Diferencia

Si el generador de variables aleatorias${\displaystyle X}$es discreto con función de masa de probabilidad${\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}}$, entonces $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot {\left(x_{i}-\mu \right)}^{2},}$$ dónde${\displaystyle \mu }$es el valor esperado. Es decir, $${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}.}$$(Cuando se especifica una varianza ponderada  discreta mediante ponderaciones cuya suma no es 1, entonces se divide por la suma de las ponderaciones).

La varianza de una colección de${\displaystyle n}$Los valores igualmente probables se pueden escribir como $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2},}$$ dónde${\displaystyle \mu }$es el valor promedio. Es decir, $${\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$$

La varianza de un conjunto de${\displaystyle n}$Los valores igualmente probables pueden expresarse de manera equivalente, sin referirse directamente a la media, en términos de desviaciones cuadradas de todas las distancias cuadradas por pares de puntos entre sí: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}.}$$

Si la variable aleatoria${\displaystyle X}$tiene una función de densidad de probabilidad${\displaystyle f(x)}$y​${\displaystyle F(x)}$es la función de distribución acumulativa correspondiente , entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }{\left(x-\mu \right)}^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}}$$ o equivalentemente, $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}$$ dónde${\displaystyle \mu }$es el valor esperado de${\displaystyle X}$dado por $${\displaystyle \mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }x\,dF(x).}$$

En estas fórmulas, las integrales con respecto a${\displaystyle dx}$y${\displaystyle dF(x)}$son las integrales de Lebesgue y Lebesgue-Stieltjes , respectivamente.

Si la función${\displaystyle x^{2}f(x)}$es integrable de Riemann en cada intervalo finito${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ,}$entonces $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}$$ donde la integral es una integral de Riemann impropia .

La distribución exponencial con parámetro ⁠${\displaystyle \lambda >0}$es una distribución continua cuya función de densidad de probabilidad viene dada por $${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$$ en el intervalo [ 0, ∞) . Se puede demostrar que su media es $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}$$

Utilizando la integración por partes y haciendo uso del valor esperado ya calculado, tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&={\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la varianza de${\displaystyle X}$⁠ se da por $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}$$

Un dado justo de seis caras puede modelarse como una variable aleatoria discreta ,${\displaystyle X}$⁠ , con resultados del 1 al 6, cada uno con igual probabilidad 1/6. El valor esperado de ⁠${\displaystyle X}$es​${\displaystyle (1+2+3+4+5+6)/6=7/2.}$Por lo tanto, la varianza de${\displaystyle X}$es​ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}$$

La fórmula general para la varianza del resultado ,${\displaystyle X}$⁠ , de un ⁠${\displaystyle n}$-dado decaras es $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}}$$

La siguiente tabla muestra la varianza de algunas distribuciones de probabilidad de uso común.

La varianza es no negativa porque los cuadrados son positivos o cero: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}$$

La varianza de una constante es cero. $${\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0.}$$

Por el contrario, si la varianza de una variable aleatoria es 0, entonces casi con seguridad es una constante. Es decir, siempre tiene el mismo valor: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a:P(X=a)=1.}$$

Si una distribución no tiene un valor esperado finito, como es el caso de la distribución de Cauchy , entonces la varianza tampoco puede ser finita. Sin embargo, algunas distribuciones pueden no tener una varianza finita, a pesar de que su valor esperado sea finito. Un ejemplo es una distribución de Pareto cuyo índice${\displaystyle k}$Satisface${\displaystyle 1<k\leq 2.}$

La fórmula general para la descomposición de la varianza o la ley de la varianza total es: Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son dos variables aleatorias, y la varianza de${\displaystyle X}$entonces existe $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y]).}$$

La expectativa condicional${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)}$de${\displaystyle X}$dado${\displaystyle Y}$y la varianza condicional${\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid Y)}$puede entenderse de la siguiente manera. Dado cualquier valor particular y de  la variable aleatoria Y , existe una esperanza condicional ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)}$ dado el evento Y = y . Esta cantidad depende del valor particular de y ; es una función.    ${\displaystyle g(y)=\operatorname {E} (X\mid Y=y)}$. Esa misma función evaluada en la variable aleatoria Y es la esperanza condicional ⁠${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=g(Y)}$.​

En particular, si${\displaystyle Y}$es una variable aleatoria discreta que toma valores posibles${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\ldots }$con probabilidades correspondientes${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}\ldots ,}$, entonces en la fórmula para la varianza total, el primer término del lado derecho se convierte en $${\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2},}$$ dónde${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\operatorname {Var} [X\mid Y=y_{i}]}$. De manera similar, el segundo término del lado derecho se convierte en $${\displaystyle \operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2},}$$ donde​${\displaystyle {1}}$y​​${\displaystyle \textstyle \mu =\sum _{i}p_{i}\mu _{i}}$⁠ . Por lo tanto, la varianza total viene dada por $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2}+\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2}\right).}$$

Una fórmula similar se aplica en el análisis de varianza , donde la fórmula correspondiente es $${\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{between}}+{\mathit {MS}}_{\text{within}};}$$ aquí${\displaystyle {\mathit {MS}}}$Se refiere a la media de los cuadrados. En el análisis de regresión lineal, la fórmula correspondiente es $${\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{regression}}+{\mathit {MS}}_{\text{residual}}.}$$

Esto también se puede derivar de la aditividad de las varianzas, ya que la puntuación total (observada) es la suma de la puntuación predicha y la puntuación de error, donde estas dos últimas no están correlacionadas.

