Vector (matemáticas y física)

En matemáticas , física e ingeniería , un vector euclidiano o simplemente un vector (a veces llamado vector geométrico ^{[ 1 ]} o vector espacial ^{[ 2 ]} ) es un objeto geométrico que tiene magnitud (o longitud ) y dirección . Los vectores euclidianos se pueden sumar y escalar para formar un espacio vectorial . Una magnitud vectorial es una magnitud física con valores vectoriales , que incluye unidades de medida y posiblemente un soporte , formulada como un segmento de línea dirigido . Un vector se representa frecuentemente ^de forma gráfica como una flecha que conecta un punto inicial A con un punto final B [ ^{3 ]} y se denota por${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

Un vector es lo que se necesita para "llevar" del punto A al punto B ; la palabra latina vector significa 'portador'. ^{[ 4 ]} Fue utilizado por primera vez por astrónomos del siglo XVIII que investigaban la revolución planetaria alrededor del Sol. ^{[ 5 ]} La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos, y la dirección se refiere a la dirección del desplazamiento de A a B. Muchas operaciones algebraicas con números reales, como la suma , la resta , la multiplicación y la negación, tienen análogos cercanos para los vectores, ^{[ 6 ]} operaciones que obedecen las conocidas leyes algebraicas de conmutatividad , asociatividad y distributividad . Estas operaciones y leyes asociadas califican a los vectores euclidianos como un ejemplo del concepto más generalizado de vectores definidos simplemente como elementos de un espacio vectorial .

Los vectores desempeñan un papel importante en la física : la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento, así como las fuerzas que actúan sobre él, pueden describirse mediante vectores. ^{[ 7 ]} Muchas otras magnitudes físicas pueden considerarse vectores. Si bien la mayoría no representan distancias (excepto, por ejemplo, la posición o el desplazamiento ), su magnitud y dirección pueden representarse mediante la longitud y la dirección de una flecha. La representación matemática de un vector físico depende del sistema de coordenadas utilizado para describirlo. Otros objetos matemáticos similares a vectores que describen magnitudes físicas , como los pseudovectores y los tensores , se transforman de manera similar al cambiar el sistema de coordenadas. ^{[ 8 ]}

En las ciencias naturales , una magnitud vectorial (también conocida como magnitud física vectorial, vector físico o simplemente vector) es una magnitud física con valores vectoriales . ^{[ 9 ] [ 10 ]} Generalmente se formula como el producto de una unidad de medida y un valor numérico vectorial ( sin unidades ), a menudo un vector euclidiano con magnitud y dirección . Por ejemplo, un vector de posición en el espacio físico puede expresarse como tres coordenadas cartesianas con la unidad SI de metros .

En física e ingeniería , particularmente en mecánica , un vector físico puede estar dotado de una estructura adicional en comparación con un vector geométrico. ^{[ 11 ]} Un vector ligado se define como la combinación de una cantidad vectorial ordinaria y un punto de aplicación o punto de acción . ^{[ 9 ] [ 12 ]} Las cantidades vectoriales ligadas se formulan como un segmento de línea dirigido , con un punto inicial definido además de la magnitud y dirección del vector principal. ^{[ 9 ] [ 11 ]} Por ejemplo, una fuerza en el plano euclidiano tiene dos componentes cartesianas en la unidad SI de newtons (que describen la magnitud y dirección de la fuerza) y un vector de posición bidimensional acompañante en metros (que describe el punto de aplicación de la fuerza), para un total de cuatro números en el plano (y seis en el espacio). ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 12 ]} Un ejemplo más simple de un vector ligado es el vector de traslación desde un punto inicial a un punto final; En este caso, el vector ligado es un par ordenado de puntos en el mismo espacio de posición, con todas las coordenadas teniendo la misma dimensión y unidad de cantidad (longitud y metros). ^{[ 15 ] [ 16 ]} Un vector deslizante es la combinación de una cantidad vectorial ordinaria y una línea de aplicación o línea de acción , sobre la cual la cantidad vectorial puede trasladarse (sin rotaciones). Un vector libre es una cantidad vectorial que tiene un punto o región de aplicación indefinidos; puede trasladarse libremente sin consecuencias; un vector de desplazamiento es un ejemplo prototípico de vector libre.

Aparte de la noción de unidades y soporte, las magnitudes vectoriales físicas también pueden diferir de los vectores euclidianos en términos de métrica . Por ejemplo, un evento en el espacio-tiempo puede representarse como un cuadrivector de posición , con una unidad derivada coherente de metros: incluye un vector euclidiano de posición y un componente temporal , t ⋅ c ₀ (que involucra la velocidad de la luz ). En ese caso, se adopta la métrica de Minkowski en lugar de la métrica euclidiana .

Las cantidades vectoriales son una generalización de las cantidades escalares y pueden generalizarse aún más como cantidades tensoriales . ^{[ 16 ]} Los vectores individuales pueden ordenarse en una secuencia a lo largo del tiempo (una serie temporal ), como los vectores de posición que discretizan una trayectoria . Un vector también puede resultar de la evaluación , en un instante particular, de una función vectorial continua (por ejemplo, la ecuación del péndulo ). En las ciencias naturales, el término "cantidad vectorial" también abarca campos vectoriales definidos sobre una región bidimensional o tridimensional del espacio, como la velocidad del viento sobre la superficie terrestre. Los pseudovectores y bivectores también se admiten como cantidades vectoriales físicas.

En matemáticas , un espacio vectorial (también llamado espacio lineal) es un conjunto cuyos elementos, a menudo denominados vectores , pueden sumarse y multiplicarse por números llamados escalares . Las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar deben satisfacer ciertos requisitos, denominados axiomas vectoriales . Los espacios vectoriales reales y los espacios vectoriales complejos son tipos de espacios vectoriales basados ​​en diferentes tipos de escalares: números reales y números complejos . Los escalares también pueden ser, de forma más general, elementos de cualquier cuerpo .

Los espacios vectoriales generalizan los vectores euclidianos , lo que permite modelar magnitudes físicas (como fuerzas y velocidades ) que poseen no solo una magnitud , sino también una dirección . El concepto de espacios vectoriales es fundamental para el álgebra lineal , junto con el concepto de matrices , que permite realizar cálculos en espacios vectoriales. Esto proporciona una forma concisa y sintética de manipular y estudiar sistemas de ecuaciones lineales .

Los espacios vectoriales se caracterizan por su dimensión , que, en términos generales, especifica el número de direcciones independientes en el espacio. Esto significa que para dos espacios vectoriales sobre un cuerpo dado y con la misma dimensión, las propiedades que dependen únicamente de la estructura del espacio vectorial son exactamente las mismas (es decir, los espacios vectoriales son isomorfos ). Un espacio vectorial es de dimensión finita si su dimensión es un número natural . De lo contrario, es de dimensión infinita , y su dimensión es un cardinal infinito . Los espacios vectoriales de dimensión finita aparecen de forma natural en geometría y áreas relacionadas. Los espacios vectoriales de dimensión infinita aparecen en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, los anillos de polinomios son espacios vectoriales de dimensión infinita numerable , y muchos espacios de funciones tienen la cardinalidad del continuo como dimensión.

Muchos espacios vectoriales considerados en matemáticas también poseen otras estructuras . Este es el caso de las álgebras , que incluyen extensiones de cuerpos , anillos de polinomios, álgebras asociativas y álgebras de Lie . Este es también el caso de los espacios vectoriales topológicos , que incluyen espacios de funciones, espacios con producto interno , espacios normados , espacios de Hilbert y espacios de Banach .