Basis (linear algebra)

In mathematics, a set $B$ of elements of a vector space $V$ is called a basis (pl.: bases) if every element of $V$ can be written in a unique way as a finite linear combination of elements of $B$ . The coefficients of this linear combination are referred to as components or coordinates of the vector with respect to $B$ . The elements of a basis are called basis vectors.

Equivalently, a set $B$ is a basis if its elements are linearly independent and every element of $V$ is a linear combination of elements of $B$ . In other words, a basis is a linearly independent spanning set.

A vector space can have several bases; however all the bases have the same number of elements, called the dimension of the vector space.

This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces. However, many of the principles are also valid for infinite-dimensional vector spaces.

Basis vectors find applications in the study of crystal structures and frames of reference.

Definition

A basis $B$ of a vector space $V$ over a field $F$ (such as the real numbers $\mathbb {R}$ or the complex numbers $\mathbb {C}$ is a linearly independent subset of $V$ that spans $V$ . This means that a subset $B$ of $V$ is a basis if it satisfies the two following conditions:^[1]

linear independence: for every finite subset $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ of $B$ , if $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ for some $c_{1},\dotsc ,c_{m}$ in $F$ , then $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$ ; and^[1]^[2]
the spanning property: for every vector $\mathbf {v}$ in $V$ , one can choose $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ in $F$ and $\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}$ in $B$ such that $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ . In other words, $\mathbb {v}$ can be represented as a linear combination of some vectors in $B$ .^[1]

The first property may be equivalently phrased as follows: if a linear combination of vectors in $B$ is equal to the zero vector, then all the scalars coefficients of the combination must be zero.

If $B$ is a basis for $V$ , then every vector $\mathbf {v}$ in $V$ can be written as a linear combination of vectors in $B$ (by the spanning property); it follows from linear independence that this can be done in exactly one way. Thus, the scalar coefficients $a_{i}$ that appear in this combination are uniquely determined; they are called the coordinates of $\mathbf {v}$ with respect to the basis $B$ .

A vector space that has a finite basis is called finite-dimensional. In this case, the finite subset can be taken as $B$ itself to check for linear independence in the above definition.^[1]

It is often convenient or even necessary to have an ordering on the basis vectors, for example, when discussing orientation, or when one considers the scalar coefficients of a vector with respect to a basis without referring explicitly to the basis elements. In this case, the ordering is necessary for associating each coefficient with the corresponding basis element. This ordering can be done by numbering the basis elements. In order to emphasize that an order has been chosen, one speaks of an ordered basis, which is therefore not simply an unstructured set, but a sequence, an indexed family, or similar; see § Ordered bases and coordinates below.

Examples

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} — This picture illustrates the standard basis in $\mathbb {R} ^{2}$ . The blue and orange vectors are the elements of the basis; the green vector can be given in terms of the basis vectors, and so is linearly dependent upon them.

The set $\mathbb {R} ^{2}$ of the ordered pairs of real numbers is a vector space under the operations of component-wise addition $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ and scalar multiplication $\lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),$ where $\lambda$ is any real number. A simple basis of this vector space consists of the two vectors $e 1 = (1, 0)$ and $e 2 = (0, 1)$ . These vectors form a basis (called the standard basis) because any vector $v = (a, b)$ of $\mathbb {R} ^{2}$ may be uniquely written as $\mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.$ Any other pair of linearly independent vectors of $\mathbb {R} ^{2}$ , such as $(1, 1)$ and $(-1, 2)$ , forms also a basis of $\mathbb {R} ^{2}$ .

More generally, if $F$ is a field, the set $F^{n}$ of $n$ -tuples of elements of $F$ is a vector space for similarly defined addition and scalar multiplication. Let $\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ Sea la $n$ -tupla con todos los componentes iguales a 0, excepto el $i-$ ésimo, que es 1. Entonces $\mathbf {e} _{1},\ldots,\mathbf {e} _{n}$ es una base de $F^{n},$ que se denomina base estándar de $F^{n}.$

Otro ejemplo lo proporcionan los anillos de polinomios . Si $F$ es un cuerpo, la colección $F [X]$ de todos los polinomios en una indeterminada $X$ con coeficientes en $F$ es un espacio vectorial sobre $F.$ Una base para este espacio es la base monomial $B$ , que consta de todos los monomios : $B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.$ Cualquier conjunto de polinomios de tal forma que haya exactamente un polinomio de cada grado (como los polinomios base de Bernstein o los polinomios de Chebyshev ) también es una base. (Dicho conjunto de polinomios se denomina sucesión de polinomios ). Pero también existen muchas bases para $F [X]$ que no tienen esta forma.

