dilatación del tiempo

La dilatación del tiempo puede inferirse de la constancia observada de la velocidad de la luz en todos los sistemas de referencia, dictada por el segundo postulado de la relatividad especial . Esta constancia de la velocidad de la luz implica que, contrariamente a la intuición, las velocidades de los objetos materiales y de la luz no son aditivas. No es posible hacer que la velocidad de la luz parezca mayor acercándose o alejándose de la fuente de luz. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

La relatividad del tiempo puede ilustrarse con un experimento mental basado en un reloj vertical abstracto que consta de dos espejos A y B , entre los cuales rebota un pulso de luz. ^{[ 17 ]} La separación entre los espejos es L y el reloj da un tic cada vez que el pulso de luz incide en el espejo A. En el sistema de referencia en el que el reloj está en reposo (véase la parte izquierda del diagrama), el pulso de luz traza una trayectoria de longitud 2L y el período de tiempo entre los tics del reloj .${\displaystyle \Delta t}$es igual a 2 L dividido por la velocidad de la luz c :

${\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{c}}}$

Desde el sistema de referencia de un observador en movimiento que viaja a la velocidad v con respecto al sistema de referencia en reposo del reloj (parte derecha del diagrama), el pulso de luz se ve trazando una trayectoria más larga y en ángulo 2D . Mantener la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales requiere un alargamiento (es decir, una dilatación) del período de tiempo entre los tics de este reloj.${\displaystyle \Delta t'}$desde la perspectiva del observador en movimiento. Es decir, medido en un marco que se mueve con respecto al reloj local, este reloj funcionará (es decir, hará tictac) más lentamente, ya que la frecuencia de tictac es igual a uno dividido por el período de tiempo entre tictacs 1/${\displaystyle \Delta t'}$.

La aplicación directa del teorema de Pitágoras conduce a la conocida predicción de la relatividad especial:

El tiempo total que tarda el pulso de luz en recorrer su trayectoria viene dado por:

${\displaystyle \Delta t'={\frac {2D}{c}}}$

La longitud del semirrecorrido se puede calcular en función de cantidades conocidas de la siguiente manera:

${\displaystyle D={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}v\Delta t'\right)^{2}+L^{2}}}}$

La eliminación de las variables D y L de estas tres ecuaciones da como resultado:

lo cual expresa el hecho de que el período del reloj del observador en movimiento${\displaystyle \Delta t'}$es más largo que el período${\displaystyle \Delta t}$en el marco del propio reloj. El factor de Lorentz gamma ( γ ) se define como ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Dado que todos los relojes que tienen un período común en el sistema de referencia en reposo deberían tener un período común cuando se observan desde el sistema de referencia en movimiento, todos los demás relojes —mecánicos , electrónicos, ópticos (como una versión horizontal idéntica del reloj del ejemplo) — deberían exhibir la misma dilatación del tiempo dependiente de la velocidad. ^{[ 19 ]}

Dado un determinado marco de referencia y el observador "estacionario" descrito anteriormente, si un segundo observador acompañara al reloj "en movimiento", cada uno de los observadores mediría el reloj del otro como si marcara el tiempo a un ritmo más lento que su propio reloj local, debido a que ambos medirían al otro como el que está en movimiento en relación con su propio marco de referencia estacionario.

El sentido común dictaría que, si el paso del tiempo se ralentiza para un objeto en movimiento, dicho objeto percibiría que el tiempo del mundo exterior se acelera en consecuencia. Paradójicamente, la relatividad especial predice lo contrario. Cuando dos observadores se mueven uno con respecto al otro, cada uno medirá que el reloj del otro se ralentiza, en concordancia con su propio movimiento con respecto al sistema de referencia del observador.

Aunque parezca contradictorio, una peculiaridad similar ocurre en la vida cotidiana. Si dos personas, A y B, se observan desde la distancia, B parecerá pequeña para A, pero al mismo tiempo, A parecerá pequeña para B. Conociendo los efectos de la perspectiva , no hay contradicción ni paradoja en esta situación. ^{[ 20 ]}

La reciprocidad del fenómeno también conduce a la llamada paradoja de los gemelos , donde se compara el envejecimiento de dos gemelos, uno que permanece en la Tierra y otro que emprende un viaje espacial, y donde la reciprocidad sugiere que ambos deberían tener la misma edad al reunirse. Por el contrario, al final del viaje de ida y vuelta, el gemelo viajero será más joven que su hermano en la Tierra. El dilema que plantea la paradoja se explica por el hecho de que la situación no es simétrica. El gemelo que permanece en la Tierra se encuentra en un único sistema de referencia inercial, y el gemelo viajero se encuentra en dos sistemas de referencia inerciales diferentes: uno en el viaje de ida y otro en el viaje de vuelta. Véase también Paradoja de los gemelos §  Papel de la aceleración .

