Fórmula de adición de velocidad

En física relativista , una fórmula de suma de velocidades es una ecuación que especifica cómo combinar las velocidades de los objetos de manera consistente con el requisito de que la velocidad de ningún objeto pueda exceder la velocidad de la luz . Dichas fórmulas se aplican a transformaciones de Lorentz sucesivas , por lo que también relacionan diferentes sistemas de referencia . La suma de velocidades viene acompañada de un efecto cinemático conocido como precesión de Thomas , por el cual las transformaciones de Lorentz sucesivas no colineales se vuelven equivalentes a la composición de una rotación del sistema de coordenadas y una transformación de Lorentz.

Las aplicaciones estándar de las fórmulas de suma de velocidades incluyen el desplazamiento Doppler , la navegación Doppler , la aberración de la luz y el arrastre de la luz en agua en movimiento observado en el experimento de Fizeau de 1851. ^{[ 1 ]}

La notación emplea $u$ como velocidad de un cuerpo dentro de un marco de Lorentz $S$ , y $v$ como velocidad de un segundo marco $S'$ , medida en $S$ , y $u'$ como la velocidad transformada del cuerpo dentro del segundo marco.

Historia

La velocidad de la luz en un fluido es menor que en el vacío, y cambia si el fluido se mueve junto con la luz. En 1851, Fizeau midió la velocidad de la luz en un fluido que se movía paralelamente a la luz utilizando un interferómetro . Los resultados de Fizeau no coincidían con las teorías predominantes en aquel entonces. Fizeau determinó experimentalmente y con precisión el término cero de una expansión de la ley de adición relativista correcta en términos de $V$ $/ c, como$ se describe a continuación. El resultado de Fizeau llevó a los físicos a aceptar la validez empírica de la teoría bastante insatisfactoria de Fresnel de que un fluido que se mueve con respecto al éter estacionario arrastra parcialmente la luz consigo, es decir, la velocidad es $⁠$ $c$ $/$ $n$ $⁠$ $+ (1 -$ $⁠$ $1$ $/$ $n$ $2$ $⁠$ $)$ $V$ en lugar de $⁠$ $c$ $/$ $n$ $⁠$ $+$ $V$ , donde $c$ es la velocidad de la luz en el éter, $n$ es el índice de refracción del fluido y $V$ es la velocidad del fluido con respecto al éter.

La aberración de la luz, cuya explicación más sencilla es la fórmula de suma de velocidades relativistas, junto con el resultado de Fizeau, impulsó el desarrollo de teorías como la teoría del éter de Lorentz del electromagnetismo en 1892. En 1905, Albert Einstein , con el advenimiento de la relatividad especial , derivó la fórmula de configuración estándar ( $V$ en la dirección $x$ ) para la suma de velocidades relativistas. ^{[ 2 ]} Las cuestiones relacionadas con el éter se resolvieron gradualmente a lo largo de los años a favor de la relatividad especial.

relatividad galileana

Galileo observó que una persona en un barco en movimiento uniforme tiene la impresión de estar en reposo y ve un cuerpo pesado cayendo verticalmente. ^{[ 3 ]} Esta observación se considera ahora la primera formulación clara del principio de relatividad mecánica. Galileo vio que, desde el punto de vista de una persona parada en la orilla, el movimiento de caída del barco se combinaría con, o se sumaría a, el movimiento hacia adelante del barco. ^{[ 4 ]} En términos de velocidades, se puede decir que la velocidad del cuerpo que cae con respecto a la orilla es igual a la velocidad de ese cuerpo con respecto al barco más la velocidad del barco con respecto a la orilla.

En general, para tres objetos A (por ejemplo, Galileo en la orilla), B (por ejemplo, un barco), C (por ejemplo, un cuerpo que cae sobre un barco), el vector de velocidad es $\mathbf {u}$ de C en relación con A (velocidad del objeto en caída como lo ve Galileo) es la suma de la velocidad $\mathbf {u'}$ de C con respecto a B (velocidad del objeto que cae con respecto al barco) más la velocidad $v$ de B con respecto a A (velocidad del barco alejándose de la costa). La suma aquí es la suma vectorial del álgebra vectorial y la velocidad resultante se suele representar en la forma

$\mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .$

El cosmos de Galileo consiste en espacio y tiempo absolutos , y la suma de velocidades corresponde a la composición de transformaciones galileanas . El principio de relatividad se denomina relatividad galileana y es obedecido por la mecánica newtoniana .

relatividad especial

Según la teoría de la relatividad especial , el marco de la nave tiene una velocidad de reloj y una medida de distancia diferentes, y la noción de simultaneidad en la dirección del movimiento se altera, por lo que la ley de adición para las velocidades cambia. Este cambio no es perceptible a bajas velocidades, pero a medida que la velocidad aumenta hacia la velocidad de la luz se vuelve importante. La ley de adición también se llama ley de composición para las velocidades . Para movimientos colineales, la velocidad del objeto, $u'$ , por ejemplo, una bala de cañón disparada horizontalmente hacia el mar, medida desde el barco que se mueve a velocidad $v$ , sería medido por alguien parado en la orilla y observando toda la escena a través de un telescopio como ^{[ 5 ]} $u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.$ La fórmula de composición puede tomar una forma algebraicamente equivalente, que puede derivarse fácilmente utilizando únicamente el principio de constancia de la velocidad de la luz, ^{[ 6 ]} ${cu \over c+u}=\left({cu' \over c+u'}\right)\left({cv \over c+v}\right).$ El cosmos de la relatividad especial consiste en el espaciotiempo de Minkowski y la suma de velocidades corresponde a la composición de transformaciones de Lorentz . En la teoría especial de la relatividad, la mecánica newtoniana se transforma en mecánica relativista .

