Utilizando el teorema de Borsuk-Ulam

Using the Borsuk–Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry es un libro de texto de matemáticas de nivel de posgrado en combinatoria topológica . Describe el uso de resultados en topología , y en particular el teorema de Borsuk–Ulam , para demostrar teoremas en combinatoria y geometría discreta . Fue escrito por el matemático checo Jiří Matoušek y publicado en 2003 por Springer-Verlag en su serie Universitext ( ISBN  978-3-540-00362-5 ). ^{[1] [2]}

El tema del libro es parte de un campo relativamente nuevo de las matemáticas que cruza la topología y la combinatoria, ahora llamada combinatoria topológica . ^{[2] [3]} El punto de partida del campo, ^[3] y una de las inspiraciones centrales para el libro, fue una prueba que László Lovász publicó en 1978 de una conjetura de 1955 de Martin Kneser , según la cual los grafos de Kneser no tienen coloración de grafos con colores. Lovász usó el teorema de Borsuk-Ulam en su prueba, y Matoušek reúne muchos resultados relacionados, publicados posteriormente, para mostrar que esta conexión entre la topología y la combinatoria no es solo un truco de prueba sino un área. ^[4]$Estilo de visualización KG_{2n+k,n}$${\estilo de visualización k+1}$

El libro tiene seis capítulos. Después de dos capítulos que revisan las nociones básicas de topología algebraica y prueban el teorema de Borsuk-Ulam , las aplicaciones a la combinatoria y la geometría comienzan en el tercer capítulo, con temas que incluyen el teorema del sándwich de jamón , el problema de la división del collar , el lema de Gale sobre puntos en hemisferios y varios resultados sobre coloraciones de grafos de Kneser . ^{[1] [2]} Después de otro capítulo sobre temas más avanzados en topología equivariante , siguen dos capítulos más de aplicaciones, separados según si la equivariancia es módulo dos o usa una acción de grupo más complicada . ^[5] Los temas de estos capítulos incluyen el teorema de van Kampen-Flores sobre la integrabilidad de esqueletos de símplices en espacios euclidianos de menor dimensión , y variantes topológicas y multicolores del teorema de Radon y el teorema de Tverberg sobre particiones en subconjuntos con envolturas convexas que se intersecan. ^{[1] [2]}

El libro está escrito a nivel de posgrado y tiene ejercicios que lo hacen adecuado como libro de texto de posgrado. Sería útil que los lectores tuvieran algunos conocimientos de topología, pero no son necesarios. La crítica Mihaela Poplicher escribe que no es fácil de leer, pero está "muy bien escrito, es muy interesante y muy informativo". ^[2] Y el crítico Imre Bárány escribe que "el libro está bien escrito y el estilo es lúcido y agradable, con muchos ejemplos ilustrativos".

Matoušek pretendía que este material formara parte de un libro de texto más amplio sobre combinatoria topológica, que se escribiría conjuntamente con él, Anders Björner y Günter M. Ziegler . ^{[2] [5]} Sin embargo, esto no se completó antes de la prematura muerte de Matoušek en 2015. ^[6]