Variable (matemáticas)

En matemáticas , una variable (del latín variabilis ' cambiable ' ) es un símbolo , generalmente una letra, que se refiere a un objeto matemático no especificado . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Coloquialmente se dice que la variable representa o denota el objeto, y que cualquier candidato válido para el objeto es el valor de la variable. Los valores que puede tomar una variable suelen ser del mismo tipo, a menudo números. Más específicamente, los valores involucrados pueden formar un conjunto , como el conjunto de los números reales .

El objeto puede no existir siempre, o puede ser incierto si existe algún candidato válido. Por ejemplo, se podrían representar dos números enteros con las variables $p$ y $q$ y exigir que el cuadrado de $p$ sea el doble del cuadrado de $q$ , lo que en notación algebraica se puede escribir $como$ $p² = 2q² .$ Una demostración definitiva de que esta relación es imposible de satisfacer cuando $p$ $y$ $q$ están restringidos a enteros distintos de cero no es obvia, pero se conoce desde la antigüedad y ha tenido una gran influencia en las matemáticas desde entonces.

Originalmente, el término variable se utilizaba principalmente para el argumento de una función , cuyo valor variaba dentro del dominio de la función . Esta es la razón de la elección del término. Además, las variables se utilizan para denotar valores de funciones, como el símbolo $y$ en la ecuación $y = f (x)$ , donde $x$ es el argumento y $f$ denota la función misma.

Una variable puede representar un número no especificado que permanece fijo durante la resolución de un problema; en cuyo caso, se suele llamar parámetro . Una variable también puede denotar un número desconocido $que$ debe determinarse; en cuyo caso, se le llama incógnita ; por ejemplo, en la ecuación cuadrática $ax² + bx + c = 0$ , las variables $a$ , $b$ y $c$ son parámetros, y $x$ es la incógnita.

A veces, un mismo símbolo puede usarse para denotar tanto una variable como una constante , es decir, un objeto matemático bien definido. Por ejemplo, la letra griega $π$ generalmente representa el número $π$ , pero también se ha usado para denotar una proyección . De manera similar, la letra $e$ a menudo denota el número de Euler , pero se ha usado para denotar un coeficiente no asignado para funciones cuárticas y polinomios de grado superior . Incluso el símbolo $1$ se ha usado para denotar un elemento neutro de un cuerpo arbitrario . Estas dos nociones se usan casi idénticamente, por lo que generalmente se debe indicar si un símbolo dado denota una variable o una constante. ^{[ 4 ]}

Las variables se utilizan a menudo para representar matrices , funciones , sus argumentos, conjuntos y sus elementos , vectores , espacios , etc. ^{[ 5 ]}

En lógica matemática , una variable es un símbolo que representa una constante no especificada de la teoría o sobre la cual se realiza una cuantificación . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Historia

Historia temprana

Los primeros usos de una "cantidad desconocida" se remontan al menos al Antiguo Egipto con el Papiro Matemático de Moscú (c. 1500 a. C.), que describía problemas con incógnitas de forma retórica, llamados "problemas Aha". Los "problemas Aha" implican encontrar cantidades desconocidas (denominadas aha , "pila") si se da la suma de la cantidad y parte(s) de ella (el Papiro Matemático de Rhind también contiene cuatro de estos tipos de problemas). Por ejemplo, el problema 19 pide calcular una cantidad tomada 1 + 1/2 veces y sumada a 4 para obtener 10. ^{[ 9 ]} En notación matemática moderna: $3/2 x + 4 = 10$ . Casi al mismo tiempo en Mesopotamia, las matemáticas del período paleobabilónico (c. 2000 a. C. – 1500 a $.$ $C.$ ) estaban más avanzadas, y también estudiaban ecuaciones cuadráticas $y$ cúbicas . ^{[ 10 ]}

Una página de *los Elementos* de Euclides

En obras de la antigua Grecia, como los Elementos de Euclides (c. 300 a. C.), las matemáticas se describían geométricamente . Por ejemplo, en Los Elementos , proposición 1 del Libro II, Euclides incluye la proposición:

"Si hay dos líneas rectas, y una de ellas se divide en cualquier número de segmentos, el rectángulo formado por las dos líneas rectas es igual a la suma de los rectángulos formados por la línea recta sin dividir y cada uno de los segmentos."