Propiedades

Muchas propiedades de las bases finitas resultan del lema de intercambio de Steinitz , que establece que, para cualquier espacio vectorial $V$ , dado un conjunto generador finito $S$ y un conjunto linealmente independiente $L$ de $n$ elementos de $V$ , se pueden reemplazar $n$ elementos bien elegidos de $S$ por los elementos de $L$ para obtener un conjunto generador que contenga $a L$ , que tenga sus otros elementos en $S$ y que tenga el mismo número de elementos que $S.$

La mayoría de las propiedades que resultan del lema de intercambio de Steinitz siguen siendo ciertas cuando no hay un conjunto generador finito, pero sus demostraciones en el caso infinito generalmente requieren el axioma de elección o una forma más débil del mismo, como el lema del ultrafiltro .

Si $V$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo $F$ , entonces:

Si $L$ es un subconjunto linealmente independiente de un conjunto generador $S \subseteq V$ , entonces existe una base $B$ tal que $L\subseteq B\subseteq S.$
$V$ tiene una base (esta es la propiedad anterior, donde $L$ es el conjunto vacío y $S = V$ ).
Todas las bases de $V$ tienen la misma cardinalidad , que se denomina dimensión de $V.$ Este es el teorema de la dimensión .
Un conjunto generador $S$ es una base de $V$ si y solo si es minimal, es decir, ningún subconjunto propio de $S$ es también un conjunto generador de $V.$
Un conjunto linealmente independiente $L$ es una base si y solo si es maximal, es decir, no es un subconjunto propio de ningún conjunto linealmente independiente.

Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión $n$ , entonces:

Un subconjunto de $V$ con $n$ elementos es una base si y solo si es linealmente independiente.
Un subconjunto de $V$ con $n$ elementos es una base si y solo si es un conjunto generador de $V.$

Coordenadas

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ sobre un cuerpo $F$ , y $B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}$ ser una base de $V.$ Por definición de una base, cada $v$ en $V$ puede escribirse, de manera única, como $\mathbf {v} =\lambda _ {1}\mathbf {b} _ {1}+\cdots +\lambda _ {n}\mathbf {b} _ {n},$ donde los coeficientes $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ son escalares (es decir, elementos de $F$ ), que se denominan coordenadas de $v$ sobre $B.$ Sin embargo, si se habla del conjunto de coeficientes, se pierde la correspondencia entre coeficientes y elementos base, y varios vectores pueden tener el mismo conjunto de coeficientes. Por ejemplo, ${\ Displaystyle 3 \ mathbf {b} _ {1} +2 \ mathbf {b} _ {2}}$ y ${\ Displaystyle 2 \ mathbf {b} _ {1} +3 \ mathbf {b} _ {2}}$ tienen el mismo conjunto de coeficientes ${2, 3}$ y son diferentes. Por lo tanto, suele ser conveniente trabajar con una base ordenada ; esto se hace normalmente indexando los elementos de la base por los primeros números naturales. Entonces, las coordenadas de un vector forman una secuencia indexada de manera similar, y un vector queda completamente caracterizado por la secuencia de coordenadas. Una base ordenada, especialmente cuando se usa junto con un origen , también se llama sistema de coordenadas o simplemente marco (por ejemplo, un marco cartesiano o un marco afín ).

Dejemos, como de costumbre, $F^{n}$ Sea F el conjunto de las $n$ -tuplas de elementos de $F.$ Este conjunto es un espacio vectorial $F$ , con la suma y la multiplicación escalar definidas componente a componente. El mapa ${\displaystyle \varphi$ es un isomorfismo lineal del espacio vectorial $F^{n}$ sobre $V.$ En otras palabras, $F^{n}$ es el espacio de coordenadas de $V$ y la $n$ -tupla $\varphi ^{-1}(\mathbf {v} )$ es el vector de coordenadas de $v$ .

