Topología de Sallen-Key

La topología Sallen-Key es una topología de filtro electrónico utilizada para implementar filtros activos de segundo orden , particularmente valorada por su simplicidad. ^{[ 1 ]} Es una forma degenerada de una topología de filtro de fuente de voltaje controlada por voltaje ( VCVS ) . Fue introducida por RP Sallen y EL Key del Laboratorio Lincoln del MIT en 1955. ^{[ 2 ]}

Un filtro VCVS utiliza un amplificador de voltaje con impedancia de entrada prácticamente infinita e impedancia de salida cero para implementar una respuesta de paso bajo , paso alto , paso banda , rechazo de banda o paso total de 2 polos . El filtro VCVS permite un alto factor Q y ganancia de banda de paso sin el uso de inductores . Un filtro VCVS también tiene la ventaja de la independencia: los filtros VCVS se pueden conectar en cascada sin que las etapas afecten la sintonización de las demás. Un filtro Sallen-Key es una variación de un filtro VCVS que utiliza un amplificador de ganancia unitaria (es decir, un amplificador buffer ).

En 1955, Sallen y Key utilizaron amplificadores seguidores de cátodo con tubos de vacío ; el seguidor de cátodo es una aproximación razonable a un amplificador con ganancia de voltaje unitaria. Las implementaciones modernas de filtros analógicos pueden usar amplificadores operacionales (también llamados op amps ). Debido a su alta impedancia de entrada y ganancia fácilmente seleccionable, un amplificador operacional en una configuración no inversora convencional se usa frecuentemente en implementaciones de VCVS. Las implementaciones de filtros Sallen-Key a menudo usan un op amp configurado como seguidor de voltaje ; sin embargo, los seguidores de emisor o fuente son otras opciones comunes para el amplificador buffer.

Los filtros VCVS son relativamente resistentes a las tolerancias de los componentes , pero para obtener un factor Q alto puede ser necesario un rango de valores de componentes extremo o una alta ganancia del amplificador. ^{[ 1 ]} Se pueden obtener filtros de orden superior mediante la conexión en cascada de dos o más etapas.

La topología genérica del filtro Sallen-Key de ganancia unitaria, implementada con un amplificador operacional de ganancia unitaria, se muestra en la Figura  1. El siguiente análisis se basa en la suposición de que el amplificador operacional es ideal.

Debido a que el amplificador operacional está en una configuración de retroalimentación negativa , su${\displaystyle v_{+}}$y${\displaystyle v_{-}}$Las entradas deben coincidir (es decir,${\displaystyle v_{+}=v_{-}}$). Sin embargo, la entrada inversora${\displaystyle v_{-}}$está conectado directamente a la salida${\displaystyle v_{\text{out}}}$, y entonces

Según la ley actual de Kirchhoff (LCK) aplicada en el${\displaystyle v_{x}}$nodo,

Al combinar las ecuaciones  (1) y  (2),

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

Aplicando la ecuación  (1) y la KCL en la entrada no inversora del amplificador operacional.${\displaystyle v_{+}}$da

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},}$

lo que significa que

Combinando las ecuaciones  (2) y  (3) se obtiene

Reordenando la ecuación  (4) se obtiene la función de transferencia.

que normalmente describe un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de segundo orden .

Si el${\displaystyle Z_{3}}$Los componentes estaban conectados a tierra en lugar de a${\displaystyle v_{\text{out}}}$, el filtro sería un divisor de voltaje compuesto por el${\displaystyle Z_{1}}$y${\displaystyle Z_{3}}$componentes conectados en cascada con otro divisor de voltaje compuesto por${\displaystyle Z_{2}}$y${\displaystyle Z_{4}}$componentes. El amplificador buffer inicia el "fondo" del${\displaystyle Z_{3}}$componente a la salida del filtro, lo que mejorará el caso simple de dos divisores. Esta interpretación es la razón por la que los filtros Sallen-Key a menudo se representan con la entrada no inversora del amplificador operacional debajo de la entrada inversora, enfatizando así la similitud entre la salida y tierra.

En la Figura 2 se muestra un ejemplo de una configuración de paso bajo con ganancia unitaria.  Aquí se utiliza un amplificador operacional como búfer, aunque un seguidor de emisor también es efectivo. Este circuito es equivalente al caso genérico anterior con

${\displaystyle Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.}$

La función de transferencia para este filtro paso bajo de segundo orden con ganancia unitaria es

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},}$

donde la frecuencia natural no amortiguada${\displaystyle f_{0}}$atenuación​${\displaystyle \alpha }$, factor Q${\displaystyle Q}$y coeficiente de amortiguación${\displaystyle \zeta }$, son dados por

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

y

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

Entonces,

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

El${\displaystyle Q}$Este factor determina la altura y el ancho del pico de la respuesta en frecuencia del filtro. A medida que este parámetro aumenta, el filtro tenderá a "resonar" en una única frecuencia de resonancia cercana a .${\displaystyle f_{0}}$(Véase " Filtro LC " para un análisis relacionado).