Configuración estándar

Las fórmulas para los impulsos en la configuración estándar se derivan más directamente de tomar diferenciales del impulso de Lorentz inverso en la configuración estándar. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} Si el marco primado viaja con velocidad $v$ con factor de Lorentz ${\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ en la dirección $x$ positiva con respecto al marco no primado, entonces los diferenciales son

$dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).$

Divide las tres primeras ecuaciones entre la cuarta,

${\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},$

o

$u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},$

que es

Transformación de la velocidad ( componentes cartesianas )

$u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$ $u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$ $u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$

en las que se obtuvieron expresiones para las velocidades primadas utilizando la receta estándar reemplazando $v$ por $-v$ e intercambiando coordenadas primadas y no primadas. Si se eligen coordenadas de modo que todas las velocidades se encuentren en un plano $x - y (común$ $)$ , entonces las velocidades se pueden expresar como $u_{x}=u\cos \theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u'\sin \theta ',$ (ver coordenadas polares ) y se encuentra ^{[ 2 ]}^{[ 9 ]}

Transformación de la velocidad ( componentes polares planas )

$u={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},$ $\tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.$

Detalles para ti

${\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}$

La demostración presentada es muy formal. Existen otras demostraciones más complejas que podrían resultar más esclarecedoras, como la que se muestra a continuación.

Una demostración utilizando $4$ -vectores y matrices de transformación de Lorentz.

Dado que una transformación relativista rota el espacio y el tiempo entre sí, de forma similar a como las rotaciones geométricas en el plano rotan los ejes $x$ e y $,$ resulta conveniente utilizar las mismas unidades para el espacio y el tiempo; de lo contrario, aparece un factor de conversión de unidades en todas las fórmulas relativistas, que es la velocidad de la luz . En un sistema donde las longitudes y los tiempos se miden en las mismas unidades, la velocidad de la luz es adimensional e igual a $1/2$ . Una velocidad se expresa entonces como una fracción de la velocidad de la luz.

Para hallar la ley de transformación relativista, es útil introducir las cuadrivelocidades $V = (V 0, V 1, 0, 0)$ , que es el movimiento del barco alejándose de la costa, medido desde la costa, y $U' = (U' 0, U' 1, U' 2, U' 3)$ que es el movimiento de la mosca alejándose del barco, medido desde el barco. La cuadrivelocidad se define como un cuadrivector con longitud relativista igual a $1$ , dirigido hacia el futuro y tangente a la línea de universo del objeto en el espaciotiempo. Aquí, $V 0$ corresponde a la componente temporal y $V 1$ a la componente $x$ de la velocidad del barco vista desde la costa. Es conveniente tomar el eje $x$ como la dirección del movimiento del barco alejándose de la costa, y el $eje$ y de modo que el plano $x - y$ sea el plano generado por el movimiento del barco y la mosca. Esto da como resultado que varios componentes de las velocidades sean cero: $V 2 = V 3 = U' 3 = 0$

La velocidad ordinaria es la relación entre la tasa de aumento de las coordenadas espaciales y la tasa de aumento de la coordenada temporal:

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}$

Dado que la longitud relativista de $V$ es $1$ , $V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,$ entonces $V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}=v_{1}\gamma .$

La matriz de transformación de Lorentz que convierte las velocidades medidas en el sistema de referencia del barco al sistema de referencia de la costa es la inversa de la transformación descrita en la página de la transformación de Lorentz , por lo que los signos menos que aparecen allí deben invertirse aquí:

${\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Esta matriz rota el vector del eje de tiempo puro $(1, 0, 0, 0)$ a $(V 0, V 1, 0, 0)$ , y todas sus columnas son relativísticamente ortogonales entre sí, por lo que define una transformación de Lorentz.

Si una mosca se mueve con cuadrivelocidad $U'$ en el sistema de referencia del barco, y se le aplica un impulso multiplicándola por la matriz anterior, la nueva cuadrivelocidad en el sistema de referencia de la costa es $U = (U 0, U 1, U 2, U 3)$ , ${\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{aligned}}$

Dividiendo por la componente temporal $U 0$ y sustituyendo las componentes de los cuadrivectores $U'$ y $V$ en términos de las componentes de los ternarios vectores $u'$ y $v$ se obtiene la ley de composición relativista como

${\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}$

La forma de la ley de composición relativista puede entenderse como un efecto del fallo de simultaneidad a distancia. Para la componente paralela, la dilatación del tiempo disminuye la velocidad, la contracción de la longitud la aumenta, y los dos efectos se cancelan. El fallo de simultaneidad significa que la mosca está cambiando de secciones de simultaneidad como proyección de $u'$ sobre $v$ . Dado que este efecto se debe enteramente al seccionamiento del tiempo, el mismo factor multiplica la componente perpendicular, pero para la componente perpendicular no hay contracción de la longitud, por lo que la dilatación del tiempo se multiplica por un factor de $⁠$ $1$ $/$ $V$ $0$ $⁠$ $=$ $\sqrt$ $(1 -$ $v$ $1$ $2$ $)$ .