La imagen inversa por $\varphi$ de $\mathbf {b} _{i}$ es la $n$ -tupla $\mathbf {e} _ {i}$ cuyos componentes son todos 0, excepto el $i-$ ésimo que es 1. El $\mathbf {e} _ {i}$ formar una base ordenada de $F^{n}$ , que se denomina su base estándar o base canónica . La base ordenada $B$ es la imagen por $\varphi$ de la base canónica de $F^{n}$ .

De lo anterior se deduce que toda base ordenada es la imagen mediante un isomorfismo lineal de la base canónica de $F^{n}$ y que todo isomorfismo lineal de $F^{n}$ sobre $V$ puede definirse como el isomorfismo que mapea la base canónica de $F^{n}$ sobre una base ordenada dada de $V.$ En otras palabras, es equivalente a definir una base ordenada de $V$ , o un isomorfismo lineal de $F^{n}$ sobre $V.$

Cambio de base

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un cuerpo $F.$ Dadas dos bases (ordenadas) $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ y $B_{\text{nuevo}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ de $V$ , a menudo es útil expresar las coordenadas de un vector $x$ con respecto a $B_{\mathrm {old} }$ en términos de las coordenadas con respecto a $B_{\mathrm {new} }.$ Esto se puede hacer mediante la fórmula de cambio de base , que se describe a continuación. Se han elegido los subíndices "antiguo" y "nuevo" porque es costumbre referirse a $B_{\mathrm {old} }$ y $B_{\mathrm {new} }$ como la base antigua y la base nueva , respectivamente. Es útil describir las coordenadas antiguas en términos de las nuevas, porque, en general, se tienen expresiones que involucran las coordenadas antiguas, y si se desea obtener expresiones equivalentes en términos de las nuevas coordenadas, esto se logra reemplazando las coordenadas antiguas por sus expresiones en términos de las nuevas coordenadas.

Normalmente, los nuevos vectores base vienen dados por sus coordenadas sobre la base antigua, es decir, $\mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.$ Si $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ y $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ son las coordenadas de un vector $x$ sobre la base antigua y la nueva respectivamente, la fórmula de cambio de base es $x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},$ para $i = 1, ..., n$ .

Esta fórmula puede escribirse concisamente en notación matricial . Sea $A$ la matriz de la $a_{i,j}$ , y $X={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{y}}\quad Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}$ Sean los vectores columna de las coordenadas de $v$ en la base antigua y la nueva respectivamente, entonces la fórmula para cambiar las coordenadas es $X=AY.$

La fórmula se puede demostrar considerando la descomposición del vector $x$ en las dos bases: una tiene $\mathbf {x} =\sum _ {i=1}^{n}x_ {i}\mathbf {v} _ {i},$ y $\mathbf {x} =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}{\biggr )}\mathbf {v} _{i}.$

La fórmula de cambio de base resulta entonces de la unicidad de la descomposición de un vector sobre una base, aquí $B_{\text{antiguo}}$ ; eso es $x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},$ para $i = 1, ..., n$ .

Nociones relacionadas

Módulo gratuito

Si se reemplaza el campo que aparece en la definición de un espacio vectorial por un anillo , se obtiene la definición de un módulo . Para los módulos, la independencia lineal y los conjuntos generadores se definen exactamente igual que para los espacios vectoriales, aunque el término " conjunto generador " se usa con más frecuencia que el de "conjunto generador".

Al igual que en los espacios vectoriales, la base de un módulo es un subconjunto linealmente independiente que también es un conjunto generador. Una diferencia importante con la teoría de espacios vectoriales es que no todos los módulos tienen una base. Un módulo que tiene una base se denomina módulo libre . Los módulos libres desempeñan un papel fundamental en la teoría de módulos, ya que pueden utilizarse para describir la estructura de módulos no libres mediante resoluciones libres .

Un módulo sobre los enteros es exactamente lo mismo que un grupo abeliano . Por lo tanto, un módulo libre sobre los enteros es también un grupo abeliano libre. Los grupos abelianos libres tienen propiedades específicas que no comparten los módulos sobre otros anillos. Específicamente, todo subgrupo de un grupo abeliano libre es un grupo abeliano libre, y, si $G$ es un subgrupo de un grupo abeliano libre finitamente generado $H$ (es decir, un grupo abeliano que tiene una base finita), entonces existe una base $\mathbf {e} _{1},\ldots,\mathbf {e} _{n}$ de $H$ y un entero $0 \leq k \leq n$ tal que $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ es una base de $G$ , para algunos enteros distintos de cero $a_{1},\ldots ,a_{k}$ Para más detalles , véase Grupo abeliano libre § Subgrupos .

