₁ X ).
• En general, sea S _{n +1} X la unión de S _n X y P ( S _n X ).

Entonces, la superestructura sobre X , escrita S X , es la unión de S ₀ X , S ₁ X , S ₂ X , y así sucesivamente; o

${\displaystyle \mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!}$

Sin importar qué conjunto X sea el punto de partida, el conjunto vacío {} pertenecerá a S ₁ X . El conjunto vacío es el ordinal de von Neumann [0]. Entonces {[0]}, el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, pertenecerá a S ₂ X ; este es el ordinal de von Neumann [1]. De manera similar, {[1]} pertenecerá a S ₃ X , y por lo tanto también {[0],[1]}, como la unión de {[0]} y {[1]}; este es el ordinal de von Neumann [2]. Continuando este proceso, cada número natural está representado en la superestructura por su ordinal de von Neumann. Luego, si x e y pertenecen a la superestructura, entonces también lo hace {{ x },{ x , y }}, que representa el par ordenado ( x , y ). Así, la superestructura contendrá los diversos productos cartesianos deseados. Entonces la superestructura también contiene funciones y relaciones , ya que estas pueden representarse como subconjuntos de productos cartesianos. El proceso también produce n -tuplas ordenadas, representadas como funciones cuyo dominio es el ordinal de von Neumann [ n ], y así sucesivamente.

Así pues, si el punto de partida es simplemente X = {}, gran parte de los conjuntos necesarios para las matemáticas aparecen como elementos de la superestructura sobre {}. Pero cada uno de los elementos de S {} será un conjunto finito . Cada uno de los números naturales pertenece a él, pero el conjunto N de todos los números naturales no (aunque es un subconjunto de S {}). De hecho, la superestructura sobre {} consiste en todos los conjuntos hereditariamente finitos . Como tal, puede considerarse el universo de las matemáticas finitistas . Hablando de forma anacrónica, se podría sugerir que el finitista del siglo XIX Leopold Kronecker trabajaba en este universo; creía que cada número natural existía, pero que el conjunto N (un " infinito completo ") no.

Sin embargo, S {} resulta insatisfactorio para los matemáticos comunes (que no son finitistas), ya que, aunque N pueda estar disponible como subconjunto de S {}, el conjunto potencia de N no lo está. En particular, no se dispone de conjuntos arbitrarios de números reales. Por lo tanto, puede ser necesario comenzar el proceso de nuevo y formar S ( S {}). Sin embargo, para simplificar, se puede tomar el conjunto N de números naturales como dado y formar SN , la superestructura sobre N . Esto se considera a menudo el universo de las matemáticas ordinarias . La idea es que todas las matemáticas que se estudian habitualmente se refieren a elementos de este universo. Por ejemplo, cualquiera de las construcciones usuales de los números reales (por ejemplo, mediante cortes de Dedekind ) pertenece a SN . Incluso el análisis no estándar puede realizarse en la superestructura sobre un modelo no estándar de los números naturales.

Hay un ligero cambio de enfoque con respecto a la sección anterior, donde el universo era cualquier conjunto U de interés. Allí, los conjuntos estudiados eran subconjuntos s del universo; ahora, son miembros del universo. Por lo tanto, aunque P ( SX ) es un retículo booleano, lo relevante es que SX en sí mismo no lo es. En consecuencia, es raro aplicar las nociones de retículos booleanos y diagramas de Venn directamente al universo de superestructura como se hizo con los universos de conjuntos potencia de la sección anterior. En cambio, se puede trabajar con los retículos booleanos individuales P A , donde A es cualquier conjunto relevante perteneciente a SX ; entonces P A es un subconjunto de SX (y de hecho pertenece a SX ). En el caso de Cantor, X = R en particular, no se dispone de conjuntos arbitrarios de números reales, por lo que allí podría ser necesario comenzar el proceso de nuevo.