Opciones de diseño

Un diseñador debe elegir el${\displaystyle Q}$y${\displaystyle f_{0}}$apropiado para su aplicación. El${\displaystyle Q}$El valor es fundamental para determinar la forma final. Por ejemplo, un filtro Butterworth de segundo orden , que tiene una respuesta de frecuencia de banda de paso máximamente plana, tiene una${\displaystyle Q}$de${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$. En comparación, un valor de${\displaystyle Q=1/2}$corresponde a la conexión en cascada en serie de dos filtros paso bajo simples idénticos.

Debido a que hay 2 parámetros y 4 incógnitas, el procedimiento de diseño normalmente fija la relación entre ambas resistencias, así como la que existe entre los condensadores. Una posibilidad es establecer la relación entre${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$como${\displaystyle n}$versus${\displaystyle 1/n}$y la relación entre${\displaystyle R_{1}}$y${\displaystyle R_{2}}$como${\displaystyle m}$versus${\displaystyle 1/m}$. Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}}$

Como resultado, el${\displaystyle f_{0}}$y${\displaystyle Q}$Las expresiones se reducen a

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}}$

y

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.}$

Comenzando con una elección más o menos arbitraria, por ejemplo${\displaystyle C}$y${\displaystyle n}$, los valores apropiados para${\displaystyle R}$y${\displaystyle m}$puede calcularse a favor del deseado${\displaystyle f_{0}}$y${\displaystyle Q}$En la práctica, ciertas elecciones de valores de componentes tendrán un mejor rendimiento que otras debido a las imperfecciones de los amplificadores operacionales reales. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, los valores altos de resistencia aumentarán la producción de ruido del circuito, a la vez que contribuirán a la tensión de compensación de CC en la salida de los amplificadores operacionales equipados con transistores de entrada bipolares.

Un filtro paso alto de segundo orden con ganancia unitaria${\displaystyle f_{0}=72~{\text{Hz}}}$y${\displaystyle Q=0.5}$Se muestra en la Figura  4.

Un filtro paso alto de segundo orden con ganancia unitaria tiene la función de transferencia

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},}$

donde la frecuencia natural no amortiguada${\displaystyle f_{0}}$y${\displaystyle Q}$Los factores se discuten anteriormente en la discusión del filtro de paso bajo . El circuito anterior implementa esta función de transferencia mediante las ecuaciones

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

(como antes) y

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

Entonces

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

Siga un enfoque similar al utilizado para diseñar el filtro de paso bajo descrito anteriormente.

En la Figura 5 se muestra un ejemplo de filtro pasabanda de ganancia no unitaria implementado con un filtro VCVS.  Aunque utiliza una topología diferente y un amplificador operacional configurado para proporcionar ganancia no unitaria, se puede analizar utilizando métodos similares a los de la topología genérica de Sallen-Key . Su función de transferencia viene dada por

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

La frecuencia central${\displaystyle f_{0}}$(es decir, la frecuencia donde la respuesta de magnitud tiene su pico ) viene dada por

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

El factor Q${\displaystyle Q}$es dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}}$

El divisor de voltaje en el bucle de retroalimentación negativa controla la "ganancia interna".${\displaystyle G}$del amplificador operacional:

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.}$

Si la ganancia interna${\displaystyle G}$Si es demasiado alto, el filtro oscilará.

• Diseño de filtros
• Topología de filtro electrónico
• oscilador armónico
• Resonancia

• Informe de aplicación de Texas Instruments: Análisis de la arquitectura Sallen - Key
• Herramienta de diseño de filtros de Analog Devices : una sencilla herramienta en línea para diseñar filtros activos utilizando amplificadores operacionales con realimentación de voltaje. 
• Preguntas frecuentes sobre el diseño de filtros activos de TI
• Amplificadores operacionales para todos – Capítulo 16 
• Modificación de alta frecuencia del filtro Sallen-Key: mejora del nivel de atenuación en la banda de rechazo.
• Herramienta de cálculo en línea para Sallen : filtros clave de paso bajo/paso alto
• Herramienta de cálculo en línea para el diseño y análisis de filtros.
• ECE 327: Procedimientos para el laboratorio de filtrado de salida Archivado el 24/09/2015 en Wayback Machine – La sección 3 ("Filtro de paso bajo de suavizado") analiza el filtrado activo con el filtro de paso bajo Sallen - Key Butterworth. 
• Introducción al filtrado: Filtros multipolares con Sallen-Key . Matt Duff, de Analog Devices, explica cómo funciona el circuito Sallen-Key.