Análisis

En el contexto de espacios vectoriales de dimensión infinita sobre los números reales o complejos, el términoBase de Hamel (llamada así porGeorg Hamel^{[ 3 ]} ) obase algebraicapuede usarse para referirse a una base tal como se define en este artículo. Esto es para hacer una distinción con otras nociones de "base" que existen cuando los espacios vectoriales de dimensión infinita están dotados de una estructura adicional. Las alternativas más importantes sonlas bases ortogonalesenespacios de Hilbert,las bases de Schauderylas bases de Markushevichenespacios lineales normados. En el caso de los números reales $\mathbb {R}$ visto como un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb {Q}$ of rational numbers, Hamel bases are uncountable, and have specifically the cardinality of the continuum, which is the cardinal number $2^{\aleph _ {0}}$ , where $\aleph _{0}$ (aleph-nought) is the smallest infinite cardinal, the cardinal of the integers.

The common feature of the other notions is that they permit the taking of infinite linear combinations of the basis vectors in order to generate the space. This, of course, requires that infinite sums are meaningfully defined on these spaces, as is the case for topological vector spaces – a large class of vector spaces including e.g. Hilbert spaces, Banach spaces, or Fréchet spaces.

The preference of other types of bases for infinite-dimensional spaces is justified by the fact that the Hamel basis becomes "too big" in Banach spaces: If X is an infinite-dimensional normed vector space that is complete (i.e. X is a Banach space), then any Hamel basis of X is necessarily uncountable. This is a consequence of the Baire category theorem. The completeness as well as infinite dimension are crucial assumptions in the previous claim. Indeed, finite-dimensional spaces have by definition finite bases and there are infinite-dimensional (non-complete) normed spaces that have countable Hamel bases. Consider $c_{00}$ , the space of the sequences $x=(x_{n})$ of real numbers that have only finitely many non-zero elements, with the norm ${\textstyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|}$ . Its standard basis, consisting of the sequences having only one non-zero element, which is equal to 1, is a countable Hamel basis.

Example

In the study of Fourier series, one learns that the functions ${1} \cup { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... }$ are an "orthogonal basis" of the (real or complex) vector space of all (real or complex valued) functions on the interval [0, 2π] that are square-integrable on this interval, i.e., functions f satisfying $\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .$

The functions ${1} \cup { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... }$ are linearly independent, and every function f that is square-integrable on [0, 2π] is an "infinite linear combination" of them, in the sense that $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\right)-f(x){\biggr |}^{2}dx=0$

para coeficientes adecuados (reales o complejos) a _k , b _k . Pero muchas ^{[ 4 ]} funciones de cuadrado integrable no pueden representarse como combinaciones lineales finitas de estas funciones base, que por lo tanto no comprenden una base de Hamel. Cada base de Hamel de este espacio es mucho mayor que este conjunto de funciones meramente numerable infinito. Las bases de Hamel de espacios de este tipo no suelen ser útiles, mientras que las bases ortonormales de estos espacios son esenciales en el análisis de Fourier .

Geometría

Las nociones geométricas de espacio afín , espacio proyectivo , conjunto convexo y cono tienen nociones relacionadas debase . ^{[ 5 ]} Una base afín para un espacio afín n- dimensional es $n+1$ puntos en posición lineal general . Ala base proyectiva es $n+2$ puntos en posición general, en un espacio proyectivo de dimensión n .La base convexa de unpolitopoes el conjunto de los vértices de suenvoltura convexa.La base cónica ^{[ 6 ]} consiste en un punto por arista de un cono poligonal. Véase también unabase de Hilbert (programación lineal).

