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Articulo de referencia

Principio de explosión

En la lógica clásica , la lógica intuicionista y sistemas lógicos similares , el principio de explosión [ a ] [ b ] es el teorema según el cual cualquier enunciado puede probars...

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En la lógica clásica , la lógica intuicionista y sistemas lógicos similares , el principio de explosión [ a ] [ b ] es el teorema según el cual cualquier enunciado puede probarse a partir de una contradicción . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Es decir, a partir de una contradicción, cualquier proposición (incluida su negación ) puede inferirse; esto se conoce como explosión deductiva . [ 4 ] [ 5 ]

La prueba de este principio fue dada por primera vez por el filósofo francés del siglo XII Guillermo de Soissons . [ 6 ] Debido al principio de explosión, la existencia de una contradicción ( inconsistencia ) en un sistema axiomático formal es desastrosa; puesto que cualquier enunciado —verdadero o falso— puede probarse, trivializa los conceptos de verdad y falsedad. [ 7 ] Alrededor del cambio de siglo XX, el descubrimiento de contradicciones como la paradoja de Russell en los fundamentos de las matemáticas amenazó así toda la estructura de las matemáticas. Matemáticos como Gottlob Frege , Ernst Zermelo , Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem dedicaron mucho esfuerzo a revisar la teoría de conjuntos para eliminar estas contradicciones, dando como resultado la teoría de conjuntos moderna de Zermelo-Fraenkel .

Como demostración del principio, consideremos dos afirmaciones contradictorias: «Todos los limones son amarillos» y «No todos los limones son amarillos», y supongamos que ambas son verdaderas. Si ese es el caso, se puede demostrar cualquier cosa, por ejemplo, la afirmación de que « los unicornios existen», utilizando el siguiente argumento:

  1. Sabemos que "No todos los limones son amarillos", ya que se ha dado por sentado que es cierto.
  2. Sabemos que "Todos los limones son amarillos", ya que se ha dado por sentado que es cierto.
  3. Por lo tanto, la afirmación de dos partes "Todos los limones son amarillos o existen los unicornios" también debe ser verdadera, ya que la primera parte de la afirmación ("Todos los limones son amarillos") ya se ha asumido, y el uso de " o " significa que si incluso una parte de la afirmación es verdadera, la afirmación en su conjunto también debe ser verdadera.
  4. Sin embargo, dado que también sabemos que "No todos los limones son amarillos" (como se ha asumido), la primera parte es falsa y, por lo tanto, la segunda parte debe ser verdadera para asegurar que la afirmación de dos partes sea verdadera, es decir, que los unicornios existen (esta inferencia se conoce como silogismo disyuntivo ).
  5. El procedimiento puede repetirse para demostrar que los unicornios no existen (probando así una contradicción adicional donde los unicornios existen y no existen a la vez), así como cualquier otra fórmula bien formulada . De este modo, se produce una explosión de enunciados demostrables.

Como solución alternativa a los problemas que plantea el principio de explosión, algunos matemáticos han ideado teorías lógicas alternativas llamadas lógicas paraconsistentes , que permiten demostrar algunas afirmaciones contradictorias sin afectar el valor de verdad de (todas) las demás afirmaciones. [ 7 ]

Representación simbólica

En lógica simbólica , el principio de explosión puede expresarse esquemáticamente de la siguiente manera: [ 8 ] [ 9 ]

PAG,¬PAG⊢Q{\displaystyle P,\lnot P\vdash Q} Para cualesquiera enunciados P y Q , si P y no- P son ambos verdaderos, entonces lógicamente se deduce que Q es verdadero.

Prueba

A continuación se presenta el argumento de Lewis , [ 10 ] una prueba formal del principio de explosión utilizando lógica simbólica .

Esta demostración fue publicada por C.I. Lewis y lleva su nombre, aunque versiones de la misma eran conocidas por los lógicos medievales. [ 11 ] [ 12 ] [ 10 ]

Esta es solo la versión simbólica del argumento informal presentado en la introducción, conPAG{\displaystyle P}significa "todos los limones son amarillos" yQ{\displaystyle Q}que significa "Los unicornios existen". Partimos de la premisa de que (1) todos los limones son amarillos y que (2) no todos los limones son amarillos. De la proposición de que todos los limones son amarillos, inferimos que (3) o todos los limones son amarillos o existen los unicornios. Pero luego, a partir de esto y del hecho de que no todos los limones son amarillos, inferimos que (4) los unicornios existen por silogismo disyuntivo.