Es posible dar un significado preciso a la afirmación de que SN es el universo de las matemáticas ordinarias; se trata de un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo , la teoría axiomática de conjuntos desarrollada originalmente por Ernst Zermelo en 1908. La teoría de conjuntos de Zermelo tuvo éxito precisamente porque fue capaz de axiomatizar las matemáticas "ordinarias", cumpliendo así el programa iniciado por Cantor más de 30 años antes. Sin embargo, la teoría de conjuntos de Zermelo resultó insuficiente para el desarrollo posterior de la teoría axiomática de conjuntos y otros trabajos en los fundamentos de las matemáticas , especialmente la teoría de modelos .

Como ejemplo ilustrativo, la descripción del proceso de superestructura anterior no puede llevarse a cabo en la teoría de conjuntos de Zermelo. El paso final, la formación de S como una unión infinita, requiere el axioma de reemplazo , que se añadió a la teoría de conjuntos de Zermelo en 1922 para formar la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el conjunto de axiomas más ampliamente aceptado en la actualidad. Así pues, aunque las matemáticas ordinarias pueden realizarse en SN , el análisis de SN trasciende lo "ordinario" y se adentra en la metamatemática .

Pero si se introduce la teoría de conjuntos de alto nivel, el proceso de superestructura anterior se revela como el mero comienzo de una recursión transfinita . Volviendo a X = {}, el conjunto vacío, e introduciendo la notación (estándar) V _i para S _i {}, V ₀ = {}, V ₁ = P {}, y así sucesivamente como antes. Pero lo que antes se llamaba "superestructura" ahora es solo el siguiente elemento de la lista: V _ω , donde ω es el primer número ordinal infinito . Esto se puede extender a números ordinales arbitrarios :

${\displaystyle V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!}$

define V _i para cualquier número ordinal i . La unión de todos los V _i es el universo de von Neumann V :

${\displaystyle V:=\bigcup _{i}V_{i}\!}$.

Cada individuo V _i es un conjunto, pero su unión V es una clase propia . El axioma de fundación , que se añadió a la teoría de conjuntos ZF casi al mismo tiempo que el axioma de reemplazo, dice que todo conjunto pertenece a V.

El universo constructible L de Kurt Gödel y el axioma de constructibilidad.

Los cardinales inaccesibles generan modelos de ZF y, a veces, axiomas adicionales, y son equivalentes a la existencia del conjunto de universos de Grothendieck.

En una interpretación de la lógica de primer orden , el universo (o dominio del discurso) es el conjunto de individuos (constantes individuales) sobre los que se encuentran los cuantificadores . Una proposición como ∀ x ( x ² ≠ 2) es ambigua si no se ha identificado un dominio del discurso. En una interpretación, el dominio del discurso podría ser el conjunto de los números reales ; en otra, podría ser el conjunto de los números naturales . Si el dominio del discurso es el conjunto de los números reales, la proposición es falsa, con x = √ 2 como contraejemplo; si el dominio es el conjunto de los números naturales, la proposición es verdadera, ya que 2 no es el cuadrado de ningún número natural.

Existe otro enfoque para los universos, históricamente vinculado con la teoría de categorías . Se trata de la idea de un universo de Grothendieck . En términos generales, un universo de Grothendieck es un conjunto dentro del cual se pueden realizar todas las operaciones habituales de la teoría de conjuntos. Esta versión de un universo se define como cualquier conjunto para el cual se cumplen los siguientes axiomas: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle x\in u\in U}$implica${\displaystyle x\in U}$(${\displaystyle U}$es transitivo )
2. ${\displaystyle u\in U}$y${\displaystyle v\in U}$implican { u , v }, ( u , v ), y${\displaystyle u\times v\in U}$.
3. ${\displaystyle x\in U}$implica${\displaystyle {\mathcal {P}}x\in U}$y${\displaystyle \bigcup x\in U}$
4. ${\displaystyle \omega \in U}$(aquí${\displaystyle \omega =\{0,1,2,...\}}$es el conjunto de todos los ordinales finitos .
5. si${\displaystyle f:a\to b}$es una función sobreyectiva con${\displaystyle a\in U}$y${\displaystyle b\subsetequ U}$, entonces${\displaystyle b\in U}$.