Base aleatoria

Para una distribución de probabilidad en $\mathbb {R} ^{n}$ Con una función de densidad de probabilidad , como la equidistribución en una bola n -dimensional con respecto a la medida de Lebesgue, se puede demostrar que $n$ vectores elegidos aleatoriamente e independientemente formarán una base con probabilidad uno , lo cual se debe a que $n$ vectores linealmente dependientes $x 1$ , ..., $x n$ en $R n$ deben satisfacer la ecuación $det[x 1 \dots x n] = 0$ (determinante cero de la matriz con columnas $x i$ ), y el conjunto de ceros de un polinomio no trivial tiene medida cero. Esta observación ha dado lugar a técnicas para aproximar bases aleatorias. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Es difícil comprobar numéricamente la dependencia lineal o la ortogonalidad exacta. Por lo tanto, se utiliza la noción de ε-ortogonalidad. Para espacios con producto interno , x es ε-ortogonal a y si $\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon$ (es decir, el coseno del ángulo entre $x$ e y $es$ menor que $ε$ ).

En dimensiones altas, dos vectores aleatorios independientes son casi ortogonales con alta probabilidad, y el número de vectores aleatorios independientes, que son casi ortogonales por pares con alta probabilidad dada, crece exponencialmente con la dimensión. Más precisamente, consideremos la equidistribución en una bola n -dimensional. Elija N vectores aleatorios independientes de una bola (son independientes e idénticamente distribuidos ). Sea θ un número positivo pequeño. Entonces, para

$N$ vectores aleatorios son todos ε-ortogonales por pares con probabilidad $1 - θ$ . ^{[ 8 ]} Este $N$ crece exponencialmente con dimensión $n$ y $N\gg n$ para $n$ suficientemente grande . Esta propiedad de las bases aleatorias es una manifestación del llamado fenómeno de concentración de medidas . ^{[ 9 ]}

La figura (derecha) ilustra la distribución de longitudes N de cadenas de vectores casi ortogonales por pares, muestreadas aleatoriamente de forma independiente del cubo n -dimensional $[-1, 1] n,$ en función de la dimensión n . Primero se selecciona un punto al azar en el cubo. Luego se elige un segundo punto al azar en el mismo cubo. Si el ángulo entre los vectores está dentro de $π/2 \pm 0,037π/2$ , se conserva el vector. En el siguiente paso, se genera un nuevo vector en el mismo hipercubo y se evalúan sus ángulos con los vectores generados previamente. Si estos ángulos están dentro de $π/2 \pm 0,037π/2$ , se conserva el vector. El proceso se repite hasta que se rompe la cadena de casi ortogonalidad, y se registra el número de dichos vectores casi ortogonales por pares (longitud de la cadena). Para cada n , se construyeron numéricamente 20 cadenas casi ortogonales por pares para cada dimensión. Se presenta la distribución de la longitud de estas cadenas.

Demostración de que todo espacio vectorial tiene una base.

Sea $V$ un espacio vectorial cualquiera sobre algún cuerpo $F.$ Sea $X$ el conjunto de todos los subconjuntos linealmente independientes de $V.$

El conjunto $X$ no es vacío ya que el conjunto vacío es un subconjunto independiente de $V$ , y está parcialmente ordenado por inclusión, que se denota, como es habitual, por $\subseteq$ .

Sea $Y$ un subconjunto de $X$ que está totalmente ordenado por $\subseteq$ , y sea $L Y$ la unión de todos los elementos de $Y$ (que a su vez son ciertos subconjuntos de $V$ ).

Dado que $(Y, \subseteq)$ es totalmente ordenado, cada subconjunto finito de $L Y$ es un subconjunto de un elemento de $Y$ , que a su vez es un subconjunto linealmente independiente de $V$ , y por lo tanto $L Y$ es linealmente independiente. Así , $L Y$ es un elemento de $X.$ Por consiguiente, $L Y$ es una cota superior para $Y$ en $(X, \subseteq)$ : es un elemento de $X$ que contiene a todos los elementos de $Y.$

Como $X$ no es vacío, y todo subconjunto totalmente ordenado de $(X, \subseteq)$ tiene una cota superior en $X$ , el lema de Zorn afirma que $X$ tiene un elemento maximal. En otras palabras, existe algún elemento $Lmax$ de $X$ que satisface la condición de que siempre que $Lmax$ $\subseteq L para$ algún elemento $L$ de $X$ , entonces $L = Lmax$ .

