Principio de reflexión

Los principios de reflexión están conectados con los axiomas cardinales grandes y pueden usarse para motivarlos. Reinhardt da los siguientes ejemplos, usando la noción informal de infinito absoluto de Cantor en lugar del universo de conjuntos: ^{[ 10 ]}

Puede resultar útil ofrecer algunos argumentos informales que ilustren el uso de los principios de reflexión.

La explicación más sencilla es quizás: el universo de conjuntos es inaccesible (es decir, satisface el axioma de reemplazo), por lo tanto, existe un cardinal inaccesible. Esto se puede desarrollar un poco más, como sigue. Sea${\displaystyle \theta _ {\nu }}$enumerar los cardinales inaccesibles. Por el mismo tipo de razonamiento,${\displaystyle \theta _ {\nu }}$no está limitado; el absoluto de Cantor${\displaystyle \Omega }$(todos los ordinales) es inaccesible por encima de cualquier límite propuesto.${\displaystyle \beta }$Por lo tanto , hay un cardinal inaccesible arriba.${\displaystyle \beta }$. Claramente, entonces, hay${\displaystyle \Omega }$inaccesibles arriba abajo${\displaystyle \Omega }$; por lo tanto, hay un inaccesible${\displaystyle \kappa }$de tal manera que hay${\displaystyle \kappa }$inaccesibles debajo de él (es decir,${\displaystyle \kappa =\theta _ {\kappa }}$).

Paul Bernays utilizó un principio de reflexión como axioma para una versión de la teoría de conjuntos (no la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel , que es una teoría más débil). Su principio de reflexión establecía, a grandes rasgos, que si${\displaystyle A}$es una clase con alguna propiedad, entonces se puede encontrar un conjunto transitivo${\displaystyle u}$de tal manera que${\displaystyle A\cap u}$tiene la misma propiedad cuando se considera como un subconjunto del "universo"${\displaystyle u}$. Este es un axioma bastante poderoso e implica la existencia de varios de los cardinales grandes más pequeños , como los cardinales inaccesibles . (Hablando en términos generales, la clase de todos los ordinales en${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$es un cardinal inaccesible aparte del hecho de que no es un conjunto, y el principio de reflexión puede usarse para demostrar que existe un conjunto que tiene la misma propiedad, en otras palabras, que es un cardinal inaccesible.) Desafortunadamente, esto no puede axiomatizarse directamente en${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$y normalmente se debe utilizar una teoría de clases como la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . La consistencia del principio de reflexión de Bernays está implícita en la existencia de un cardinal ω-Erdős .

Más precisamente, los axiomas de la teoría de clases de Bernays son: ^{[ 11 ]}

1. extensionalidad
2. especificación de clase : para cualquier fórmula${\displaystyle \phi }$sin${\displaystyle a}$gratis,${\displaystyle \exists a\forall b(b\in a\leftrightarrow \phi \land b{\text{ es un conjunto}})}$
3. subconjuntos :${\displaystyle b\subseteq a\land a{\text{ es un conjunto}}\to b{\text{ es un conjunto}}}$
4. reflexión: para cualquier fórmula${\displaystyle \phi }$,${\displaystyle \phi (A)\to \exists u(u{\text{ es un conjunto transitivo}}\land \phi ^{{\mathcal {P}}u}(A\cap u))}$
5. base
6. elección

dónde${\displaystyle {\mathcal {P}}}$denota el conjunto potencia .

Según Akihiro Kanamori , ^{[ 12 ] : 62} en un artículo de 1961, Bernays consideró el esquema de reflexión

${\displaystyle \phi \to \exists x({\text{transitivo}}(x)\land \phi ^{x})}$

para cualquier fórmula${\displaystyle \phi }$sin${\displaystyle x}$gratis, donde${\displaystyle {\text{transitivo}}(x)}$afirma que${\displaystyle x}$es transitivo . Partiendo de la observación de que los parámetros establecidos${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$puede aparecer en${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle x}$se puede exigir que las contengan introduciendo cláusulas${\displaystyle \exists y(a_{i}\in y)}$en${\displaystyle \phi }$Bernays, con este esquema, estableció emparejamiento , unión , infinito y reemplazo , logrando de hecho una presentación notablemente económica de${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$.

Algunas formulaciones de la teoría de conjuntos de Ackermann utilizan un principio de reflexión. El axioma de Ackermann establece que, para cualquier fórmula${\displaystyle \phi }$sin mencionar${\displaystyle V}$, ^{[ 2 ]}

${\displaystyle a\in V\land b\in V\to \forall x(\phi \to x\in V)\to \exists u{\in }V\forall x(x\in u\leftrightarrow \phi )}$

Peter Koellner demostró que una clase general de principios de reflexión considerados "intrínsecamente justificados" son inconsistentes o débiles, ya que son consistentes en relación con el cardinal de Erdös . ^{[ 13 ]} Sin embargo, existen principios de reflexión más poderosos, que están estrechamente relacionados con los diversos axiomas de cardinales grandes. Para casi todos los axiomas de cardinales grandes conocidos, existe un principio de reflexión conocido que lo implica, y a la inversa, todos los principios de reflexión conocidos, excepto los más poderosos, están implicados por axiomas de cardinales grandes conocidos. ^{[ 11 ]} Un ejemplo de esto es el axioma de totalidad , ^{[ 14 ]} que implica la existencia de cardinales super- n- enormes para todo n finito y su consistencia está implicada por un cardinal de rango en rango I3 .

Añadamos un axioma que diga que Ord es un cardinal de Mahlo : para cada clase cerrada e ilimitada de ordinales C (definible mediante una fórmula con parámetros), existe un ordinal regular en C. Esto permite deducir la existencia de cardinales inaccesibles fuertes y mucho más sobre cualquier ordinal.