Esto corresponde a la identidad algebraica $a (b + c) = ab + ac$ ( distributividad ), pero se describe completamente de forma geométrica. Euclides y otros geómetras griegos también usaban letras individuales para referirse a puntos y figuras geométricas. Este tipo de álgebra se denomina ahora a veces álgebra geométrica griega . ^{[ 10 ]}

Diofanto de Alejandría [ ¹¹^{] fue pionero}^en una forma de álgebra sincopada en su Arithmetica (c. 200 d. C.), que introdujo la manipulación simbólica de expresiones con incógnitas y potencias, pero sin símbolos modernos para relaciones (como igualdad o desigualdad ) o exponentes . ^{[ 12 ]} Un número desconocido se llamaba $\zeta$ . ^{[ 13 ]} El cuadrado de $\zeta$ era $\Delta ^{v}$ ; el cubo era $K^{v}$ ; la cuarta potencia era $\Delta ^{v}\Delta$ ; y la quinta potencia fue $\Delta K^{v}$ . ^{[ 14 ]} Por ejemplo, lo que se escribiría en notación moderna sería: $x^{3}-2x^{2}+10x-1,$ Se escribiría en la notación sincopada de Diofanto como:

\mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;

En el siglo VII a. C., Brahmagupta utilizó diferentes colores para representar las incógnitas en las ecuaciones algebraicas del Brāhmasphuṭasiddhānta . Una sección de este libro se llama "Ecuaciones de varios colores". ^{[ 15 ]} Los avances matemáticos griegos y de otras culturas antiguas a menudo se encontraban atrapados en largos períodos de estancamiento, por lo que hubo pocas revoluciones en la notación, pero esto comenzó a cambiar a principios de la Edad Moderna .

Período moderno temprano

A finales del siglo XVI, François Viète introdujo la idea de representar números conocidos y desconocidos mediante letras, hoy llamadas variables, y la idea de realizar cálculos con ellas como si fueran números, para obtener el resultado mediante una simple sustitución. La convención de Viète consistía en usar consonantes para los valores conocidos y vocales para los desconocidos. ^{[ 16 ]}

En 1637, René Descartes «inventó la convención de representar las incógnitas en las ecuaciones mediante $x$ , $y$ y $z$ , y las conocidas mediante $a$ , $b$ y $c$ ». ^{[ 17 ]} A diferencia de la convención de Viète, la de Descartes todavía se usa comúnmente. La historia de la letra x en matemáticas se trató en un artículo de Scientific American de 1887. ^{[ 18 ]}

A partir de la década de 1660, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal , que consiste esencialmente en estudiar cómo una variación infinitesimal de una magnitud que varía con el tiempo, llamada Fluent , induce una variación correspondiente de otra magnitud que es función de la primera variable. Casi un siglo después, Leonhard Euler estandarizó la terminología del cálculo infinitesimal e introdujo la notación $y = f (x)$ para una función $f$ , su variable $x$ y su valor $y$ . Hasta finales del siglo XIX, la palabra variable se refería casi exclusivamente a los argumentos y los valores de las funciones.

En la segunda mitad del siglo XIX, parecía que los fundamentos del cálculo infinitesimal no estaban suficientemente formalizados para abordar paradojas aparentes como una función continua no diferenciable en ningún punto . Para resolver este problema, Karl Weierstrass introdujo un nuevo formalismo que consistía en reemplazar la noción intuitiva de límite por una definición formal. La antigua noción de límite era "cuando la variable $x$ varía y tiende hacia $a$ , entonces $f$ $($ $x$ $)$ tiende hacia $L$ ", sin ninguna definición precisa de "tiende". Weierstrass reemplazó esta frase por la fórmula

(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|x-a|<\eta

\;\Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon ,

en la que ninguna de las cinco variables se considera variable.

Esta formulación estática dio lugar a la noción moderna de variable, que es simplemente un símbolo que representa un objeto matemático que es desconocido o que puede ser reemplazado por cualquier elemento de un conjunto dado (por ejemplo, el conjunto de los números reales ).