Queda por demostrar que $L max$ es una base de $V.$ Dado que $L max$ pertenece a $X$ , ya sabemos que $L max$ es un subconjunto linealmente independiente de $V.$

Si existiera algún vector $w$ de $V$ que no estuviera en el espacio generado por $L max$ , entonces $w$ tampoco sería un elemento de $L max$ . Sea $L w = L max \cup {w}$ . Este conjunto es un elemento de $X$ , es decir, es un subconjunto linealmente independiente de $V$ (porque w no está en el espacio generado por $L max$ , y $L max$ es independiente). Como $L max \subseteq L w$ , y $L max \neq L w$ (porque $L w$ contiene el vector $w$ que no está contenido en $L max$ ), esto contradice la maximalidad de $L max$ . Por lo tanto, esto demuestra que $L max$ genera $V$ .

Por lo tanto, $L max$ es linealmente independiente y genera $V.$ Es, por consiguiente, una base de $V$ , lo que demuestra que todo espacio vectorial tiene una base.

Esta demostración se basa en el lema de Zorn, que es equivalente al axioma de elección . Recíprocamente, se ha demostrado que si todo espacio vectorial tiene una base, entonces el axioma de elección es verdadero. ^{[ 10 ]} Por lo tanto, ambas afirmaciones son equivalentes.

Véase también

Base de un matroide
Fundamentos de un programa lineal
Sistema de coordenadas
Cambio de base – Cambio de coordenadas en álgebra lineal
Marco de un espacio vectorial : similar a la base de un espacio vectorial, pero no necesariamente linealmente independiente. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento.
Base esférica : base utilizada para expresar tensores esféricos.

Notas

1 2 3 4 Brown, William A. (1991). Matrices y espacios vectoriales . Nueva York: M. Dekker. págs. 99–103 . ISBN 978-0-8247-8419-5.El símbolo $L$ en esta fuente significa tramo lineal, véase pág. 94 .
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↑ Hamel 1905
↑ Nótese que no se puede decir "la mayoría" porque las cardinalidades de los dos conjuntos (funciones que pueden y no pueden representarse con un número finito de funciones base) son las mismas.
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1 2 3 Gorban, Alexander N. ; Tyukin, Ivan Y.; Prokhorov, Danil V.; Sofeikov, Konstantin I. (2016). "Aproximación con bases aleatorias: Pro y Contra". Information Sciences . 364– 365: 129– 145. arXiv : 1506.04631 . doi : 10.1016/j.ins.2015.09.021 . S2CID 2239376 .
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Referencias

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Referencias históricas

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Enlaces externos

Vídeos instructivos de Khan Academy
- Introducción a las bases de subespacios
- Prueba de que cualquier base de subespacios tiene el mismo número de elementos.
"Combinaciones lineales, espacio vectorial generado y vectores base" . Esencia del álgebra lineal . 6 de agosto de 2016. Archivado del original el 17 de noviembre de 2021 ( vía YouTube) .
"Base" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[brown-1] 1 2 3 4 Brown, William A. (1991). Matrices y espacios vectoriales . Nueva York: M. Dekker. págs. 99–103 . ISBN 978-0-8247-8419-5.El símbolo $L$ en esta fuente significa tramo lineal, véase pág. 94 .

[halmos-2] Halmos, Paul Richard (1987). Espacios vectoriales de dimensión finita (4.ª ed.). Nueva York: Springer. pág. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.

[3] Hamel 1905

[4] Nótese que no se puede decir "la mayoría" porque las cardinalidades de los dos conjuntos (funciones que pueden y no pueden representarse con un número finito de funciones base) son las mismas.

[5] Rees, Elmer G. (2005). Notas sobre geometría . Berlín: Springer. pág. 7. ISBN 978-3-540-12053-7.

[6] Kuczma, Marek (1970). "Algunas observaciones sobre funciones aditivas en conos". Aecuaciones Mathematicae . 4 (3): 303– 306. doi : 10.1007/BF01844160 . S2CID 189836213 .

[7] Igelnik, B.; Pao, Y.-H. (1995). "Elección estocástica de funciones base en la aproximación adaptativa de funciones y la red de enlaces funcionales". IEEE Trans. Neural Netw . 6 (6): 1320– 1329. doi : 10.1109/72.471375 . PMID 18263425 .

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