Configuración general

Partiendo de la expresión en coordenadas para $v$ paralela al eje $x$ , las expresiones para las componentes perpendicular y paralela se pueden expresar en forma vectorial de la siguiente manera, un truco que también funciona para las transformaciones de Lorentz de otras magnitudes físicas 3D originalmente configuradas en la configuración estándar. Introduzca el vector de velocidad $u$ en el sistema de referencia no primado y $u'$ en el sistema de referencia primado, y divídalos en componentes paralelas (∥) y perpendiculares ( ⊥ ) al vector de velocidad relativa $v$ (véase el cuadro oculto a continuación) de esta forma. $\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },$ Luego, con los vectores base estándar cartesianos habituales $e x, e y, e z$ , establezca la velocidad en el sistema de referencia no primado como: $\mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},$ lo que da, utilizando los resultados para la configuración estándar, $\mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.$ donde $\cdot$ es el producto escalar . Dado que se trata de ecuaciones vectoriales, conservan la misma forma para $v$ en cualquier dirección. La única diferencia con las expresiones de coordenadas es que las expresiones anteriores se refieren a vectores , no a componentes.

Uno obtiene $\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',$ donde $α v = 1/ γ v$ es el recíproco del factor de Lorentz . El orden de los operandos en la definición se elige para que coincida con el de la configuración estándar de la que se deriva la fórmula.

El álgebra

${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}$

Descomposición en componentes paralelas y perpendiculares en términos de

V

Es necesario encontrar la componente paralela o la perpendicular de cada vector, ya que la otra componente se eliminará al sustituir los vectores completos.

La componente paralela de $u'$ se puede encontrar proyectando el vector completo en la dirección del movimiento relativo. $\mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} ,$ y la componente perpendicular de $u'$ se puede encontrar mediante las propiedades geométricas del producto vectorial (ver figura arriba a la derecha), $\mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}}}.$

En cada caso, $v / v$ es un vector unitario en la dirección del movimiento relativo.

Las expresiones para $u ∥$ y $u ⊥$ se pueden encontrar de la misma manera. Sustituyendo el componente paralelo en $\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} '-\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},$

da como resultado la ecuación anterior. ^{[ 10 ]}

Utilizando una identidad en $\alpha _{v}$ y $\gamma _{v}$ , ^{[ 11 ]}^{[ nb 1 ]}

${\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}$ y en la dirección hacia adelante (v positiva, S → S') ${\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}$

donde la última expresión es mediante la fórmula estándar de análisis vectorial $v \times (v \times u) = (v \cdot u) v - (v \cdot v) u$ . La primera expresión se extiende a cualquier número de dimensiones espaciales, pero el producto vectorial se define solo en tres dimensiones. Los objetos $A, B, C$ , con $B$ teniendo velocidad $v$ con respecto a $A$ y $C$ teniendo velocidad $u$ con respecto a $A,$ pueden ser cualquier cosa. En particular, pueden ser tres marcos, o podrían ser el laboratorio, una partícula en descomposición y uno de los productos de desintegración de la partícula en descomposición.

Propiedades

La suma relativista de 3-velocidades no es lineal , por lo que en general $(\lambda \mathbf {v} )\oplus (\lambda \mathbf {u} )\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),$ para el número real $λ$ , aunque es cierto que $(-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),$

Además, debido a los últimos términos, en general no es conmutativo. $\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,$ ni asociativo $\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .$

Es importante mencionar que si $u$ y $v'$ se refieren a velocidades de sistemas de referencia paralelos por pares (el sistema primado paralelo al no primado y el sistema doblemente primado paralelo al primado), entonces, según el principio de reciprocidad de velocidades de Einstein, el sistema no primado se mueve con velocidad $- u$ con respecto al sistema primado, y el sistema primado se mueve con velocidad $- v'$ con respecto al sistema doblemente primado; por lo tanto, $(- v' \oplus - u)$ es la velocidad del sistema no primado con respecto al sistema doblemente primado, y cabría esperar que $u \oplus v' = -(- v' \oplus - u)$ mediante una aplicación ingenua del principio de reciprocidad. Esto no se cumple, aunque las magnitudes sean iguales. Los sistemas de referencia no primado y doblemente primado no son paralelos, sino que están relacionados mediante una rotación. Esto está relacionado con el fenómeno de la precesión de Thomas , y no se abordará con mayor detalle aquí.

Las normas vienen dadas por ^{[ 12 ]} $|\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.$ y $|\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.$

Prueba

${\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}$ Fórmula inversa encontrada utilizando el procedimiento estándar de intercambiar $v$ por $- v$ y $u$ por $u'$ .

Es evidente que la no conmutatividad se manifiesta como una rotación adicional del sistema de coordenadas cuando intervienen dos transformaciones de Lorentz, puesto que la norma al cuadrado es la misma para ambos órdenes de transformaciones.

Los factores gamma para las velocidades combinadas se calculan como $\gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)$

Prueba detallada

${\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Fórmula inversa encontrada utilizando el procedimiento estándar de intercambiar $v$ por $- v$ y $u$ por $u'$ .

convenciones de notación

Las notaciones y convenciones para la suma de velocidades varían según el autor. Se pueden usar diferentes símbolos para la operación o para las velocidades involucradas, y los operandos pueden intercambiarse para la misma expresión, o los símbolos pueden intercambiarse para la misma velocidad. También se puede usar un símbolo completamente distinto para la velocidad transformada, en lugar del símbolo primo utilizado aquí. Dado que la suma de velocidades no es conmutativa, no se pueden intercambiar los operandos ni los símbolos sin cambiar el resultado.

