La identidad de Vaughan

En matemáticas y teoría analítica de números , la identidad de Vaughan es una identidad hallada por RC Vaughan ( 1977 ) que puede utilizarse para simplificar el trabajo de Vinogradov sobre sumas trigonométricas . Puede utilizarse para estimar funciones sumatorias de la forma 

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)}$

donde f es alguna función aritmética de los enteros naturales n , cuyos valores en las aplicaciones suelen ser raíces de la unidad, y Λ es la función de von Mangoldt .

La motivación de Vaughan para la construcción de su identidad se discute brevemente al comienzo del Capítulo 24 en Davenport. Por ahora, omitiremos la mayoría de los detalles técnicos que motivan la identidad y su uso en aplicaciones, y en su lugar nos centraremos en la configuración de su construcción por partes. Siguiendo la referencia, construimos cuatro sumas distintas basadas en la expansión de la derivada logarítmica de la función zeta de Riemann en términos de funciones que son series de Dirichlet parciales truncadas respectivamente en los límites superiores de${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$, respectivamente. Más precisamente, definimos${\displaystyle F(s)=\sum _{m\leq U}\Lambda (m)m^{-s}}$y${\displaystyle G(s)=\sum _{d\leq V}\mu (d)d^{-s}}$, lo que nos lleva a la identidad exacta que

${\displaystyle -{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta ^{\prime }(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1-\zeta (s)G(s)).}$

Esta última expansión implica que podemos escribir

${\displaystyle \Lambda (n)=a_{1}(n)+a_{2}(n)+a_{3}(n)+a_{4}(n),}$

donde las funciones de los componentes se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{matrix}\Lambda (n),&{\text{ si }}n\leq U;\\0,&{\text{ si }}n>U\end{matrix}}\\a_{2}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mdr=n}{\stackrel {m\leq U}{d\leq V}}}\Lambda (m)\mu (d)\\a_{3}(n)&:=\sum _{\stackrel {hd=n}{d\leq V}}\mu (d)\log(h)\\a_{4}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mk=n}{\stackrel {m>U}{k>1}}}\Lambda (m)\left(\sum _{\stackrel {d|k}{d\leq V}}\mu (d)\right).\end{aligned}}}$

A continuación definimos las funciones sumatorias correspondientes para${\displaystyle 1\leq i\leq 4}$ser

${\displaystyle S_{i}(N):=\sum _{n\leq N}f(n)a_{i}(n),}$

para que podamos escribir

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)=S_{1}(N)+S_{2}(N)+S_{3}(N)+S_{4}(N).}$

Finalmente, al concluir un argumento de varias páginas sobre estimaciones técnicas y, a veces, delicadas de estas sumas, ^{[ 1 ]} obtenemos la siguiente forma de la identidad de Vaughan cuando asumimos que${\displaystyle |f(n)|\leq 1,\ \forall n}$,${\displaystyle U,V\geq 2}$, y${\displaystyle UV\leq N}$:

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)\ll U+(\log N)\times \sum _{t\leq UV}\left(\max _{w}\left|\sum _{w\leq r\leq {\frac {N}{t}}}f(rt)\right|\right)+{\sqrt {N}}(\log N)^{3}\times \max _{U\leq M\leq N/V}\max _{V\leq j\leq N/M}\left(\sum _{V<k\leq N/M}\left|\sum _{\stackrel {M<m\leq 2M}{\stackrel {m\leq N/k}{m\leq N/j}}}f(mj){\bar {f(mk)}}\right|\right)^{1/2}\mathbf {(V1)} .}$

Se observa que en algunos casos se pueden obtener estimaciones más precisas a partir de la identidad de Vaughan al tratar la suma de componentes.${\displaystyle S_{2}}$con más cuidado ampliándolo en forma de

${\displaystyle S_{2}=\sum _{t\leq UV}\longmapsto \sum _{t\leq U}+\sum _{U<t\leq UV}=:S_{2}^{\prime }+S_{2}^{\prime \prime }.}$

La optimalidad del límite superior obtenido al aplicar la identidad de Vaughan parece depender de la aplicación con respecto a las mejores funciones.${\displaystyle U=f_{U}(N)}$y${\displaystyle V=f_{V}(N)}$Podemos optar por introducirlo en la ecuación (V1). Consulte las aplicaciones citadas en la siguiente sección para ver ejemplos específicos que surgen en los diferentes contextos considerados por varios autores.

• La identidad de Vaughan se ha utilizado para simplificar la demostración del teorema de Bombieri-Vinogradov y para estudiar las sumas de Kummer (véanse las referencias y los enlaces externos a continuación).
• En el capítulo 25 de Davenport, una aplicación de la identidad de Vaughan es estimar una importante suma exponencial relacionada con números primos de Vinogradov definida por

${\displaystyle S(\alpha ):=\sum _{n\leq N}\Lambda (n)e\left(n\alpha \right).}$

En particular, obtenemos una cota superior asintótica para estas sumas (típicamente evaluadas en números irracionales)${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$) cuyas aproximaciones racionales satisfacen

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}}},(a,q)=1,}$

de la forma

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log N)^{4}.}$

El argumento para esta estimación se deriva de la identidad de Vaughan al demostrar mediante un argumento algo complejo que

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left(UV+q+{\frac {N}{\sqrt {U}}}+{\frac {N}{\sqrt {V}}}+{\frac {N}{\sqrt {q}}}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log(qN))^{4},}$

y luego deduciendo la primera fórmula anterior en los casos no triviales cuando${\displaystyle q\leq N}$y con${\displaystyle U=V=N^{2/5}}$.

• Otra aplicación de la identidad de Vaughan se encuentra en el Capítulo 26 de Davenport, donde el método se emplea para derivar estimaciones para sumas ( sumas exponenciales ) de tres primos .
• Ejemplos de la identidad de Vaughan en la práctica se presentan en las siguientes referencias/citas de esta publicación informativa : ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

La identidad de Vaughan fue generalizada por Heath-Brown (1982) .

• Davenport, Harold (31 de octubre de 2000). Teoría multiplicativa de números (Tercera  ed.). Nueva York: Springer Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-95097-4.
• Graham, SW (2001) [1994], " La identidad de Vaughan " , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Heath-Brown, DR (1982), "Números primos en intervalos cortos y una identidad de Vaughan generalizada", Can. J. Math. , 34 (6): 1365– 1377, doi : 10.4153/CJM-1982-095-9 , MR 0678676 
• Vaughan, RC (1977), "Sommes trigonométriques sur les nombres premiers", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A , 285 : 981– 983, SEÑOR 0498434 

• Prueba de la identidad de Vaughan en Wikipedia
• Apuntes de matemáticas de Joni (exposición muy detallada)
• Enciclopedia de Matemáticas
• El blog de Terry Tao sobre el tamiz grande y el teorema de Bombieri-Vinogradov.