El uso más común de un universo de Grothendieck U consiste en tomar U como sustituto de la categoría de todos los conjuntos. Se dice que un conjunto S es U - pequeño si S ∈ U , y U - grande en caso contrario. La categoría U - Conjunto de todos los conjuntos U -pequeños tiene como objetos a todos los conjuntos U -pequeños y como morfismos a todas las funciones entre estos conjuntos. Tanto el conjunto de objetos como el conjunto de morfismos son conjuntos, por lo que es posible hablar de la categoría de "todos" los conjuntos sin recurrir a clases propias. Entonces, es posible definir otras categorías en términos de esta nueva categoría. Por ejemplo, la categoría de todas las categorías U -pequeñas es la categoría de todas las categorías cuyo conjunto de objetos y cuyo conjunto de morfismos pertenecen a U. En ese caso, los argumentos habituales de la teoría de conjuntos son aplicables a la categoría de todas las categorías, y no hay que preocuparse por hablar accidentalmente de clases propias. Dado que los universos de Grothendieck son extremadamente grandes, esto es suficiente en casi todas las aplicaciones.

A menudo, al trabajar con universos de Grothendieck, los matemáticos asumen el Axioma de los Universos : "Para cualquier conjunto x , existe un universo U tal que x ∈ U ". El objetivo de este axioma es que cualquier conjunto que se encuentre es entonces U -pequeño para algún U , por lo que cualquier argumento realizado en un universo de Grothendieck general puede aplicarse. ^{[ 2 ]} Este axioma está estrechamente relacionado con la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles .

En algunas teorías de tipos, especialmente en sistemas con tipos dependientes , los tipos mismos pueden ser considerados como términos . Hay un tipo llamado universo (a menudo denotado${\displaystyle {\mathcal {U}}}$), que tiene tipos como sus elementos. Para evitar paradojas como la paradoja de Girard (un análogo de la paradoja de Russell para la teoría de tipos), las teorías de tipos suelen estar equipadas con una jerarquía infinita numerable de tales universos, donde cada universo es un término del siguiente.

En la teoría de tipos, se pueden considerar al menos dos tipos de universos: los universos de estilo Russell (llamados así por Bertrand Russell ) y los universos de estilo Tarski (llamados así por Alfred Tarski ). ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Un universo de estilo Russell es un tipo cuyos términos son tipos. ^{[ 3 ]} Un universo de estilo Tarski es un tipo junto con una operación de interpretación que nos permite considerar sus términos como tipos. ^{[ 3 ]}

Por ejemplo: ^{[ 6 ]}

La naturaleza abierta de la teoría de tipos de Martin-Löf se manifiesta particularmente en la introducción de los llamados universos. Los universos de tipos encapsulan la noción informal de reflexión, cuyo papel puede explicarse de la siguiente manera: durante el desarrollo de una formalización particular de la teoría de tipos, el teórico de tipos puede revisar las reglas para tipos, por ejemplo C, que se han introducido hasta el momento y reconocer que son válidas según la semántica informal de Martin-Löf para la explicación del significado. Este acto de «introspección» es un intento de tomar conciencia de las concepciones que han regido nuestras construcciones en el pasado. Da lugar a un « principio de reflexión que, en términos generales, afirma que todo lo que solemos hacer con los tipos puede hacerse dentro de un universo» (Martin-Löf 1975, 83). A nivel formal, esto conduce a una extensión de la formalización existente de la teoría de tipos, en la que las capacidades de formación de tipos de C quedan consagradas en un universo de tipos U _C que refleja a C.

• Conglomerado (matemáticas)
• Ámbito del discurso
• Universo de Grothendieck
• Universo de Herbrand
• Objeto libre
• Fórmula abierta
• Espacio (matemáticas)

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Springer-Verlag Nueva York, Inc.

• "Universo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Conjunto universal" . MundoMatemático .