Algunos ejemplos de notación alternativa son:

No hay operando específico: Landau y Lifshitz (2002) (utilizando unidades donde c = 1) $|\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]$
Ordenación de operandos de izquierda a derecha: Mocanu (1992) $\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]$ Ungar (1988) $\mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]$
Ordenación de operandos de derecha a izquierda: Sexo y Urbantke (2001) $\mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]$

Aplicaciones

A continuación se detallan algunas aplicaciones clásicas de las fórmulas de adición de velocidad, al desplazamiento Doppler, a la aberración de la luz y al arrastre de la luz en el agua en movimiento, que producen expresiones relativísticamente válidas para estos fenómenos. También es posible utilizar la fórmula de adición de velocidad, asumiendo la conservación del momento (apelando a la invariancia rotacional ordinaria), la forma correcta de la parte del vector de $3$ del cuadrivector de momento , sin recurrir al electromagnetismo, o a versiones relativistas del formalismo lagrangiano que a priori no se sabe que sean válidas . Esto implica que los experimentalistas hagan rebotar bolas de billar relativistas entre sí. Esto no se detalla aquí, pero véase como referencia Lewis y Tolman (1909) versión de Wikisource (fuente primaria) y Sard (1970 , Sección 3.2) .

experimento de Fizeau

Cuando la luz se propaga en un medio, su velocidad se reduce, en el sistema de referencia del medio, a $c m = ⁠ c / n m ⁠$ , donde $n m$ es el índice de refracción del medio $m$ . La velocidad de la luz en un medio que se mueve uniformemente con velocidad $V$ en la dirección positiva del eje $x$ , medida en el sistema de referencia del laboratorio, viene dada directamente por las fórmulas de suma de velocidades. Para la dirección de avance (configuración estándar, índice $m$ en $n$ ) se obtiene, ^{[ 13 ]} ${\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}$

Recopilando explícitamente las mayores contribuciones, $c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots \right).$ Fizeau halló los tres primeros términos. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} El resultado clásico son los dos primeros términos.

Aberración de la luz

Otra aplicación básica es considerar la desviación de la luz, es decir, el cambio de su dirección, al transformarla a un nuevo sistema de referencia con ejes paralelos, llamada aberración de la luz . En este caso, $v' = v = c$ , y la inserción en la fórmula para $tan θ$ produce $\tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.$

Para este caso también se puede calcular $sen θ$ y $cos θ$ a partir de las fórmulas estándar, ^{[ 16 ]} $\sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},$

Trigonometría

${\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}$

$\cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},$

Las manipulaciones trigonométricas son esencialmente idénticas en el caso $del coseno$ a las manipulaciones en el caso $del seno$ . Consideremos la diferencia,

${\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}$ correcto al orden $⁠$ $v$ $/$ $c$ $⁠$ . Emplee para hacer aproximaciones de ángulos pequeños una fórmula trigonométrica, $\sin \theta '-\sin \theta =2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',$ donde se utilizaron $cos ⁠ 1 / 2 ⁠ (θ + θ') \approx cos θ', sin ⁠ 1 / 2 ⁠ (θ - θ') \approx ⁠ 1 / 2 ⁠ (θ - θ') .$

Por lo tanto, la cantidad $\Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',$ el ángulo de aberración clásico se obtiene en el límite $⁠$ $V$ $/$ $c$ $⁠$ $\to 0$ .

Desplazamiento Doppler relativista

Aquí se utilizarán componentes de velocidad en lugar de rapidez para mayor generalidad y para evitar la introducción, quizás aparentemente arbitraria, de signos negativos. Los signos negativos que aparecen aquí servirán para resaltar características cuando se consideren velocidades inferiores a la de la luz.

Para las ondas de luz en el vacío, la dilatación del tiempo junto con una simple observación geométrica basta para calcular el desplazamiento Doppler en la configuración estándar (velocidad relativa colineal del emisor y del observador, así como de la onda de luz observada).

Todas las velocidades que siguen son paralelas a la dirección positiva común del eje $x$ , por lo que se omiten los subíndices en las componentes de la velocidad. En el sistema de referencia del observador, introduzca la observación geométrica. $\lambda =-sT+VT=(-s+V)T$ como la distancia espacial, o longitud de onda , entre dos pulsos (crestas de onda), donde $T$ es el tiempo transcurrido entre la emisión de dos pulsos. El tiempo transcurrido entre el paso de dos pulsos $por$ el mismo punto del espacio es el período $τ$ , y su inverso $ν = 1 / τ es$ la frecuencia (temporal) observada . Las cantidades correspondientes en el sistema de referencia del emisor están dotadas de primas. ^{[ 18 ]}

Para ondas de luz $s=s'=-c,$ y la frecuencia observada es ^{[ 2 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} $\nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.$ donde $T = γ V T'$ es la fórmula estándar de dilatación del tiempo .

Supongamos en cambio que la onda no está compuesta de ondas de luz con velocidad $c$ , sino, para una fácil visualización, de balas disparadas desde una ametralladora relativista, con velocidad $s'$ en el sistema de referencia del emisor. Entonces, en general, la observación geométrica es precisamente la misma . Pero ahora, $s' \neq s$ , y $s$ viene dada por la suma de velocidades. $s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.$

El cálculo es entonces esencialmente el mismo, excepto que aquí es más fácil realizarlo al revés con $τ = 1 / ν en lugar$ de $ν$ $.$ Se encuentra

$\tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)$

Detalles en la derivación

${\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}$

Obsérvese que en el caso típico, el $s'$ que entra es negativo . Sin embargo, la fórmula tiene validez general. ^{[ nb 2 ]} Cuando $s' = - c$ , la fórmula se reduce a la fórmula calculada directamente para ondas de luz arriba,

$\nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.$

Si el emisor no dispara balas en el espacio vacío, sino que emite ondas en un medio, entonces la fórmula sigue siendo válida , pero ahora puede ser necesario calcular primero $s'$ a partir de la velocidad del emisor con respecto al medio.

