Derivada temporal convectiva superior

En mecánica de medios continuos , incluyendo la dinámica de fluidos , una derivada temporal convectiva superior o derivada de Oldroyd , llamada así en honor a James G. Oldroyd , es la tasa de cambio de alguna propiedad tensorial de una pequeña porción de fluido que se escribe en el sistema de coordenadas que rota y se estira con el fluido.

El operador se especifica mediante la siguiente fórmula:

{\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {v} )

dónde:

${\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}$ es la derivada temporal convectiva superior de un campo tensorial $\mathbf {A}$
${\frac {D}{Dt}}$ es el derivado sustantivo
$\nabla \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}$ es el tensor de derivadas de velocidad para el fluido.

La fórmula se puede reescribir como:

{\stackrel {\triangledown }{A}}_{i,j}={\frac {\partial A_{i,j}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial A_{i,j}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}A_{k,j}-{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{k}}}A_{i,k}

Por definición, la derivada temporal convectiva superior del tensor de Finger es siempre cero.

Se puede demostrar que la derivada temporal convectiva superior de un campo vectorial de tipo espacial es simplemente su derivada de Lie con respecto al campo de velocidad del continuo. ^{[ 1 ]}

La derivada convectiva superior se utiliza ampliamente en la reología de polímeros para describir el comportamiento de un fluido viscoelástico bajo grandes deformaciones.

Notación

La forma en que está escrita la ecuación no es del todo clara debido a las diferentes definiciones de $\nabla \mathbf {v}$ Este término se puede encontrar definido como $(\nabla \mathbf {v} )_{ij}={\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}$ o su transpuesta (por ejemplo, véase el tensor de velocidad de deformación que contiene ambas). Modificar esta definición solo requiere cambios en las operaciones de transposición y, por lo tanto, es prácticamente irrelevante y puede hacerse siempre que se mantenga la coherencia. La notación utilizada aquí se ha elegido para que sea coherente con la bibliografía que utiliza la derivada convectiva superior.

Ejemplos para el tensor simétrico A

Corte simple

Para el caso de corte simple :

\nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}0&{\dot {\gamma }}&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

De este modo,

{\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\dot {\gamma }}{\begin{pmatrix}2A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{22}&0&0\\A_{23}&0&0\end{pmatrix}}

Extensión uniaxial de un fluido incompresible

En este caso, un material se estira en la dirección X y se comprime en las direcciones Y y Z, para mantener el volumen constante. Los gradientes de velocidad son:

\nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}{\dot {\epsilon }}&0&0\\0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}&0\\0&0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}\end{pmatrix}}

De este modo,

{\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}{\begin{pmatrix}4A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&-2A_{22}&-2A_{23}\\A_{13}&-2A_{23}&-2A_{33}\end{pmatrix}}

Véase también

Referencias

Macosko, Christopher (1993). Reología. Principios, mediciones y aplicaciones . Editorial VCH. ISBN 978-1-56081-579-2.

Notas

↑ Matolcsi, Tamás; Van, Peter (2008). "Sobre la objetividad de los derivados del tiempo". Atti dell'Accademia Peloritana dei Pericolanti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (1): 1– 13. doi : 10.1478/C1S0801015 .

[1] Matolcsi, Tamás; Van, Peter (2008). "Sobre la objetividad de los derivados del tiempo". Atti dell'Accademia Peloritana dei Pericolanti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (1): 1– 13. doi : 10.1478/C1S0801015 .

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