Notación

Las variables se suelen denotar con una sola letra, generalmente del alfabeto latino y con menos frecuencia del griego , que puede ser minúscula o mayúscula. La letra puede ir seguida de un subíndice: un número (como en $x²$ ), otra variable ( $xi$ $)$ , una palabra o abreviatura de una palabra como etiqueta ( $x$ $total$ ) o una expresión matemática ( $x²i$ $+$ $1$ ). Bajo la influencia de $la$ informática , algunos nombres de variables en matemáticas puras constan de varias letras y dígitos. Siguiendo a René Descartes (1596-1650), las letras al principio del alfabeto, como $a$ , $b$ , $c,$ $se$ utilizan comúnmente para valores y parámetros conocidos, y las letras al final del alfabeto, como $x$ , $y$ , $z,$ se utilizan comúnmente para incógnitas y variables de funciones. ^[¹⁹^] En matemáticas impresas, la norma es escribir las variables y constantes en cursiva. ^[²⁰^]

$Por ejemplo ,$ una función cuadrática general se escribe convencionalmente como $ax² + bx + c$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son parámetros (también llamados constantes , porque son funciones constantes ), mientras que $x$ es la variable de la función. Una forma más explícita de denotar esta función es $x$ $\mapsto$ $ax²$ $+$ $bx$ $+$ $c$ , lo que aclara el estatus de argumento de la función de $x$ y el estatus de constante de $a$ $,$ b $y$ c $.$ Dado que $c$ aparece en un término que es una función constante de $x$ , se le llama término constante . ^[²¹^]

Las distintas ramas y aplicaciones de las matemáticas tienen convenciones de nomenclatura específicas para las variables. A las variables con funciones o significados similares se les suelen asignar letras consecutivas o la misma letra con diferentes subíndices. Por ejemplo, los tres ejes en el espacio de coordenadas tridimensional se denominan convencionalmente $x$ , $y$ y $z$ . En física, los nombres de las variables están determinados en gran medida por la magnitud física que describen, pero existen diversas convenciones de nomenclatura. Una convención que se sigue a menudo en probabilidad y estadística es usar $X$ , $Y$ , $Z$ para los nombres de las variables aleatorias , reservando $x$ , $y$ , $z$ para las variables que representan valores correspondientes mejor definidos.

Nombres de variables convencionales

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ (a veces extendido a $e$ , $f$ ) para parámetros o coeficientes
$a 0$ , $a 1$ , $a 2$ , ... para situaciones en las que las letras distintas resultan inconvenientes
$a i$ o $u i$ para el $i-$ ésimo término de una sucesión o el $i-$ ésimo coeficiente de una serie
$f$ , $g$ , $h$ para funciones (como en $f (x)$ )
$i$ , $j$ , $k$ (a veces $l$ o $h$ ) para números enteros variables o índices en una familia indexada , o vectores unitarios.
$l$ y $w$ representan la longitud y el ancho de una figura.
$l$ también para una línea, o en teoría de números para un número primo distinto de $p$
$n$ (con $m$ como segunda opción) para un número entero fijo, como el número de objetos o el grado de un polinomio.
$p$ para un número primo o una probabilidad
$q$ para una potencia prima o un cociente
$r$ para un radio , un resto o un coeficiente de correlación
$t$ de tiempo
$x$ , $y$ , $z$ para las tres coordenadas cartesianas de un punto en geometría euclidiana o los ejes correspondientes.
$z$ para un número complejo , o en estadística una variable aleatoria normal
$α$ , $β$ , $γ$ , $θ$ , $φ$ para medidas de ángulos
$ε$ (con $δ$ como segunda opción) para un número positivo arbitrariamente pequeño.
$λ$ para un valor propio
$Σ$ (sigma mayúscula) para una suma, o $σ$ (sigma minúscula) en estadística para la desviación estándar ^{[ 22 ]}
$μ$ para una media

Tipos específicos de variables

Es común que las variables desempeñen diferentes funciones en la misma fórmula matemática, y se han introducido nombres o calificadores para distinguirlas. Por ejemplo, la ecuación cúbica general.

