Conjetura de Kummer-Vandiver

En matemáticas , la conjetura de Kummer-Vandiver , o conjetura de Vandiver , afirma que un número primo${\displaystyle p}$no divide el número de clase${\displaystyle h_{K}}$del subcampo real máximo${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _ {p})^{+}}$del${\displaystyle p}$-ésimo campo ciclotómico . La conjetura fue formulada por primera vez por Ernst Kummer , el 28 de diciembre de 1849 y el 24 de abril de 1853 en cartas a Leopold Kronecker , ^{[ 1 ]} y redescubierta independientemente alrededor de 1920 por Philipp Furtwängler y Harry Vandiver . ^{[ 2 ]}

A fecha de 2011, no existe ninguna prueba particularmente sólida ni a favor ni en contra de la conjetura, y no está claro si es verdadera o falsa, aunque es probable que los contraejemplos sean muy raros.

El número de clase${\displaystyle h}$del campo ciclotómico ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {p})}$es el producto de dos números enteros${\displaystyle h_{1}}$y${\displaystyle h_{2}}$, llamados primer y segundo factor del número de clase, donde${\displaystyle h_{2}}$es el número de clase del subcampo real máximo${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _ {p})^{+}}$del${\displaystyle p}$-ésimo campo ciclotómico. El primer factor${\displaystyle h_{1}}$Se entiende bien y se puede calcular fácilmente en términos de números de Bernoulli , y suele ser bastante grande. El segundo factor${\displaystyle h_{2}}$No se comprende bien y es difícil de calcular explícitamente, y en los casos en que se ha calculado, suele ser pequeño.

Kummer demostró que si un primo${\displaystyle p}$no divide el número de clase${\displaystyle h}$, entonces el último teorema de Fermat se cumple para el exponente${\displaystyle p}$.

La conjetura de Kummer-Vandiver establece que${\displaystyle p}$no divide el segundo factor${\displaystyle h_{2}}$Kummer demostró que si${\displaystyle p}$divide el segundo factor, y luego también divide el primer factor. En particular, la conjetura de Kummer-Vandiver se cumple para los primos regulares (aquellos para los cuales${\displaystyle p}$no divide al primer factor).

Kummer verificó la conjetura de Kummer-Vandiver para${\displaystyle p}$menos de 200, y Vandiver extendió esto a${\displaystyle p}$menos de 600. Buhler , Crandall et al. lo verificaron para p < 12000000. ^{[ 3 ]} Buhler y Harvey extendieron esto a primos menores que 163000000, ^{[ 4 ]} y Hart, Harvey y Ong lo extendieron a primos menores que 2 ³¹ . ^{[ 5 ]}

Washington describe un argumento de probabilidad informal, ^{[ 6 ]} basado en supuestos bastante dudosos sobre la equidistribución de los números de clase módulo${\displaystyle p}$, lo que sugiere que el número de primos menores que${\displaystyle x}$que son excepciones a la conjetura de Kummer-Vandiver podrían crecer como${\displaystyle (\log \log x)/2}$. Este crecimiento es extremadamente lento y sugiere que los cálculos informáticos no proporcionan mucha evidencia para la conjetura de Vandiver: por ejemplo, el argumento de probabilidad (combinado con los cálculos para primos pequeños) sugiere que solo se debería esperar alrededor de 1 contraejemplo en los primeros 10 ¹⁰⁰ primos, lo que sugiere que es poco probable que se encuentre algún contraejemplo mediante búsquedas de fuerza bruta adicionales, incluso si hay un número infinito de excepciones.

Schoof realizó cálculos conjeturales de los números de clase de los campos ciclotómicos reales para primos hasta 10000, lo que sugiere fuertemente que los números de clase no están distribuidos aleatoriamente.${\displaystyle p}$. ^{[ 7 ]} Suelen ser bastante pequeños y a menudo son simplemente${\displaystyle 1}$. Por ejemplo, asumiendo la hipótesis generalizada de Riemann , el número de clases del campo ciclotómico real para el primo${\displaystyle p}$es${\displaystyle 1}$para${\displaystyle p<163}$y divisible por${\displaystyle 4}$para${\displaystyle p=163}$Esto sugiere que el argumento informal de probabilidad de Washington contra la conjetura puede ser engañoso.

Mihăilescu ofreció una versión refinada del argumento heurístico de Washington, sugiriendo que la conjetura de Kummer-Vandiver es probablemente cierta. ^{[ 8 ]}

Kurihara demostró que la conjetura es equivalente a una afirmación en la teoría K algebraica de los enteros, a saber, que ${\displaystyle K_{n}(\mathbb {Z} )=0}$cuando sea${\displaystyle n}$es un múltiplo de${\displaystyle 4}$. ^{[ 9 ] [ 10 ]} De hecho, de la conjetura de Kummer-Vandiver y del teorema de isomorfismo de residuos de norma se deduce un cálculo conjetural completo de la${\displaystyle K}$-grupos para todos los valores de${\displaystyle n}$; véase la conjetura de Quillen-Lichtenbaum para más detalles.

• Números primos regulares e irregulares
• Teorema de Herbrand-Ribet