Verdad vacía

En matemáticas y lógica , una verdad vacua es una proposición condicional o universal (específicamente una proposición universal que puede convertirse en una proposición condicional) que es verdadera porque el antecedente no puede satisfacerse . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Un ejemplo de tal proposición es "si Tokio está en España , entonces la Torre Eiffel está en Bolivia ".

A veces se dice que una afirmación es vagamente verdadera porque en realidad no dice nada. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, la afirmación "todos los teléfonos celulares en la habitación están apagados" (o dicho alternativamente "para todo x en esta habitación, si x es un teléfono celular, entonces x está apagado") será verdadera cuando no haya teléfonos celulares en la habitación. En este caso, la afirmación "todos los teléfonos celulares en la habitación están encendidos " también sería vagamente verdadera. La conjunción de ambas: "todos los teléfonos celulares en la habitación están encendidos y todos los teléfonos celulares en la habitación están apagados", solo puede ser vagamente verdadera, e implica que "no hay teléfonos celulares en la habitación".

Las afirmaciones vacías también se utilizan como recurso retórico para crear ironía verbal . Un ejemplo común es la réplica «Reina de Inglaterra»; por ejemplo, «Soy una gran nadadora». «Si eres una gran nadadora, entonces yo soy la Reina de Inglaterra», utilizando una conclusión falsa y evidente para implicar que la afirmación es vacía y, por lo tanto, la premisa es falsa. ^{[ 5 ]}

Estas afirmaciones se consideran verdades vacías porque el hecho de que el antecedente sea falso impide utilizar la afirmación para inferir algo sobre el valor de verdad del consecuente . En esencia, una proposición condicional basada en el condicional material es verdadera cuando el antecedente ("Tokio está en España" en el ejemplo) es falso, independientemente de si la conclusión o el consecuente ("la Torre Eiffel está en Bolivia" en el ejemplo) es verdadero o falso, porque el condicional material se define de esa manera.

Entre los ejemplos comunes del habla cotidiana se incluyen frases condicionales utilizadas como modismos de improbabilidad, como "cuando el infierno se congele  ..." y "cuando los cerdos vuelen  ...", que indican que el hablante no aceptará ninguna proposición respectiva (normalmente falsa o absurda) hasta que se cumpla la condición dada (imposible).

En matemáticas puras , las afirmaciones trivialmente verdaderas no suelen ser de interés por sí mismas, pero con frecuencia surgen como el caso base de las demostraciones por inducción matemática . ^{[ 6 ]} Esta noción tiene relevancia en matemáticas puras , así como en cualquier otro campo que utilice la lógica clásica .

Fuera del ámbito de las matemáticas, las afirmaciones que se presentan como verdades vacías, si bien son lógicamente válidas, pueden resultar engañosas. Dichas afirmaciones hacen aseveraciones razonables sobre objetos cualificados que en realidad no existen . Por ejemplo, un niño podría decirle a su padre: «Me comí todas las verduras de mi plato», cuando en realidad no había verduras en su plato. En este caso, el padre puede creer que el niño sí comió algunas verduras, aunque no sea cierto.

Una declaración${\displaystyle S}$Es "vacuamente cierto" si se asemeja a una proposición condicional material.${\displaystyle P\Rightarrow Q}$, donde el antecedente${\displaystyle P}$Se sabe que es falso. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}

Entre las afirmaciones vagamente verdaderas que pueden reducirse ( con las transformaciones adecuadas ) a esta forma básica (condicional material) se incluyen las siguientes afirmaciones cuantificadas universalmente :

• ${\displaystyle \forall x:P(x)\Rightarrow Q(x)}$, donde se da el caso de que${\displaystyle \forall x:\neg P(x)}$. ^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$, donde el conjunto${\displaystyle A}$está vacío .
  • Esta forma lógica${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$se puede convertir a la forma condicional material para identificar fácilmente el antecedente . Para el ejemplo anterior${\displaystyle S}$"todos los teléfonos celulares en la habitación están apagados", se puede escribir formalmente como${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$dónde${\displaystyle A}$es el conjunto de todos los teléfonos celulares en la habitación y${\displaystyle Q(x)}$es "${\displaystyle x}$está apagado". Esto se puede escribir en una declaración condicional material.${\displaystyle \forall x\in B:P(x)\Rightarrow Q(x)}$dónde${\displaystyle B}$es el conjunto de todas las cosas en la habitación (incluidos los teléfonos celulares si existen en la habitación), el antecedente${\displaystyle P(x)}$es "${\displaystyle x}$es un teléfono celular", y la consiguiente${\displaystyle Q(x)}$es "${\displaystyle x}$está apagado".
• ${\displaystyle \forall \xi :Q(\xi )}$donde el símbolo${\displaystyle \xi }$está restringido a un tipo que no tiene representantes.