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

Se interpreta que tiene cinco variables: cuatro, $a, b, c, d$ , que se consideran números dados, y la quinta variable, $x,$ se entiende como un número desconocido . Para distinguirlas, la variable $x$ se denomina incógnita , y las demás variables se denominan parámetros o coeficientes , o a veces constantes , aunque esta última terminología es incorrecta para una ecuación y debería reservarse para la función definida por el lado izquierdo de esta ecuación.

En el contexto de las funciones, el término variable se refiere comúnmente a los argumentos de las funciones. Este es el caso típico en oraciones como " función de una variable real ", " $x$ es la variable de la función $f : x \mapsto f (x)$ ", " $f$ es una función de la variable $x$ " (lo que significa que el argumento de la función se denomina mediante la variable $x$ ).

En este mismo contexto, las variables independientes de $x$ definen funciones constantes y, por lo tanto, se denominan constantes . Por ejemplo, una constante de integración es una función constante arbitraria que se suma a una antiderivada particular para obtener las demás antiderivadas. Debido a la estrecha relación entre polinomios y funciones polinómicas , el término "constante" se usa a menudo para denotar los coeficientes de un polinomio, que son funciones constantes de las indeterminadas.

Otros nombres específicos para las variables son:

Una incógnita es una variable en una ecuación que debe resolverse.
Una indeterminada es un símbolo, comúnmente llamado variable, que aparece en un polinomio o en una serie de potencias formal . Formalmente hablando, una indeterminada no es una variable, sino una constante en el anillo de polinomios o en el anillo de series de potencias formales . Sin embargo, debido a la estrecha relación entre los polinomios o las series de potencias y las funciones que definen, muchos autores consideran las indeterminadas como un tipo especial de variables.
Un parámetro es una cantidad (generalmente un número) que forma parte de la entrada de un problema y permanece constante durante toda su resolución. Por ejemplo, en mecánica , la masa y el tamaño de un cuerpo sólido son parámetros para el estudio de su movimiento. En informática , el término parámetro tiene un significado diferente y designa un argumento de una función.
Variables libres y variables ligadas
Una variable aleatoria es un tipo de variable que se utiliza en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones.

Todas estas denominaciones de variables son de naturaleza semántica , y la forma de operar con ellas ( sintaxis ) es la misma para todas.

Variables dependientes e independientes

En cálculo y su aplicación a la física y otras ciencias, es bastante común considerar una variable, digamos $y$ , cuyos posibles valores dependen del valor de otra variable, digamos $x$ . En términos matemáticos, la variable dependiente $y$ representa el valor de una función de $x$ . Para simplificar las fórmulas, a menudo es útil usar el mismo símbolo para la variable dependiente $y$ y la función que mapea $x$ sobre $y$ . Por ejemplo, el estado de un sistema físico depende de cantidades medibles como la presión , la temperatura , la posición espacial, etc., y todas estas cantidades varían cuando el sistema evoluciona, es decir, son función del tiempo. En las fórmulas que describen el sistema, estas cantidades se representan mediante variables que dependen del tiempo y, por lo tanto, se consideran implícitamente como funciones del tiempo.

Por lo tanto, en una fórmula, una variable dependiente es una variable que es implícitamente función de otra (o varias) variables. Una variable independiente es una variable que no es dependiente. ^{[ 23 ]}

La propiedad de una variable de ser dependiente o independiente a menudo depende del punto de vista y no es intrínseca. Por ejemplo, en la notación $f (x, y, z)$ , las tres variables pueden ser independientes y la notación representa una función de las tres variables. Por otro lado, si $y$ y $z$ dependen de $x$ (son variables dependientes ), entonces la notación representa una función de la única variable independiente $x$ . ^{[ 24 ]}

Ejemplos

Si se define una función $f$ de los números reales a los números reales mediante

f(x)=x^{2}+\sin(x+4)

entonces x es una variable que representa el argumento de la función que se está definiendo, que puede ser cualquier número real.

