Modelo de Maxwell con convección superior

El modelo de Maxwell convectivo superior ( UCM ) es una generalización del material de Maxwell para el caso de grandes deformaciones, utilizando la derivada temporal convectiva superior . El modelo fue propuesto por James G. Oldroyd . El concepto recibe su nombre de James Clerk Maxwell . Es la ecuación constitutiva independiente del observador más simple para la viscoelasticidad y, además, es capaz de reproducir las primeras tensiones normales. Por lo tanto, constituye uno de los modelos más fundamentales para la reología .

El modelo se puede escribir como:

${\displaystyle \mathbf {T} +\lambda {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}=2\eta _ {0}\mathbf {D} }$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {T} }$es el tensor de tensión ;
• ${\displaystyle \lambda }$es el tiempo de relajación;
• ${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}}$es la derivada temporal convectiva superior del tensor de esfuerzos:

${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {T} +\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {T} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {T} -\mathbf {T} \cdot (\nabla \mathbf {v} )}$

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es la velocidad del fluido y el gradiente de un vector sigue la convención${\displaystyle (\nabla {\mathbf {v} })_{ij}=\partial _ {i}v_ {j}}$.
• ${\displaystyle \eta _{0}}$es la viscosidad del material en cizallamiento simple constante ;
• ${\displaystyle \mathbf {D} }$es el tensor de tasa de deformación .

El modelo puede derivarse aplicando el concepto de invariancia del observador al material de Maxwell o mediante dos modelos mesoscópicos diferentes: las mancuernas de Hooke ^{[ 1 ]} o las redes temporales ^{[ 2 ]} . Si bien ambos modelos microscópicos conducen a la ecuación de evolución superior para la tensión, trabajos recientes han señalado las diferencias al considerar también las fluctuaciones de la tensión ^{[ 3 ] .}

En este caso, solo dos componentes del esfuerzo cortante resultaron ser distintas de cero:

${\displaystyle T_{12}=\eta _{0}{\dot {\gamma }}\,}$

y

${\displaystyle T_{11}=2\eta _{0}\lambda {\dot {\gamma }}^{2}\,}$

dónde${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$es la velocidad de corte.

Así, el modelo de Maxwell convectivo superior predice para el corte simple que el esfuerzo cortante es proporcional a la velocidad de corte y a la primera diferencia de esfuerzos normales (${\displaystyle T_{11}-T_{22}}$) es proporcional al cuadrado de la velocidad de corte, la segunda diferencia de tensiones normales (${\displaystyle T_{22}-T_{33}}$) siempre es cero. En otras palabras, UCM predice la aparición de la primera diferencia de tensiones normales, pero no predice el comportamiento no newtoniano de la viscosidad de corte ni la segunda diferencia de tensiones normales.

Por lo general, un comportamiento cuadrático de la primera diferencia de las tensiones normales y la ausencia de una segunda diferencia de las tensiones normales es un comportamiento realista de los polímeros fundidos a velocidades de cizallamiento moderadas, pero una viscosidad constante no es realista y limita la utilidad del modelo.

En este caso, solo dos componentes del esfuerzo cortante resultaron ser distintas de cero:

${\displaystyle T_{12}=\eta _{0}{\dot {\gamma }}\left(1-\exp \left(-{\frac {t}{\lambda }}\right)\right)}$

y

${\displaystyle T_{11}=2\eta _{0}\lambda {\dot {\gamma }}^{2}\left(1-\exp \left(-{\frac {t}{\lambda }}\right)\left(1+{\frac {t}{\lambda }}\right)\right)}$

Las ecuaciones anteriores describen tensiones que aumentan gradualmente desde cero hasta alcanzar valores de estado estacionario. La ecuación solo es aplicable cuando el perfil de velocidad en el flujo de cizallamiento está completamente desarrollado. En ese caso, la tasa de cizallamiento es constante a lo largo de la altura del canal. Si se requiere calcular la distribución de velocidad inicial desde cero, es necesario resolver el conjunto completo de ecuaciones diferenciales parciales.

Para este caso, UCM predice las tensiones normales.${\displaystyle \sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}}$calculado mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\eta _{0}{\dot {\epsilon }}}{1-2\lambda {\dot {\epsilon }}}}+{\frac {\eta _{0}{\dot {\epsilon }}}{1+\lambda {\dot {\epsilon }}}}}$

dónde${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$es la tasa de elongación.

La ecuación predice la viscosidad de elongación aproximándose a${\displaystyle 3\eta _{0}}$(lo mismo que para los fluidos newtonianos ) para el caso de baja tasa de elongación (${\displaystyle {\dot {\epsilon }}\ll {\frac {1}{\lambda }}}$) con rápido engrosamiento por deformación con la viscosidad en estado estacionario aproximándose al infinito a cierta velocidad de elongación (${\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{\infty }={\frac {1}{2\lambda }}}$) y a cierta tasa de compresión (${\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{-\infty }=-{\frac {1}{\lambda }}}$Este comportamiento parece ser realista.

En el caso de pequeñas deformaciones, las no linealidades introducidas por la derivada convectiva superior desaparecen y el modelo se convierte en un modelo ordinario de material de Maxwell .

• Macosko, Christopher (1993). Reología. Principios, mediciones y aplicaciones . Editorial VCH. ISBN 1-56081-579-5.