Dejar${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$denotan la aritmética de Peano y${\displaystyle {\mathsf {PA}}_{k}}$denotan el conjunto de oraciones verdaderas en el lenguaje de PA que son${\displaystyle \Sigma _{k}}$en la jerarquía aritmética . El teorema de reflexión de Mostowski establece que para cada número natural${\displaystyle k}$,${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$demuestra la consistencia de${\displaystyle {\mathsf {PA}}_{k}}$. Como cada conjunto${\displaystyle {\mathsf {PA}}_{k}}$es${\displaystyle \Sigma _{k}}$-definible, esto debe expresarse como un esquema de teorema. ^{[ 15 ] pág. 4} Estos principios de solidez a veces se denominan principios de reflexión sintáctica , en contraste con las variedades basadas en la satisfacción mencionadas anteriormente, que se denominan principios de reflexión semántica . ^{[ 16 ] pág. 1}

El principio de reflexión local${\displaystyle Rfn(T)}$para una teoría${\displaystyle T}$es el esquema que para cada oración${\displaystyle \phi }$del idioma de${\displaystyle T}$,${\displaystyle \mathrm {Prov} _ {T}(\phi )\implica \phi }$. Cuando${\displaystyle Rfn_{\Gamma}(T)}$denota la versión restringida del principio considerando solo aquellos${\displaystyle \phi }$en una clase de fórmulas${\displaystyle \Gamma }$, tenemos eso${\displaystyle \mathrm {Con} (T)}$y${\displaystyle Rfn_{\Pi _ {1}^{0}}(T)}$son equivalentes en${\displaystyle T}$[ ^{17 ] pág. 205}

El principio de reflexión uniforme${\displaystyle RFN(T)}$para una teoría${\displaystyle T}$es el esquema que para cada número natural${\displaystyle n}$,${\displaystyle \forall (\ulcorner \phi \urcorner \in \Sigma _{n}^{0}\cup \Pi _{n}^{0})\forall (y_{0},\ldots ,y_{m}\in \mathbb {N} )(\mathrm {Pr} _{T}(\ulcorner \phi (y_{0},\ldots ,y_{n})^{*}\urcorner \implies \mathrm {Tr} _{n}(\ulcorner \phi (y_{0},\ldots ,y_{n})^{*}\urcorner ))}$, dónde${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}\cup \Pi _{n}^{0}}$es la unión de los conjuntos de números de Gödel de${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$y${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$fórmulas y${\displaystyle \phi (y_{0},\ldots ,y_{n})^{*}}$es${\displaystyle \phi }$con sus variables libres${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$reemplazado con números${\displaystyle \underbrace {S\ldots S} _{y_{0}}0}$, etc. en el lenguaje de la aritmética de Peano, y${\displaystyle \mathrm {Tr} _{n}}$es el predicado de verdad parcial para${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}\cup \Pi _{n}^{0}}$fórmulas. ^{[ 17 ] pág. 205}

Para${\displaystyle k\geq 1}$, a${\displaystyle \beta _{k}}$-modelo es un modelo que tiene los valores de verdad correctos de${\displaystyle \Pi _{k}^{1}}$declaraciones, donde${\displaystyle \Pi _{k}^{1}}$está en el${\displaystyle (k+1)}$nivel de la jerarquía analítica . Un contable${\displaystyle \beta _{k}}$-El modelo de un subsistema de aritmética de segundo orden consiste en un conjunto contable de conjuntos de números naturales, que a su vez puede codificarse como un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {N} }$La teoría${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\text{-}}{\mathsf {CA}}_{0}}$prueba la existencia de un${\displaystyle \beta _{1}}$-modelo, también conocido como un${\displaystyle \beta }$-modelo. ^{[ 18 ] Teorema VII.2.16}

El${\displaystyle \beta _{k}}$-principio de reflexión del modelo para${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$fórmulas establece que para cualquier${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$fórmula${\displaystyle \theta (X)}$con${\displaystyle X}$como su única variable de conjunto libre, para todos${\displaystyle X\subseteq \mathbb {N} }$, si${\displaystyle \theta (X)}$se mantiene, entonces hay un código contable${\displaystyle \beta _{k}}$-modelo${\displaystyle M}$dónde${\displaystyle X\in M}$de tal manera que${\displaystyle M\vDash \theta (X)}$Una extensión${\displaystyle \Sigma _{k}^{1}{\text{-}}{\mathsf {DC}}_{0}}$de${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$mediante un esquema de elección dependiente se axiomatiza. Para cualquier${\displaystyle 0\leq k}$, el sistema${\displaystyle \Sigma _{k+2}^{1}{\text{-}}{\mathsf {DC}}_{0}}$es equivalente a${\displaystyle \beta _{k+1}}$-reflexión para${\displaystyle \Sigma _{k+4}^{1}}$fórmulas. ^{[ 18 ] Teorema VII.7.6}

${\displaystyle \beta }$-La reflexión del modelo tiene conexiones con la reflexión de la teoría de conjuntos, por ejemplo sobre la teoría de conjuntos débil KP , añadiendo el esquema de reflexión de${\displaystyle \Pi _{n}}$-fórmulas para conjuntos transitivos (${\displaystyle \phi \implies \exists z({\textrm {transitive}}(z)\land \phi ^{z})}$a pesar de${\displaystyle \Pi _{n}}$fórmulas${\displaystyle \phi }$) produce el mismo${\displaystyle \Pi _{4}^{1}}$-consecuencia como${\displaystyle {\mathsf {ACA+BI}}}$más un esquema de${\displaystyle \beta }$-reflexión del modelo para${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$fórmulas. ^{[ 19 ]}