Diagrama de Minkowski y paradoja de los gemelos

Reloj C en movimiento relativo entre dos relojes sincronizados A y B. C se encuentra con A en d , y con B en f .

Paradoja de los gemelos . Uno de los gemelos tiene que cambiar de marco de referencia, lo que da lugar a diferentes tiempos propios en las líneas de universo de ambos gemelos.

En el diagrama de Minkowski de la primera imagen de la derecha, el reloj C, situado en el sistema de referencia inercial S′, se encuentra con el reloj A en d y con el reloj B en f (ambos en S). Los tres relojes comienzan a funcionar simultáneamente en S. La línea de universo de A es el eje ct, la línea de universo de B que interseca f es paralela al eje ct, y la línea de universo de C es el eje ct′. Todos los eventos simultáneos con d en S se encuentran en el eje x, y en S′ en el eje x′.

El tiempo propio entre dos eventos está indicado por un reloj presente en ambos eventos. ^{[ 27 ]} Es invariante, es decir, en todos los sistemas de referencia inerciales se acepta que este tiempo está indicado por ese reloj. El intervalo df es, por lo tanto, el tiempo propio del reloj C, y es más corto con respecto a los tiempos de coordenadas ef=dg de los relojes B y A en S. Recíprocamente, también el tiempo propio ef de B es más corto con respecto al tiempo if en S′, porque el evento e ya se midió en S′ en el tiempo i debido a la relatividad de la simultaneidad, mucho antes de que C comenzara a funcionar.

De ello se deduce que el tiempo propio entre dos eventos, indicado por un reloj no acelerado presente en ambos, comparado con el tiempo de coordenadas sincronizadas medido en todos los demás sistemas de referencia inerciales, es siempre el intervalo de tiempo mínimo entre dichos eventos. Sin embargo, el intervalo entre dos eventos también puede corresponder al tiempo propio de relojes acelerados presentes en ambos. Entre todos los posibles tiempos propios entre dos eventos, el tiempo propio del reloj no acelerado es máximo , lo cual constituye la solución a la paradoja de los gemelos . ^{[ 27 ]}

Además del reloj de luz utilizado anteriormente, la fórmula para la dilatación del tiempo se puede derivar de forma más general de la parte temporal de la transformación de Lorentz . ^{[ 28 ]} Supongamos que hay dos eventos en los que el reloj en movimiento indica${\displaystyle t_{a}}$y${\displaystyle t_{b}}$, de este modo:

${\displaystyle t_{a}^{\prime }={\frac {t_{a}-{\frac {vx_{a}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ t_{b}^{\prime }={\frac {t_{b}-{\frac {vx_{b}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Dado que el reloj permanece en reposo en su marco inercial, sigue${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$, por lo tanto el intervalo${\displaystyle \Delta t^{\prime }=t_{b}^{\prime }-t_{a}^{\prime }}$está dado por:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

donde Δt , conocido como tiempo propio , es el intervalo de tiempo entre dos eventos colocales (es decir, que ocurren en el mismo lugar) para un observador en algún sistema de referencia inercial (por ejemplo, los tics de su reloj), Δt ′ es el intervalo de tiempo entre esos mismos eventos, medido por otro observador, que se mueve inercialmente con velocidad v con respecto al observador anterior, v es la velocidad relativa entre el observador y el reloj en movimiento, c es la velocidad de la luz, y el factor de Lorentz (denotado convencionalmente por la letra griega gamma o γ ) es:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

Así, se observa que la duración del ciclo de un reloj en movimiento aumenta: se mide que "se retrasa". El rango de tales variaciones en la vida cotidiana, donde v ≪ c , incluso considerando los viajes espaciales, no es lo suficientemente grande como para producir efectos de dilatación del tiempo fácilmente detectables, y tales efectos infinitesimalmente pequeños pueden ignorarse con seguridad para la mayoría de los propósitos. Como umbral aproximado, una dilatación del tiempo del 0,5 % puede volverse importante cuando un objeto se acerca a velocidades del orden de 30 000  km/s (1/10 de la velocidad de la luz). ^{[ 29 ]}

In special relativity, time dilation is most simply described in circumstances where relative velocity is unchanging. Nevertheless, the Lorentz equations allow one to calculate proper time and movement in space for the simple case of a spaceship which is applied with a force per unit mass, relative to some reference object in uniform (i.e. constant velocity) motion, equal to g throughout the period of measurement.

