Hispanopedia WikiEn matemáticas , específicamente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , la longitud de Fitting (o longitud nilpotente ) mide qué tan lejos está un grupo resoluble de ser nilpotente . El concepto recibe su nombre de Hans Fitting , debido a sus investigaciones sobre subgrupos normales nilpotentes .
Definición
Una cadena de accesorios (o serie de accesorios oUna serie nilpotente para ungrupoes unaserie subnormalconcocientesnilpotentes . En otras palabras, una sucesión finita desubgruposque incluye tanto al grupo completo como al grupo trivial, de manera que cada uno es unsubgrupo normaldel anterior, y de manera que los cocientes de los términos sucesivos son grupos nilpotentes.
La longitud de ajuste o longitud nilpotente de un grupo se define como la longitud más pequeña posible de una cadena de ajuste, si es que existe alguna.
Serie de accesorios superiores e inferiores
Así como la serie central superior y la serie central inferior son extremales entre las series centrales , existen series análogas extremales entre las series nilpotentes.
Para un grupo finito H , el subgrupo Fit ( H ) es el subgrupo normal nilpotente máximo, mientras que el subgrupo normal mínimo tal que su cociente es nilpotente es γ∞ ( H ), la intersección de la serie central inferior (finita) , que se denomina residuo nilpotente . Estos corresponden al centro y al subgrupo conmutador (para las series centrales superior e inferior, respectivamente). Esto no se cumple para grupos infinitos, por lo que, en lo que sigue, supongamos que todos los grupos son finitos.
La serie de Fitting superior de un grupo finito es la secuencia de subgrupos característicos Fit n ( G ) definida por Fit 0 ( G ) = 1 y Fit n +1 ( G )/ Fit n ( G ) = Fit (G/ Fit n ( G )). Es una serie nilpotente ascendente, que en cada paso toma el subgrupo máximo posible.
La serie de Fitting inferior de un grupo finito G es la secuencia de subgrupos característicos F n ( G ) definida por F 0 ( G ) = G , y F n +1 ( G ) = γ ∞ ( F n ( G )). Es una serie nilpotente descendente, que en cada paso toma el subgrupo mínimo posible.
Ejemplos
- Un grupo no trivial tiene una longitud de ajuste de 1 si y solo si es nilpotente.
- El grupo simétrico en tres puntos tiene una longitud de ajuste de 2.
- El grupo simétrico de cuatro puntos tiene una longitud de ajuste de 3.
- El grupo simétrico de cinco o más puntos no tiene ninguna cadena de ajuste, por lo que no es resoluble.
- El producto de corona iterado de n copias del grupo simétrico en tres puntos tiene una longitud de ajuste de 2 n .
Propiedades
- Un grupo tiene una cadena de ajuste si y solo si es resoluble .
- La serie de Fitting inferior es una cadena de Fitting si y solo si finalmente alcanza el subgrupo trivial, si y solo si G es resoluble.
- La serie de ajuste superior es una cadena de ajuste si y solo si finalmente llega a todo el grupo, G , si y solo si G es resoluble.
- La serie de ajuste inferior desciende más rápidamente entre todas las cadenas de ajuste, y la serie de ajuste superior asciende más rápidamente entre todas las cadenas de ajuste. Explícitamente: Para cada cadena de ajuste, 1 = H 0 ⊲ H 1 ⊲ … ⊲ H n = G , se tiene que H i ≤ Fit i ( G ), y F i ( G ) ≤ H n − i .
- Para un grupo resoluble, la longitud de la serie de ajuste inferior es igual a la longitud de la serie de ajuste superior, y esta longitud común es la longitud de ajuste del grupo.
Puede encontrar más información en ( Huppert 1967 , Cap. III, §4) .
Conexión entre la serie central y la serie de accesorios.
Lo que las series centrales hacen por los grupos nilpotentes, las series de ajuste lo hacen por los grupos resolubles. Un grupo tiene una serie central si y solo si es nilpotente, y una serie de ajuste si y solo si es resoluble.
Dado un grupo resoluble, la serie de Fitting inferior es una división "más gruesa" que la serie central inferior: la serie de Fitting inferior proporciona una serie para todo el grupo, mientras que la serie central inferior desciende solo desde todo el grupo hasta el primer término de la serie de Fitting.
La serie de accesorios inferiores continúa:
- G = F 0 ⊵ F 1 ⊵ ⋯ ⊵ 1,
mientras que la serie central inferior subdivide el primer paso,
- G = G 1 ⊵ G 2 ⊵ ⋯ ⊵ F 1 ,
y es una elevación de la serie central inferior para el primer cociente F 0 / F 1 , que es nilpotente.
Procediendo de esta manera (elevando la serie central inferior para cada cociente de la serie de Fitting) se obtiene una serie subnormal:
- G = G 1 ⊵ G 2 ⊵ ⋯ ⊵ F 1 = F 1,1 ⊵ F 1,2 ⊵ ⋯ ⊵ F 2 = F 2,1 ⊵ ⋯ ⊵ F n = 1,
como las divisiones gruesas y finas de una regla .
Los cocientes sucesivos son abelianos, lo que demuestra la equivalencia entre ser resoluble y tener una serie de Fitting.
Véase también
Referencias
- Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050
- Turull, Alexandre (2001) [1994], "Longitud de ajuste" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Turull, Alexandre (2001) [1994], "Cadena de ajuste" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Serie de subgrupos