Conjetura de Kummer-Vandiver

En matemáticas , la conjetura de Kummer-Vandiver , o conjetura de Vandiver , afirma que un número primo p no divide al número de clase h _K del subcampo real maximal.${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _ {p})^{+}}$del p -ésimo campo ciclotómico . La conjetura fue formulada por primera vez por Ernst Kummer el 28 de diciembre de 1849 y el 24 de abril de 1853 en cartas a Leopold Kronecker , reimpresas en ( Kummer 1975 , páginas 84, 93, 123–124) , y redescubierta independientemente alrededor de 1920 por Philipp Furtwängler y Harry Vandiver ( 1946 , p. 576) . 

A fecha de 2011, no existe ninguna prueba particularmente sólida ni a favor ni en contra de la conjetura, y no está claro si es verdadera o falsa, aunque es probable que los contraejemplos sean muy raros.

El número de clase h del campo ciclotómico ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {p})}$es un producto de dos enteros h ₁ y h ₂ , llamados primer y segundo factor del número de clase, donde h ₂ es el número de clase del subcampo real maximal.${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _ {p})^{+}}$del p -ésimo campo ciclotómico. El primer factor h ₁ se comprende bien y se puede calcular fácilmente en términos de números de Bernoulli , y suele ser bastante grande. El segundo factor h ₂ no se comprende bien y es difícil de calcular explícitamente, y en los casos en que se ha calculado suele ser pequeño.

Kummer demostró que si un número primo p no divide al número de clase h , entonces el Último Teorema de Fermat se cumple para el exponente p .

La conjetura de Kummer-Vandiver afirma que p no divide al segundo factor h² _. Kummer demostró que si p divide al segundo factor, también divide al primero. En particular, la conjetura de Kummer-Vandiver se cumple para los números primos regulares (aquellos para los que p no divide al primer factor).

Kummer verificó la conjetura de Kummer-Vandiver para p menor que 200, y Vandiver la extendió a p menor que 600. Joe Buhler, Richard Crandall y Reijo Ernvall et al. ( 2001 ) la verificaron para p < 12.000.000. Buhler y Harvey (2011) la extendieron a primos menores que 163.000.000, y Hart, Harvey y Ong (2017) la extendieron a primos menores que 2 ³¹ . 

Washington (1996 , p. 158) describe un argumento de probabilidad informal, basado en supuestos bastante dudosos sobre la equidistribución de los números de clase módulo p , que sugiere que el número de primos menores que x que son excepciones a la conjetura de Kummer-Vandiver podría crecer como (1/2)log log x . Esto crece extremadamente lento y sugiere que los cálculos informáticos no proporcionan mucha evidencia para la conjetura de Vandiver: por ejemplo, el argumento de probabilidad (combinado con los cálculos para primos pequeños) sugiere que solo se debería esperar alrededor de 1 contraejemplo en los primeros 10 ¹⁰⁰ primos, lo que sugiere que es improbable que se encuentre algún contraejemplo mediante búsquedas de fuerza bruta adicionales incluso si hay un número infinito de excepciones. 

Schoof (2003) realizó cálculos conjeturales de los números de clase de los campos ciclotómicos reales para primos hasta 10000, lo que sugiere firmemente que los números de clase no se distribuyen aleatoriamente módulo p . Suelen ser bastante pequeños y a menudo son simplemente 1. Por ejemplo, asumiendo la hipótesis generalizada de Riemann , el número de clase del campo ciclotómico real para el primo p es 1 para p < 163, y divisible por 4 para p = 163. Esto sugiere que el argumento informal de probabilidad de Washington contra la conjetura podría ser engañoso.

Mihăilescu (2010) ofreció una versión refinada del argumento heurístico de Washington, sugiriendo que la conjetura de Kummer-Vandiver es probablemente cierta.

Kurihara (1992) demostró que la conjetura es equivalente a una afirmación en la teoría algebraica K de los enteros, a saber, que K _n ( Z ) = 0 siempre que n sea múltiplo de 4. De hecho, de la conjetura de Kummer-Vandiver y del teorema de isomorfismo de residuos de norma se deduce un cálculo conjetural completo de los grupos K para todos los valores de n ; véase la conjetura de Quillen-Lichtenbaum para más detalles.

• Números primos regulares e irregulares
• Teorema de Herbrand-Ribet

• Buhler, Joe ; Crandall, Richard ; Ernvall, Reijo; Metsänkylä, Tauno; Shokrollahi, M. Amin (2001), Bosma, Wieb (ed.), "Números primos irregulares e invariantes ciclotómicos hasta 12 millones", Álgebra computacional y teoría de números (Actas de la 2.ª Conferencia Internacional Magma celebrada en la Universidad de Marquette, Milwaukee, WI, del 12 al 16 de mayo de 1996), Journal of Symbolic Computation , 31 (1): 89–96 , doi : 10.1006/jsco.1999.1011 , ISSN 0747-7171 , MR 1806208  
• Ghate, Eknath (2000), "La conjetura de Vandiver a través de la teoría K" (PDF) , en Adhikari, SD; Katre, SA; Thakur, Dinesh (eds.), Campos ciclotómicos y temas relacionados , Actas de la Escuela de Verano sobre Campos Ciclotómicos celebrada en Pune, del 7 al 30 de junio de 1999, Bhaskaracharya Pratishthana, Pune, pp. 285–298 , MR 1802389  
• Buhler, JP ; Harvey, D. (2011), "Números primos irregulares hasta 163 millones", Mathematics of Computation , 80 (276): 2435–2444 , arXiv : 0912.2121 , doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02461-0 , MR 2813369 
• Hart, William; Harvey, David; Ong, Wilson (2017), "Números primos irregulares hasta dos mil millones", Mathematics of Computation , 86 (308): 3031–3049 , arXiv : 1605.02398 , doi : 10.1090/mcom/3211 , MR 3667037 , S2CID 37245286  
• Kummer, Ernst Eduard (1975), Weil, André (ed.), Artículos recopilados. Volumen 1: Contribuciones a la teoría de números , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06835-0, MR 0465760 
• Kurihara, Masato (1992), "Algunas observaciones sobre conjeturas acerca de campos ciclotómicos y grupos K de Z" , Compositio Mathematica , 81 (2): 223–236 , ISSN 0010-437X , MR 1145807  
• Mihăilescu, Preda (2010), Turning Washington's heuristics in favor of Vandiver's conjecture , arXiv : 1011.6283 , Bibcode : 2010arXiv1011.6283M
• Schoof, René (2003), "Números de clase de campos ciclotómicos reales de conductores primos", Mathematics of Computation , 72 (242): 913–937 , doi : 10.1090/S0025-5718-02-01432-1 , ISSN 0025-5718 , MR 1954975  
• Vandiver, HS (1946), "El último teorema de Fermat. Su historia y la naturaleza de los resultados conocidos al respecto", The American Mathematical Monthly , 53 (10): 555–578 , doi : 10.1080/00029890.1946.11991754 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2305236 , MR 0018660   
• Washington, Lawrence C. (1996), Introducción a los campos ciclotómicos , Springer, ISBN 978-0-387-94762-4