Descomposiciones similares son posibles para la suma de desviaciones al cuadrado (suma de cuadrados,${\displaystyle {\mathit {SS}}}$): $${\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{between}}+{\mathit {SS}}_{\text{within}},}$$$${\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{regression}}+{\mathit {SS}}_{\text{residual}}.}$$

La varianza poblacional para una variable aleatoria no negativa puede expresarse en términos de la función de distribución acumulativa F utilizando $${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }u(1-F(u))\,du-{\left[\int _{0}^{\infty }(1-F(u))\,du\right]}^{2}.}$$

Esta expresión se puede utilizar para calcular la varianza en situaciones donde la función de distribución acumulada (CDF), pero no la densidad , se puede expresar de manera conveniente.

El segundo momento de una variable aleatoria alcanza el valor mínimo cuando se toma alrededor del primer momento (es decir, la media) de la variable aleatoria, es decir${\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} \left(\left(X-m\right)^{2}\right)=\mathrm {E} (X)}$⁠ . Por el contrario, si una función continua${\displaystyle \varphi }$Satisface${\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} (\varphi (X-m))=\mathrm {E} (X)}$para todas las variables aleatorias X , entonces necesariamente tiene la forma${\displaystyle \varphi (x)=ax^{2}+b}$⁠ , donde a > 0 . Esto también se cumple en el caso multidimensional. ^{[ 3 ]}

A diferencia de la desviación absoluta esperada , la varianza de una variable tiene unidades que son el cuadrado de las unidades de la variable misma. Por ejemplo, una variable medida en metros tendrá una varianza medida en metros al cuadrado. Por esta razón, a menudo se prefiere describir los conjuntos de datos mediante su desviación estándar o desviación cuadrática media en lugar de usar la varianza. En el ejemplo de los dados , la desviación estándar es √2,9 ≈ 1,7 , ligeramente mayor que la desviación absoluta esperada de  1,5.

Tanto la desviación estándar como la desviación absoluta esperada pueden utilizarse como indicadores de la dispersión de una distribución. La desviación estándar es más fácil de manipular algebraicamente que la desviación absoluta esperada y, junto con la varianza y su generalización, la covarianza , se utiliza con frecuencia en estadística teórica; sin embargo, la desviación absoluta esperada tiende a ser más robusta, ya que es menos sensible a los valores atípicos derivados de anomalías en las mediciones o de una distribución con colas excesivamente pesadas .

La varianza es invariante con respecto a los cambios en un parámetro de localización . Es decir, si se suma una constante a todos los valores de la variable, la varianza no cambia: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}$$

Si todos los valores se escalan por una constante, la varianza se escala por el cuadrado de esa constante: $${\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}$$

La varianza de la suma de dos variables aleatorias viene dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (aX+bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\\[1ex]\operatorname {Var} (aX-bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}$es la covarianza .

En general, para la suma de${\displaystyle N}$variables aleatorias${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{N}\}}$⁠ , la varianza se convierte en: $${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i,j=1,i\neq j}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),}$$ Véase también la identidad del general Bienaymé .

Estos resultados conducen a la varianza de una combinación lineal como: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}$$

Si las variables aleatorias${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}$son tales que $${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),}$$ Entonces se dice que no están correlacionadas . De la expresión dada anteriormente se deduce inmediatamente que si las variables aleatorias${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}$Si no están correlacionadas, entonces la varianza de su suma es igual a la suma de sus varianzas, o, expresado simbólicamente: $${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).}$$

Dado que las variables aleatorias independientes siempre están incorrelacionadas (véase Covarianza §  Incorrelación e independencia ), la ecuación anterior se cumple en particular cuando las variables aleatorias${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$son independientes. Por lo tanto, la independencia es suficiente pero no necesaria para que la varianza de la suma sea igual a la suma de las varianzas.

El método delta utiliza expansiones de Taylor de segundo orden para aproximar la varianza de una función de una o más variables aleatorias (véase Expansiones de Taylor para los momentos de funciones de variables aleatorias ). Por ejemplo, la varianza aproximada de una función de una variable viene dada por $${\displaystyle \operatorname {Var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var} \left[X\right]}$$ siempre que f sea dos veces diferenciable y que la media y la varianza de X sean finitas.

En general, la varianza poblacional de una población finita de tamaño ⁠${\displaystyle N}$con valores x _i viene dado por $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\left(x_{i}-\mu \right)}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2\mu \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+\mu ^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2},\end{aligned}}}$$ donde la media poblacional es${\textstyle \mu =\operatorname {E} [x_{i}]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$y​${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [x_{i}^{2}]=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)}$, donde${\textstyle \operatorname {E} }$es el operador de valor esperado .

La varianza poblacional también se puede calcular utilizando ^{[ 13 ].}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i<j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}.}$$

(El lado derecho tiene términos duplicados en la suma, mientras que el lado central solo tiene términos únicos para sumar). Esto es cierto porque $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}x_{j}+x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N}}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}\right)+{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-\mu ^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]={}&\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$$

La varianza poblacional coincide con la varianza de la distribución de probabilidad generadora. En este sentido, el concepto de población puede extenderse a variables aleatorias continuas con poblaciones infinitas.