Volviendo al caso de un emisor de luz, en el caso de que el observador y el emisor no sean colineales, el resultado tiene poca modificación, ^{[ 2 ]}^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} $\nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),$ donde $θ$ es el ángulo entre el emisor de luz y el observador. Esto se reduce al resultado anterior para el movimiento colineal cuando $θ = 0$ , pero para el movimiento transversal correspondiente a $θ = π /2$ , la frecuencia se desplaza por el factor de Lorentz . Esto no ocurre en el efecto Doppler óptico clásico.

Geometría hiperbólica

Asociado a la velocidad relativista ${\boldsymbol {\beta }}$ de un objeto es una cantidad ${\boldsymbol {\zeta }}$ cuya norma se llama rapidez . Estos están relacionados a través de ${\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},$ donde el vector ${\boldsymbol {\zeta }}$ Se considera que son coordenadas cartesianas en un subespacio tridimensional del álgebra de Lie. ${\mathfrak {so}}(3,1)$ del grupo de Lorentz abarcado por los generadores de impulso $K_{1},K_{2},K_{3}$ . Este espacio, llamémoslo espacio de rapidez , es isomorfo a $ℝ 3$ como espacio vectorial, y se mapea a la bola unitaria abierta, $\mathbb {B} ^{3}$ , espacio de velocidades , a través de la relación anterior. ^{[ 23 ]} La ley de adición en forma colineal coincide con la ley de adición de tangentes hiperbólicas $\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}$ con ${\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).$

El elemento de línea en el espacio de velocidades $\mathbb {B} ^{3}$ se deduce de la expresión para la velocidad relativa relativista en cualquier sistema de referencia, ^{[ 24 ]} $v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},$ donde la velocidad de la luz se establece en la unidad de modo que $v_{i}$ y $\beta _{i}$ Estoy de acuerdo. Esta expresión, $\mathbf {v} _{1}$ y $\mathbf {v} _{2}$ son las velocidades de dos objetos en un sistema de referencia dado. La cantidad $v_{r}$ es la velocidad de uno u otro objeto con respecto al otro objeto visto en el sistema de referencia dado . La expresión es invariante de Lorentz, es decir, independiente de cuál sea el sistema de referencia dado, pero la cantidad que calcula no lo es . Por ejemplo, si el sistema de referencia dado es el sistema de referencia en reposo del objeto uno, entonces $v_{r}=v_{2}$ .

El elemento de línea se encuentra colocando $\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v}$ o equivalentemente ${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}$ , ^{[ 25 ]} $dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),$ con $θ$ y $φ$ las coordenadas de ángulo esférico usuales para ${\boldsymbol {\beta }}$ tomado en la dirección $z$ . Ahora introduzca $ζ$ a través de $\zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,$ y el elemento de línea en el espacio de rapidez $\mathbb {R} ^{3}$ se convierte $dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).$

Colisiones de partículas relativistas

En los experimentos de dispersión, el objetivo principal es medir la sección transversal de dispersión invariante . Esto entra en la fórmula para la dispersión de dos tipos de partículas en un estado final. $f$ se supone que tiene dos o más partículas, ^{[ 26 ]} $dN_{f}=R_{f}\,dV\,dt=\sigma F\,dV\,dt$ o, en la mayoría de los libros de texto, $dN_{f}=\sigma n_{1}n_{2}v_{r}\,dV\,dt$ dónde

$dVdt$ es el volumen del espaciotiempo. Es un invariante bajo transformaciones de Lorentz.
$dN_{f}$ es el número total de reacciones que dan como resultado el estado final. $f$ en el volumen del espacio-tiempo $dVdt$ Al ser un número, es invariante cuando se considera el mismo volumen de espaciotiempo.
$R_{f}=F\sigma$ es el número de reacciones que dan como resultado el estado final $f$ por unidad de espacio-tiempo, o tasa de reacción . Esto es invariante.
$F=n_{1}n_{2}v_{r}$ Se denomina flujo incidente . Se requiere que sea invariante, pero no lo es en el contexto más general.
$\sigma$ es la sección transversal de dispersión. Se requiere que sea invariante.
$n_{1},n_{2}$ son las densidades de partículas en los haces incidentes. Estas no son invariantes, como es evidente debido a la contracción de la longitud .
$v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$ es la velocidad relativa de los dos haces incidentes. Esto no puede ser invariante ya que $F=n_{1}n_{2}v_{r}$ Es necesario que sea así.

El objetivo es encontrar una expresión correcta para la velocidad relativa relativista. $v_{\text{rel}}$ y una expresión invariante para el flujo incidente.