Argumento semántico

Un argumento alternativo para el principio proviene de la teoría de modelos . Una oraciónPAG{\displaystyle P}es una consecuencia semántica de un conjunto de oracionesΓ{\displaystyle \Gamma }solo si cada modelo deΓ{\displaystyle \Gamma }es un modelo dePAG{\displaystyle P}Sin embargo, no existe un modelo del conjunto contradictorio.(PAG∧¬PAG){\displaystyle (P\wedge \lnot P)}. A fortiori , no hay ningún modelo de(PAG∧¬PAG){\displaystyle (P\wedge \lnot P)}ese no es un modelo deQ{\displaystyle Q}. Por lo tanto, de manera vacía, cada modelo de(PAG∧¬PAG){\displaystyle (P\wedge \lnot P)}es un modelo deQ{\displaystyle Q}. De este modoQ{\displaystyle Q}es una consecuencia semántica de(PAG∧¬PAG){\displaystyle (P\wedge \lnot P)}.

lógica paraconsistente

Se han desarrollado lógicas paraconsistentes que permiten operadores formadores subcontrarios . Los lógicos paraconsistentes de la teoría de modelos a menudo niegan la suposición de que no puede haber un modelo de{ϕ,¬ϕ}{\displaystyle \{\phi ,\lno \phi \}}y diseñan sistemas semánticos en los que existen tales modelos. Alternativamente, rechazan la idea de que las proposiciones puedan clasificarse como verdaderas o falsas. Las lógicas paraconsistentes de la teoría de la demostración suelen negar la validez de uno de los pasos necesarios para derivar una explosión, que normalmente incluye el silogismo disyuntivo , la introducción de la disyunción y la reducción al absurdo .

Uso

El valor metamatemático del principio de explosión es que para cualquier sistema lógico donde se cumple este principio, cualquier teoría derivada que demuestre ⊥ (o una forma equivalente,ϕ∧¬ϕ{\displaystyle \phi \land \lnot \phi }El principio de explosión es inútil porque todas sus afirmaciones se convertirían en teoremas , lo que haría imposible distinguir la verdad de la falsedad. Es decir, el principio de explosión es un argumento a favor de la ley de no contradicción en la lógica clásica, porque sin él todas las afirmaciones verdaderas carecen de sentido.

La reducción de la fuerza de prueba de las lógicas sin el principio de explosión se analiza en la lógica mínima .

Véase también

Notas

  1. ↑ Latín : ex falso [sequitur] quodlibet , 'de la falsedad, cualquier cosa [sigue]'; o ex contradictione [sequitur] quodlibet , ' de la contradicción, cualquier cosa [sigue] ' .
  2. ↑ También conocido como el principio de Pseudo-Escoto (atribuido erróneamente a Duns Escoto ).
  3. ↑ Burgess2005 utiliza 2 y 3 como premisas en lugar de esta.

Referencias

  1. ↑ Carnielli, Walter ; Marcos, João (2001). "Ex contradictione non sequitur quodlibet" (PDF) . Boletín de Razonamiento y Conocimiento Avanzados . 1 : 89-109 .
  2. ↑ Smith, Peter (2020). Introducción a la lógica formal (PDF) (2.ª ed.). Cambridge University Press. Capítulo 17.
  3. ↑ MacFarlane, John (2021). Lógica filosófica: una introducción contemporánea . Routledge. Capítulo 7.
  4. ↑ Başkent, Can (2013). "Algunas propiedades topológicas de los modelos paraconsistentes". Synthese . 190 (18): 4023. doi : 10.1007/s11229-013-0246-8 . S2CID 9276566 . 
  5. ↑ Carnielli, Walter; Coniglio, Marcelo Esteban (2016). Lógica paraconsistente: consistencia, contradicción y negación . Lógica, epistemología y la unidad de la ciencia. Vol. 40. Springer. ix. doi : 10.1007/978-3-319-33205-5 . ISBN  978-3-319-33203-1.
  6. ↑ Priest, Graham . 2011. "¿Qué tienen de malo las contradicciones?" En La ley de la no contradicción , editado por Priest, Beal y Armour-Garb. Oxford: Clarendon Press. pág. 25.
  7. 1 2 McKubre-Jordens, Maarten (agosto de 2011). "Esto no es una zanahoria: matemáticas paraconsistentes" . Revista Plus . Proyecto Matemático del Milenio . Recuperado el 14 de enero de 2017 .
  8. ↑ de Swart, Harrie (2018). Lógica filosófica y matemática . Springer. pág. 47.
  9. ↑ Gamut, LTF (1991). Lógica, lenguaje y significado, volumen 1. Introducción a la lógica . University of Chicago Press. pág. 139.
  10. 1 2 MacFarlane, John (2021). Lógica filosófica: una introducción contemporánea . Routledge. pág. 171. ISBN  978-1-315-18524-8.
  11. ↑ Lewis, CI; Langford, CH (1959). Lógica simbólica (2.ª ed.). Dover. p. 250. ISBN   9780486601700.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  12. ↑ Burgess, John P (2005). The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic (ed. Stewart Shapiro) . Oxford University Press. p. 732. ISBN  9780195325928.