En la identidad

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}

La variable $i$ es una variable sumatoria que designa sucesivamente cada uno de los enteros $1, 2, ..., n$ (también se le llama índice porque su variación se realiza sobre un conjunto discreto de valores), mientras que $n$ es un parámetro (no varía dentro de la fórmula).

En la teoría de polinomios , un polinomio de grado 2 se suele denotar como $ax² + bx + c$ , donde $a$ , $b$ y $c$ se denominan coeficientes (se consideran fijos, es decir, parámetros del problema en cuestión) y $x$ $se$ denomina variable. Al estudiar este polinomio para su función polinómica , x representa el argumento de la función. Al estudiar el polinomio como un objeto en sí mismo, $x se considera una indeterminada y, a menudo$ $,$ se escribe con mayúscula para indicar esta condición.

Ejemplo: la ley de los gases ideales

Consideremos la ecuación que describe la ley de los gases ideales, $PV=Nk_{\text{B}}T.$ Esta ecuación generalmente se interpreta como compuesta por cuatro variables y una constante. La constante es $k B$ , la constante de Boltzmann . Una de las variables, $N$ , el número de partículas, es un entero positivo (y, por lo tanto, una variable discreta), mientras que las otras tres, $P$ , $V$ y $T$ , que representan la presión, el volumen y la temperatura, son variables continuas.

Se podría reorganizar esta ecuación para obtener $P$ como función de las otras variables, $P(V,N,T)={\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}.$ Entonces $P$ , como función de las otras variables, es la variable dependiente, mientras que sus argumentos, $V$ , $N$ y $T$ , son variables independientes. Se podría abordar esta función de manera más formal y pensar en su dominio y rango: en notación de función, aquí $P$ es una función $P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R}$ .

Sin embargo, en un experimento, para determinar la dependencia de la presión con respecto a una sola de las variables independientes, es necesario fijar todas las variables excepto una, digamos $T.$ Esto da como resultado una función $P(T)={\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}},$ donde ahora $N$ y $V$ también se consideran constantes. Matemáticamente, esto constituye una aplicación parcial de la función $P$ anterior .

Esto ilustra cómo las variables independientes y las constantes dependen en gran medida del punto de vista adoptado. Incluso se podría considerar $k B$ como una variable para obtener una función. $P(V,N,T,k_{\text{B}})={\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}.$

Espacios de módulos

Considerar constantes y variables puede conducir al concepto de espacios de módulos. Para ilustrarlo, consideremos la ecuación de una parábola , $y=ax^{2}+bx+c,$ donde $a$ , $b$ , $c$ , $x$ $e$ y se consideran números reales. El conjunto de puntos $(x, y)$ en el plano 2D que satisfacen esta ecuación traza la gráfica de una parábola. Aquí, $a$ , $b$ y $c$ se consideran constantes que definen la parábola, mientras que $x e$ $y$ son variables.

En lugar de considerar $a$ , $b$ y $c$ como variables, observamos que cada conjunto de 3-tuplas $(a, b, c)$ corresponde a una parábola diferente. Es decir, especifican coordenadas en el "espacio de parábolas": esto se conoce como espacio de módulos de parábolas .