De forma no relativista, se tiene para la velocidad relativa $v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$ . Si el sistema en el que se miden las velocidades es el sistema de referencia en reposo de tipo partícula $1$ , se requiere que $v_{\text{rel}}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.$ Ajustando la velocidad de la luz $c=1$ , la expresión para $v_{\text{rel}}$ se deduce inmediatamente de la fórmula para la norma (segunda fórmula) en la configuración general como ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]} $v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.$

La fórmula se reduce en el límite clásico a $v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|$ como debería, y da el resultado correcto en los sistemas de referencia de las partículas. La velocidad relativa se da incorrectamente en la mayoría, quizás en todos, los libros sobre física de partículas y teoría cuántica de campos. ^{[ 27 ]} Esto es en su mayor parte inofensivo, ya que si uno de los tipos de partículas es estacionario o el movimiento relativo es colineal, entonces se obtiene el resultado correcto a partir de las fórmulas incorrectas. La fórmula es invariante, pero no manifiestamente. Se puede reescribir en términos de cuadrivelocidades como $v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2}}}.$

La expresión correcta para el flujo, publicada por Christian Møller ^{[ 29 ]} en 1945, viene dada por ^{[ 30 ].} $F=n_{1}n_{2}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.$

Se observa que para velocidades colineales, $F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2}v_{r}$ Para obtener una expresión manifiestamente invariante de Lorentz se escribe: $J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i})$ con $n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}$ , dónde $n_{i}^{0}$ es la densidad en el sistema de referencia en reposo, para los flujos de partículas individuales y llega a ^{[ 31 ]} $F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{\text{rel}}.$

En la literatura la cantidad ${\bar {v}}$ así como $v_{r}$ Ambas se denominan velocidad relativa. En algunos casos (física estadística y literatura sobre materia oscura), ${\bar {v}}$ se denomina velocidad de Møller , en cuyo caso $v_{r}$ significa velocidad relativa. La verdadera velocidad relativa es a cualquier velocidad $v_{\text{rel}}$ . ^{[ 31 ]} La discrepancia entre $v_{\text{rel}}$ y $v_{r}$ es relevante aunque en la mayoría de los casos las velocidades son colineales. En el LHC el ángulo de cruce es pequeño, alrededor de300 μrad , pero en el antiguo Anillo de Almacenamiento Intersecante del CERN , era de unos 18°. ^{[ 32 ]}

Con rapidez

Cono de luz e hipérbolas conjugadas en Minkowski (1908)

Para velocidades colineales interpretadas como rapidez, la fórmula de suma es una simple adición. Según Minkowski, el vector temporal ( zeitartiger Vektor ) para una duración dada se encuentra sobre una hipérbola. Dado que la hipérbola está trazada por un ángulo hiperbólico y la velocidad determina un punto en la hipérbola, existe un ángulo hiperbólico, denominado rapidez, asociado a una velocidad particular. Para una unidad de duración, la hipérbola unitaria proporciona una referencia, donde el ángulo hiperbólico forma un grupo uniparamétrico isomorfo a la recta numérica real bajo la suma. La forma de la fórmula para la suma de velocidades puede entonces explicarse en términos de la función tangente hiperbólica tanh, que toma el ángulo hiperbólico (rapidez) como argumento. De hecho, la tangente hiperbólica de la rapidez es la razón entre la velocidad y la velocidad de la luz en el vacío. ^{[ 33 ]}

Véase también

Observaciones

↑ Estas fórmulas se derivan de invertir $α v$ para $v 2$ y aplicar la diferencia de dos cuadrados para obtener
$v 2 = c 2 (1 - α v 2) = c 2 (1 - α v)(1 + α v)$
de modo que
$⁠ (1 - α v) / v 2 ⁠ = ⁠ 1 / c 2 (1 + α v) ⁠ = ⁠ γ v / c 2 (1 + γ v) ⁠$ .
↑ Nótese que $s'$ es negativo en el sentido en que se plantea el problema, es decir, un emisor convelocidad positiva dispara proyectiles rápidos hacia un observador en un sistema no preparado. La convención es que $- s > V$ debería producir una frecuencia positiva de acuerdo con el resultado para la velocidad final, $s = - c$ . Por lo tanto, el signo menos es una convención, pero una convención muy natural, hasta el punto de ser canónica.
La fórmula también puede dar como resultado frecuencias negativas. La interpretación, entonces, es que las balas se aproximan desde el eje $x$ negativo . Esto puede deberse a dos causas: el emisor puede tener una velocidad positiva elevada y disparar balas lentas, o bien, puede tener una velocidad negativa pequeña y disparar balas rápidas. Sin embargo, si el emisor tiene una velocidad negativa elevada y dispara balas lentas, la frecuencia vuelve a ser positiva.
Para que algunas de estas combinaciones tengan sentido, debe ser necesario que el emisor haya estado disparando balas durante un tiempo suficientemente largo, en el límite de que el eje $x$ en cualquier instante tenga balas igualmente espaciadas en todas partes.