Las verdades vacías aparecen con mayor frecuencia en la lógica clásica con dos valores de verdad . Sin embargo, las verdades vacías también pueden aparecer, por ejemplo, en la lógica intuicionista , en las mismas situaciones que las mencionadas anteriormente. De hecho, si${\displaystyle P}$es falso, entonces${\displaystyle P\Rightarrow Q}$producirá una verdad vacía en cualquier lógica que utilice el condicional material ; ^{[ 7 ]} si${\displaystyle P}$es una falsedad necesaria , entonces también producirá una verdad vacía bajo el condicional estricto .

Otras lógicas no clásicas, como la lógica de relevancia , pueden intentar evitar verdades vacías mediante el uso de condicionales alternativos (como el caso del condicional contrafactual ).

Muchos entornos de programación cuentan con un mecanismo para consultar si cada elemento de una colección de elementos satisface algún predicado. Es común que dicha consulta siempre se evalúe como verdadera para una colección vacía. Por ejemplo:

• En JavaScript , el método arrayevery ejecuta una función de devolución de llamada proporcionada una vez por cada elemento presente en el array, deteniéndose solo si encuentra un elemento para el cual la función de devolución de llamada devuelve falso. Cabe destacar que llamar al everymétodo en un array vacío devolverá verdadero para cualquier condición. ^{[ 8 ]}
• En Pythonall() , la función integrada devuelve verdadero Truesolo cuando todos los elementos de un iterable (en este ejemplo, una lista) son Trueverdaderos o el iterable está vacío: all([1,1])==True; all([1,1,0])==False; all([])==True. ^{[ 9 ]} Una forma menos ambigua de expresar esto es decir all()que devuelve verdadero cuando ninguno de los elementos es verdadero False.
• En Rust , la Iterator::allfunción acepta un iterador y un predicado, y truesolo regresa cuando el predicado devuelve verdadero truepara todos los elementos producidos por el iterador, o si el iterador no produce ningún elemento. ^{[ 10 ]}
• En SQL, la función ANY_VALUEpuede variar dependiendo del comportamiento del RDBMS en relación con los valores NULL y la verdad vacía. Algunos RDBMS podrían devolver nullincluso si hay nullvalores no nulos. ^{[ 11 ]} Algunos DBMS podrían no permitir su uso en cláusulas filter(...)OR over(.. ).
• En Kotlin , el método collection alldevuelve true truecuando la colección está vacía.
• En C# , el método Linq Alldevuelve true truecuando la colección está vacía.
• En C++ , la std::all_ofplantilla de función devuelve truepara una colección vacía. ^{[ 12 ]}
• En Agda , un tipo vacío (por ejemplo, ⊥, que se define sin constructores) es 'falso' a nivel de tipo, siguiendo la correspondencia de Curry-Howard . Un parámetro de tal tipo puede compararse con un patrón 'absurdo' y una ecuación que contiene dicho patrón no tiene lado derecho. El principio de ex falso quodlibet puede definirse de esta manera como una función . La función es entonces una prueba de la proposición trivialmente verdadera para cada proposición (es decir, tipo) . Por ejemplo, es una prueba de .efq : ∀ {n} {a : Set n} → ⊥ → aefq⊥ → aa⊥ → ⊥

Estos ejemplos, uno de las matemáticas y otro del lenguaje natural , ilustran el concepto de verdades vacías:

• "Para cualquier entero x , si x > 5 entonces x > 3. " ^{[ 13 ]} – Esta afirmación es verdadera no trivialmente (ya que algunos enteros son de hecho mayores que 5), pero algunas de sus implicaciones son solo trivialmente verdaderas: por ejemplo, cuando x es el entero 2, la afirmación implica la verdad trivial de que "si 2 > 5 entonces 2 > 3 ".
• «Todos mis hijos son cabras» es una verdad vacía cuando la dice alguien sin hijos. De igual modo, «Ninguno de mis hijos es cabra» también sería una verdad vacía cuando la dice la misma persona.

• Condicional contrafactual (lingüística)
• Descripción definitiva
• Las leyes de De Morgan , específicamente la ley que establece que una afirmación universal es verdadera solo si no existe ningún contraejemplo:${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg \exists x\,\neg P(x)}$
• suma vacía y producto vacío
• Función vacía
• Paradojas de implicación material , especialmente el principio de explosión.
• Presuposición , doble pregunta
• Estado de cosas (filosofía)
• Tautología (lógica) : otro tipo de afirmación verdadera que tampoco transmite ninguna información sustancial.
• Trivialidad (matemáticas) y degeneración (matemáticas)