Véase también

Referencias

↑ Sobolev, SK (autor). "Variable individual" . Enciclopedia de Matemáticas . Springer . ISBN 1402006098. Consultado el 5 de septiembre de 2024. Un símbolo de un lenguaje formal utilizado para denotar un elemento arbitrario (individuo) en la estructura descrita por dicho lenguaje.
^ Beckenbach, Edwin F (1982). Álgebra universitaria (5ª ed.). Wadsworth. ISBN 0-534-01007-5Una variable es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado.
↑ Landin, Joseph (1989). Introducción a las estructuras algebraicas . Nueva York: Dover Publications . pág. 204. ISBN 0-486-65940-2Una variable es un símbolo que contiene un espacio para constantes .
↑ "ISO 80000-2:2019" . Cantidades y unidades, Parte 2: Matemáticas . Organización Internacional de Normalización . Archivado del original el 7 de octubre de 2024. Recuperado el 15 de septiembre de 2019 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace )
↑ Stover y Weisstein .
^ van Dalen, Dirk (2008). Lógica y estructura (PDF) (4ª ed.). Springer-Verlag . pag. 57.doi : 10.1007 /978-3-540-85108-0 . ISBN 978-3-540-20879-2.
↑ Feys, Robert ; Fitch, Frederic Brenton (1969). Diccionario de símbolos de lógica matemática . Ámsterdam: North-Holland Pub. Co. LCCN 67030883 .
↑ Shapiro, Stewart; Kouri Kissel, Teresa (2024), "Lógica clásica" , en Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy ( edición de primavera de 2024), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 1 de septiembre de 2024.
↑ Clagett, Marshall. 1999. Ciencia del Antiguo Egipto: Un libro de referencia. Volumen 3: Matemáticas del Antiguo Egipto. Memorias de la Sociedad Filosófica Americana 232. Filadelfia: Sociedad Filosófica Americana. ISBN 0-87169-232-5
1 2 Boyer, Carl B. (Carl Benjamin) (1991). Historia de las matemáticas . Nueva York: Wiley . ISBN 978-0-471-54397-8.
↑ Ecuaciones Diofánticas . Presentado por: Aaron Zerhusen, Chris Rakes y Shasta Meece. MA 330-002. Dr. Carl Eberhart. 16 de febrero de 1999.
↑ Boyer (1991). "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas". p. 178. "La principal diferencia entre la síncopa diofántica y la notación algebraica moderna es la falta de símbolos especiales para operaciones y relaciones, así como de la notación exponencial."
↑ Historia de las matemáticas griegas: De Aristarco a Diofanto. Por Sir Thomas Little Heath. Pág. 456
↑ Historia de las matemáticas griegas: De Aristarco a Diofanto. Por Sir Thomas Little Heath. Pág. 458
↑ Tabak 2014 , pág. 40 .
↑ Fraleigh 1989 , pág. 276 .
↑ Sorell 2000 , pág. 19 .
↑ Scientific American . Munn & Company. 3 de septiembre de 1887. pág. 148.
↑ Edwards 1892 , págs. 1-2 , Artículo 4, "Constantes y variables": "Se ha vuelto convencional utilizar las letras a , b , c , ... , α , β , γ , ... , desde el principio del alfabeto para denotar constantes; y conservar letras posteriores, como u , v , w , x , y , z y las letras griegas ξ , η , ζ para variables."
↑ Hosch 2010 , pág. 71 .
↑ Foerster 2006 , pág. 18 .
↑ Margherita, Barile. "Sigma" . mathworld.wolfram.com . Archivado del original el 28 de marzo de 2025. Consultado el 14 de octubre de 2025 .
↑ Edwards 1892 , págs. 2 , artículo 5, "Variables dependientes e independientes"
↑ Edwards 1892 , págs. 2-3 , artículos 6-7, "Funciones"

Bibliografía

Edwards, Joseph (1892). Un tratado elemental sobre el cálculo diferencial (2.ª ed.). Londres: MacMillan and Co.
Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones ( edición clásica). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-165711-3.
Fraleigh, John B. (1989). Un primer curso de álgebra abstracta (4.ª ed.). Estados Unidos: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-52821-3.
Hosch, William L., ed. (2010). The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry . Britannica Educational Publishing. ISBN 978-1-61530-219-2.
Menger, Karl (1954). "Sobre las variables en matemáticas y en ciencias naturales". The British Journal for the Philosophy of Science . 5 (18). University of Chicago Press: 134– 142. doi : 10.1093/bjps/V.18.134 . JSTOR 685170 .
Peregrin, Jaroslav (2000). «Variables en el lenguaje natural: ¿De dónde vienen?» (PDF) . En Böttner, Michael; Thümmel, Wolf (eds.). Semántica sin variables . Osnabrück Secolo. pp. 46–65 . ISBN 978-3-929979-53-4.
Quine, Willard V. (1960). "Variables explicadas" (PDF) . Actas de la Sociedad Filosófica Americana . 104 (3). Sociedad Filosófica Americana: 343–347 . JSTOR 985250 .
Sorell, Tom (2000). Descartes: Una introducción muy breve . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4.
Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Variable" . En Weisstein, Eric W. (ed.). Wolfram MathWorld . Wolfram Research . Recuperado el 22 de noviembre de 2021 .
Tabak, John (2014). Álgebra: Conjuntos, símbolos y el lenguaje del pensamiento . Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.