Notas

↑ Kleppner & Kolenkow 1978 , Capítulos 11-14
1 2 3 4 Einstein 1905 , Véase la sección 5, "La composición de velocidades"
↑ Galilei 2001
↑ Galilei 1954 Galileo utilizó esta idea para demostrar que la trayectoria del peso, vista desde la orilla, sería una parábola.
↑ Arfken, George (2012). Física universitaria . Academic Press. pág. 367. ISBN 978-0-323-14202-1.Extracto de la página 367
↑ Mermin 2005 , pág. 37
↑ Landau y Lifshitz 2002 , pág. 13
↑ Kleppner y Kolenkow 1978 , pág. 457
↑ Jackson 1999 , pág. 531
↑ Lerner y Trigg 1991 , pág. 1053
↑ Friedman 2002 , págs. 1–21 harvnb error: no hay destino: CITEREFFriedman2002 ( ayuda )
↑ Landau y Lifshitz 2002 , pág. 37 Ecuación (12.6) Esto se deriva de manera bastante diferente al considerar secciones transversales invariantes.
↑ Kleppner y Kolenkow 1978 , pág. 474
↑ Fizeau 1851e
↑ Fizeau 1860
↑ Landau y Lifshitz 2002 , pág. 14
↑ Bradley 1727–1728
↑ Kleppner y Kolenkow 1978 , pág. 477 En la referencia, la velocidad de un emisor que se aproxima se toma como positiva . De ahí la diferencia de signo.
^ Tipler y Mosca 2008 , págs. 1328-1329
↑ Mansfield y O'Sullivan 2011 , págs. 491–492 harvnb error: no target: CITEREFMansfieldO'Sullivan2011 ( ayuda )
↑ Lerner y Trigg 1991 , pág. 259
↑ Parker 1993 , pág. 312
↑ Jackson 1999 , pág. 547
↑ Landau y Lifshitz 2002 , Ecuación 12.6
↑ Landau y Lifshitz 2002 , Problema pág. 38
↑ Cannoni 2017 , pág. 1
1 2 Cannoni 2017 , pág. 4
↑ Landau y Lifshitz 2002
↑ Møller 1945
↑ Cannoni 2017 , pág. 8
1 2 Cannoni 2017 , pág. 13
↑ Cannoni 2017 , pág. 15
↑ Silberstein, Ludwik (1914). La teoría de la relatividad . Londres: Macmillan & Co. pág. 179.

Referencias

Einstein, A. (1905). "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento" [ Zur Elektrodynamik bewegter Körper ] (PDF) . Annalen der Physik . 10 (322): 891– 921. Bibcode : 1905AnP...322..891E . doi : 10.1002/andp.19053221004 .
Fock, V. (1964). La teoría del espacio, el tiempo y la gravitación . doi : 10.1016/C2013-0-05319-4 . ISBN 978-0-08-010061-6.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
French, AP (1968). Relatividad especial . Serie de física introductoria del MIT. WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-09793-1.
Friedman, Yaakov; Scarr, Tzvi (2005). Aplicaciones físicas de las bolas homogéneas . Birkhäuser. pp. 1–21 . ISBN 978-0-8176-3339-4.
Jackson, JD (1999) [1962]. «Capítulo 11». Electrodinámica clásica (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-30932-1.(nivel de posgrado)
Kleppner, D.; Kolenkow , RJ (1978) [1973]. Introducción a la mecánica . Londres: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-035048-9.(Nivel introductorio)
Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. La teoría clásica de campos . Curso de física teórica. Vol. 2 (4.ª ed.). Butterworth–Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9.(nivel de posgrado)
Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2.ª ed.). VHC Publishers, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
Mermin, ND (2005). Ya era hora: Entendiendo la relatividad de Einstein . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12201-4.
Mocanu, CI (1992). "Sobre la paradoja de la composición de velocidad relativista y la rotación de Thomas". Found. Phys. Lett . 5 (5): 443– 456. Bibcode : 1992FoPhL...5..443M . doi : 10.1007/BF00690425 . ISSN 0894-9875 . S2CID 122472788 .
Moller, C. (1945). «Propiedades generales de la matriz característica en la teoría de partículas elementales I» (PDF) . D. KGL Danské Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Med . . 23 (1).
Parker, SP (1993). Enciclopedia de Física de McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-051400-3.
Sard, RD (1970). Mecánica relativista: relatividad especial y dinámica clásica de partículas . Nueva York: WA Benjamin. ISBN 978-0-8053-8491-8.
Sexl, RU; Urbantke, HK (2001) [1992]. Relatividad, grupos de partículas. Relatividad especial y simetría relativista en física de campos y partículas . Springer. págs. 38–43 . ISBN 978-3-211-83443-5.
Tipler, P.; Mosca, G. (2008). Física para científicos e ingenieros (6.ª ed.). Freeman. págs. 1328–1329 . ISBN 978-1-4292-0265-7.
Ungar, AA (1988). "Rotación de Thomas y parametrización del grupo de Lorentz". Foundations of Physics Letters . 1 (1): 57– 81. Bibcode : 1988FoPhL...1...57U . doi : 10.1007/BF00661317 . ISSN 0894-9875 . S2CID 121240925 .
Cannoni, Mirco (2017). "Velocidad relativa invariante de Lorentz y colisiones binarias relativistas". International Journal of Modern Physics A . 32 (2n03): 1730002. arXiv : 1605.00569 . Bibcode : 2017IJMPA..3230002C . doi : 10.1142/S0217751X17300022 . S2CID 119223742 – vía World Scientific .

