subgrupo verbal

En matemáticas , en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos , un subgrupo verbal es un subgrupo de un grupo que se genera por todos los elementos que se pueden formar sustituyendo elementos del grupo por variables en un conjunto dado de palabras . Por ejemplo, dada la palabra${\displaystyle x^{2}}$, el subgrupo verbal correspondiente es el grupo generado por todos los cuadrados.

Para un grupo determinado${\displaystyle G}$Los siguientes son ejemplos de subgrupos verbales:

• Todo el grupo${\displaystyle G}$dado por la palabra${\displaystyle x}$.
• El subgrupo trivial , dado por la palabra vacía.
• El subgrupo conmutador , dado por la palabra${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$.
  • Además, cada subgrupo en la serie derivada es un subgrupo verbal.${\displaystyle n}$término -ésimo de la serie derivada${\displaystyle G^{(n)}}$está dado por el conjunto de palabras${\displaystyle \{[w,v]\mid w,v\in F^{(n-1)}\}}$dónde${\displaystyle F}$es un grupo gratuito con al menos tantos generadores como${\displaystyle G}$.
  • Cada subgrupo en la serie central inferior es un subgrupo verbal.${\displaystyle n}$término -ésimo de la serie central inferior${\displaystyle G_{n}}$está dado por el conjunto de palabras${\displaystyle \{[w,x]\mid w\in F_{n-1}\}}$dónde${\displaystyle F}$es un grupo gratuito con al menos tantos generadores como${\displaystyle G}$.

• Los subgrupos verbales son subgrupos completamente característicos . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Es decir, son cerrados bajo endomorfismos del grupo ambiente. Dado que todos los subgrupos completamente característicos son subgrupos normales , los subgrupos verbales son normales.
• En los grupos libres, los subgrupos verbales son exactamente los subgrupos plenamente característicos. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, los subgrupos verbales representan el ejemplo genérico de subgrupos plenamente característicos. ^{[ 2 ]}
• El retículo de subgrupos verbales del grupo libre generado contablemente bajo inclusión es anti-isomomorfo al retículo de variedades de grupo bajo inclusión. ^{[ 1 ]}

• Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004), Teoría combinatoria de grupos , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43830-6, MR 0207802 
• Neumann, BH (1967), Variedades de grupos (PDF) , págs. 603–613 , consultado el 28 de junio de 2026 .