[1] Sobolev, SK (autor). "Variable individual" . Enciclopedia de Matemáticas . Springer . ISBN 1402006098. Consultado el 5 de septiembre de 2024. Un símbolo de un lenguaje formal utilizado para denotar un elemento arbitrario (individuo) en la estructura descrita por dicho lenguaje.

[2] Beckenbach, Edwin F (1982). Álgebra universitaria (5ª ed.). Wadsworth. ISBN 0-534-01007-5Una variable es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado.

[3] Landin, Joseph (1989). Introducción a las estructuras algebraicas . Nueva York: Dover Publications . pág. 204. ISBN 0-486-65940-2Una variable es un símbolo que contiene un espacio para constantes .

[80000-2:2019-4] "ISO 80000-2:2019" . Cantidades y unidades, Parte 2: Matemáticas . Organización Internacional de Normalización . Archivado del original el 7 de octubre de 2024. Recuperado el 15 de septiembre de 2019 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace )

[5] Stover y Weisstein .

[6] van Dalen, Dirk (2008). Lógica y estructura (PDF) (4ª ed.). Springer-Verlag . pag. 57.doi : 10.1007 /978-3-540-85108-0 . ISBN 978-3-540-20879-2.

[7] Feys, Robert ; Fitch, Frederic Brenton (1969). Diccionario de símbolos de lógica matemática . Ámsterdam: North-Holland Pub. Co. LCCN 67030883 .

[8] Shapiro, Stewart; Kouri Kissel, Teresa (2024), "Lógica clásica" , en Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy ( edición de primavera de 2024), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 1 de septiembre de 2024.

[Clagett-9] Clagett, Marshall. 1999. Ciencia del Antiguo Egipto: Un libro de referencia. Volumen 3: Matemáticas del Antiguo Egipto. Memorias de la Sociedad Filosófica Americana 232. Filadelfia: Sociedad Filosófica Americana. ISBN 0-87169-232-5

[:0-10] 1 2 Boyer, Carl B. (Carl Benjamin) (1991). Historia de las matemáticas . Nueva York: Wiley . ISBN 978-0-471-54397-8.

[11] Ecuaciones Diofánticas . Presentado por: Aaron Zerhusen, Chris Rakes y Shasta Meece. MA 330-002. Dr. Carl Eberhart. 16 de febrero de 1999.

[Boyer2-12] Boyer (1991). "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas". p. 178. "La principal diferencia entre la síncopa diofántica y la notación algebraica moderna es la falta de símbolos especiales para operaciones y relaciones, así como de la notación exponencial."

[13] Historia de las matemáticas griegas: De Aristarco a Diofanto. Por Sir Thomas Little Heath. Pág. 456

[14] Historia de las matemáticas griegas: De Aristarco a Diofanto. Por Sir Thomas Little Heath. Pág. 458

[15] Tabak 2014 , pág. 40 .

[16] Fraleigh 1989 , pág. 276 .

[17] Sorell 2000 , pág. 19 .

[18] Scientific American . Munn & Company. 3 de septiembre de 1887. pág. 148.

[19] Edwards 1892 , págs. 1-2 , Artículo 4, "Constantes y variables": "Se ha vuelto convencional utilizar las letras a , b , c , ... , α , β , γ , ... , desde el principio del alfabeto para denotar constantes; y conservar letras posteriores, como u , v , w , x , y , z y las letras griegas ξ , η , ζ para variables."

[20] Hosch 2010 , pág. 71 .

[21] Foerster 2006 , pág. 18 .

[22] Margherita, Barile. "Sigma" . mathworld.wolfram.com . Archivado del original el 28 de marzo de 2025. Consultado el 14 de octubre de 2025 .

[23] Edwards 1892 , págs. 2 , artículo 5, "Variables dependientes e independientes"

[24] Edwards 1892 , págs. 2-3 , artículos 6-7, "Funciones"

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

11

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[

[

[

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]