Histórico

Bradley, James (1727–1728). «Carta del reverendo James Bradley, profesor saviliano de astronomía en Oxford y miembro de la Royal Society, al Dr. Edmond Halley, astrónomo registrado, etc., en la que se describe un nuevo movimiento descubierto de las estrellas fijas» . Phil. Trans. R. Soc. (PDF). 35 ( 399–406 ): 637–661 . Bibcode : 1727RSPT...35..637B . doi : 10.1098/rstl.1727.0064 .
Doppler, C. (1903) [1842], Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels [ Sobre la luz coloreada de las estrellas binarias y algunas otras estrellas del cielo ] (en alemán), vol. 2, Praga: Abhandlungen der Königl. Bohm. Gesellschaft der Wissenschaften, págs. 465 a 482
Fizeau, H. (1851 y siguientes). "Sur les hipothèses parientes à l'éther lumineux" [ Las hipótesis relativas al éter luminoso ] . Comptes Rendus (en francés). 33 : 349–355 .
Fizeau, H. (1851e). "Las hipótesis relativas al éter luminoso" . Revista filosófica . 2 : 568–573 .
Fizeau, H. (1859). "Sur les hipothèses parientes à l'éther lumineux" [ Las hipótesis relativas al éter luminoso ] . Ana. Chim. Física. (en francés). 57 : 385–404 .
Fizeau, H. (1860). "Sobre el efecto del movimiento de un cuerpo sobre la velocidad con la que es atravesado por la luz" . Revista Filosófica . 19 : 245–260 .
Galilei, G. (2001) [1632]. Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo [ Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo ] . Stillman Drake (editor, traductor), Stephen Jay Gould (editor), JL Heilbron (introducción), Albert Einstein (prólogo). Modern Library. ISBN 978-0-375-75766-2.
Galileo, G. (1954) [1638]. Diálogos sobre dos nuevas ciencias [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ] . Henry Crew, Alfonso de Salvio (Traductores). Digiread.com. ISBN 978-1-4209-3815-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Lewis, GN ; Tolman, RC (1909). "El principio de relatividad y la mecánica no newtoniana" . Phil. Mag . 6. 18 (106): 510– 523. doi : 10.1080/14786441008636725 .Versión de Wikisource

Enlaces externos

Sommerfeld, A. (1909). "Sobre la composición de velocidades en la teoría de la relatividad" [ Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie ] . Verh. Alemán. Física. Ges . 21 : 577–582 .

[12] Estas fórmulas se derivan de invertir $α v$ para $v 2$ y aplicar la diferencia de dos cuadrados para obtener
$v 2 = c 2 (1 - α v 2) = c 2 (1 - α v)(1 + α v)$
de modo que
$⁠ (1 - α v) / v 2 ⁠ = ⁠ 1 / c 2 (1 + α v) ⁠ = ⁠ γ v / c 2 (1 + γ v) ⁠$ .

[22] Nótese que $s'$ es negativo en el sentido en que se plantea el problema, es decir, un emisor convelocidad positiva dispara proyectiles rápidos hacia un observador en un sistema no preparado. La convención es que $- s > V$ debería producir una frecuencia positiva de acuerdo con el resultado para la velocidad final, $s = - c$ . Por lo tanto, el signo menos es una convención, pero una convención muy natural, hasta el punto de ser canónica.
La fórmula también puede dar como resultado frecuencias negativas. La interpretación, entonces, es que las balas se aproximan desde el eje $x$ negativo . Esto puede deberse a dos causas: el emisor puede tener una velocidad positiva elevada y disparar balas lentas, o bien, puede tener una velocidad negativa pequeña y disparar balas rápidas. Sin embargo, si el emisor tiene una velocidad negativa elevada y dispara balas lentas, la frecuencia vuelve a ser positiva.
Para que algunas de estas combinaciones tengan sentido, debe ser necesario que el emisor haya estado disparando balas durante un tiempo suficientemente largo, en el límite de que el eje $x$ en cualquier instante tenga balas igualmente espaciadas en todas partes.

[1] Kleppner & Kolenkow 1978 , Capítulos 11-14

[Einstein_1905-2] 1 2 3 4 Einstein 1905 , Véase la sección 5, "La composición de velocidades"

[3] Galilei 2001

[4] Galilei 1954 Galileo utilizó esta idea para demostrar que la trayectoria del peso, vista desde la orilla, sería una parábola.

[5] Arfken, George (2012). Física universitaria . Academic Press. pág. 367. ISBN 978-0-323-14202-1.Extracto de la página 367

[6] Mermin 2005 , pág. 37

[LL-7] Landau y Lifshitz 2002 , pág. 13

[8] Kleppner y Kolenkow 1978 , pág. 457

[9] Jackson 1999 , pág. 531

[10] Lerner y Trigg 1991 , pág. 1053

[11] Friedman 2002 , págs. 1–21 harvnb error: no hay destino: CITEREFFriedman2002 ( ayuda )

[13] Landau y Lifshitz 2002 , pág. 37 Ecuación (12.6) Esto se deriva de manera bastante diferente al considerar secciones transversales invariantes.

[14] Kleppner y Kolenkow 1978 , pág. 474

[15] Fizeau 1851e

[16] Fizeau 1860

[17] Landau y Lifshitz 2002 , pág. 14

[18] Bradley 1727–1728

[19] Kleppner y Kolenkow 1978 , pág. 477 En la referencia, la velocidad de un emisor que se aproxima se toma como positiva . De ahí la diferencia de signo.

[20] Tipler y Mosca 2008 , págs. 1328-1329

[21] Mansfield y O'Sullivan 2011 , págs. 491–492 harvnb error: no target: CITEREFMansfieldO'Sullivan2011 ( ayuda )

[23] Lerner y Trigg 1991 , pág. 259

[24] Parker 1993 , pág. 312

[25] Jackson 1999 , pág. 547

[26] Landau y Lifshitz 2002 , Ecuación 12.6

[27] Landau y Lifshitz 2002 , Problema pág. 38

[28] Cannoni 2017 , pág. 1

[Cannoni_2017_4-29] 1 2 Cannoni 2017 , pág. 4

[30] Landau y Lifshitz 2002

[31] Møller 1945

[32] Cannoni 2017 , pág. 8

[Cannoni_2017_13-33] 1 2 Cannoni 2017 , pág. 13

[34] Cannoni 2017 , pág. 15

[35] Silberstein, Ludwik (1914). La teoría de la relatividad . Londres: Macmillan & Co. pág. 179.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ nb 1 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ nb 2 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ].

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]