Let t be the time in an inertial frame subsequently called the rest frame. Let x be a spatial coordinate, and let the direction of the constant acceleration as well as the spaceship's velocity (relative to the rest frame) be parallel to the x-axis. Assuming the spaceship's position at time t = 0 being x = 0 and the velocity being v₀ and defining the following abbreviation:

${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}$

the following formulas hold:^[30]

Position:

${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right)}$

Velocity:

${\displaystyle v(t)={\frac {gt+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Proper time as function of coordinate time:

${\displaystyle \tau (t)=\tau _{0}+\int _{0}^{t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t')}{c}}\right)^{2}}}dt'}$

In the case where v(0) = v₀ = 0 and τ(0) = τ₀ = 0 the integral can be expressed as a logarithmic function or, equivalently, as an inverse hyperbolic function:

${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{g}}\ln \left({\frac {gt}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {gt}{c}}\right)^{2}}}\right)={\frac {c}{g}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {gt}{c}}\right)}$

As functions of the proper time ${\displaystyle \tau }$ of the ship, the following formulae hold:^[31]

Position:

${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {g\tau }{c}}-1\right)}$

Velocity:

${\displaystyle v(\tau )=c\tanh {\frac {g\tau }{c}}}$

Coordinate time as function of proper time:

${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {g\tau }{c}}}$

The clock hypothesis is the assumption that the rate at which a clock is affected by time dilation does not depend on its acceleration but only on its instantaneous velocity. This is equivalent to stating that a clock moving along a path ${\displaystyle P}$ measures the proper time, defined by:

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2}/c^{2}}}}$

The clock hypothesis was implicitly (but not explicitly) included in Einstein's original 1905 formulation of special relativity. Since then, it has become a standard assumption and is usually included in the axioms of special relativity, especially in light of experimental verification up to very high accelerations in particle accelerators.^[32][33]

• In 1959, Robert Pound and Glen Rebka measured the very slight gravitational redshift in the frequency of light emitted at a lower height, where Earth's gravitational field is relatively more intense. The results were within 10% of the predictions of general relativity. In 1964, Pound and J. L. Snider measured a result within 1% of the value predicted by gravitational time dilation.^[36] (See Pound–Rebka experiment)
• In 2010, gravitational time dilation was measured at the Earth's surface with a height difference of only one meter, using optical atomic clocks.^[26]

• Hafele and Keating, in 1971, flew caesium atomic clocks east and west around the Earth in commercial airliners, to compare the elapsed time against that of a clock that remained at the U.S. Naval Observatory. Two opposite effects came into play. The clocks were expected to age more quickly (show a larger elapsed time) than the reference clock since they were in a higher (weaker) gravitational potential for most of the trip (cf. Pound–Rebka experiment). But also, contrastingly, the moving clocks were expected to age more slowly because of the speed of their travel. From the actual flight paths of each trip, the theory predicted that the flying clocks, compared with reference clocks at the U.S. Naval Observatory, should have lost 40±23 nanoseconds during the eastward trip and should have gained 275±21 nanoseconds during the westward trip. Relative to the atomic time scale of the U.S. Naval Observatory, the flying clocks lost 59±10 nanoseconds during the eastward trip and gained 273±7 nanoseconds during the westward trip (where the error bars represent standard deviation).^[40] In 2005, the National Physical Laboratory in the United Kingdom reported their limited replication of this experiment.^[41] The NPL experiment differed from the original in that the caesium clocks were sent on a shorter trip (London–Washington, D.C. return), but the clocks were more accurate. The reported results are within 4% of the predictions of relativity, within the uncertainty of the measurements.
• The Global Positioning System can be considered a continuously operating experiment in both special and general relativity. The in-orbit clocks are corrected for both special and general relativistic time dilation effects as described above, so that (as observed from the Earth's surface) they run at the same rate as clocks on the surface of the Earth.^[42]

The unexpected nature of time dilation makes it a common subject of misconception. One form of misconception claims that time dilation applies only to light-based clocks, such as the light clock used in many textbook derivations of the Lorentz transformation, and not to mechanical, atomic, or biological timekeeping devices. This misunderstanding can lead to incorrect conclusions about experimental results, such as the Hafele–Keating experiment, which involved atomic clocks flown around the Earth.^[43]

To address this, a thought experiment known as Einstein's Cat was proposed by physicist Val G. Rousseau.^[43] The scenario involves a fictional device—the Sync-or-Die clock—that compares the synchronization of a light clock and a mechanical stopwatch. The life of a cat depends on the precise timing between these two clocks when analyzed in different inertial frames. The paradox arises when time dilation is assumed to apply only to the light pulse but not the mechanical clock. Under this incorrect assumption, the cat would be expected to die only by observers moving relative to the cat. The apparent contradiction is resolved when both clocks are recognized as equally subject to relativistic time dilation. This illustrates the fundamental principle that time dilation is a universal feature of special relativity, independent of the clock's internal mechanism.