La bruja de Agnesi

En matemáticas , la bruja de Agnesi ( pronunciación italiana: [ aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi ] ) es una curva plana cúbica definida a partir de dos puntos diametralmente opuestos de un círculo.

La curva fue estudiada ya en 1653 por Pierre de Fermat , en 1703 por Guido Grandi y por Isaac Newton . Recibe su nombre de la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi, quien la publicó en 1748. El nombre italiano la versiera di Agnesi se basa en el latín versiera ( espiga de barcos de vela) y el seno versus . John Colson lo leyó como l'avversiera di Agnesi , donde avversiera se traduce como "mujer que está contra Dios" y se interpreta como "bruja". ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

La gráfica de la derivada de la función arcotangente constituye un ejemplo de la bruja de Agnesi. Como función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy , la bruja de Agnesi tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad . También da origen al fenómeno de Runge en la aproximación de funciones mediante polinomios , se ha utilizado para aproximar la distribución de energía de las líneas espectrales y modela la forma de las colinas.

La curva es tangente a su círculo definitorio en uno de sus dos puntos de definición, y asintótica a la recta tangente al círculo en el otro punto. Posee un único vértice (un punto de curvatura extrema) en el punto de tangencia con su círculo definitorio, que coincide con su círculo osculador en dicho punto. Además, tiene dos puntos de inflexión finitos y uno infinito. El área comprendida entre la curva y su recta asintótica es cuatro veces mayor que el área del círculo definitorio, y el volumen de revolución de la curva alrededor de su recta definitoria es el doble del volumen del toroide de revolución de dicho círculo.

Para construir esta curva, partimos de dos puntos cualesquiera O y M , y trazamos un círculo con OM como diámetro. Para cualquier otro punto A en el círculo, sea N el punto de intersección de la recta secante OA y la recta tangente en M. Sea P el punto de intersección de una recta perpendicular a OM que pasa por A , y una recta paralela a OM que pasa por N. Entonces P se encuentra en la curva de Agnesi. La curva está formada por todos los puntos P que se pueden construir de esta manera a partir de la misma elección de O y M. ^{[ 5 ]} Incluye, como caso límite, el propio punto M.

Supongamos que el punto O está en el origen y el punto M se encuentra en el eje positivo.${\displaystyle y}$eje, y que el círculo con diámetro OM tiene radio${\displaystyle a}$. Entonces la bruja construida a partir de O y M tiene la ecuación cartesiana ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}={\frac {(2a)^{3}}{(x)^{2}+(2a)^{2}}}.}$$ Esta ecuación se puede simplificar eligiendo${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$, a la forma $${\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$$ o equivalentemente, eliminando los denominadores , como en la ecuación algebraica cúbica$${\displaystyle (x^{2}+1)y=1.}$$ En su forma simplificada, esta curva es la gráfica de la derivada de la función arcotangente . ^{[ 8 ]}

La bruja de Agnesi también puede describirse mediante ecuaciones paramétricas cuyo parámetro θ es el ángulo entre OM y OA , medido en sentido horario: ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2a\tan \theta ,\\y&=2a\cos ^{2}\theta .\end{aligned}}}$$

Las propiedades principales de esta curva se pueden derivar del cálculo integral . El área entre la curva y su línea asintótica es cuatro veces el área del círculo fijo.${\displaystyle 4\pi a^{2}}$. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 9 ]} El volumen de revolución de la bruja de Agnesi alrededor de su asíntota es${\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}$. ^{[ 6 ]} Este es el doble del volumen del toroide formado al girar el círculo definitorio de la bruja alrededor de la misma línea. ^{[ 9 ]}

La curva tiene un vértice único en el punto de tangencia con su círculo definitorio. Es decir, este punto es el único donde la curvatura alcanza un mínimo o máximo local. ^{[ 10 ]} El círculo definitorio de la bruja es también su círculo osculador en el vértice, ^{[ 11 ]} el único círculo que "besa" la curva en ese punto al compartir la misma orientación y curvatura. ^{[ 12 ]} Debido a que este es un círculo osculador en el vértice de la curva, tiene contacto de tercer orden con la curva. ^{[ 13 ]}

La curva tiene dos puntos de inflexión , en los puntos $${\displaystyle \left(\pm {\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)}$$ correspondientes a los ángulos${\displaystyle \theta =\pm \pi /6}$[ ^{6 ] [ 7 ]} Cuando se considera como una curva en el plano proyectivo, ^también hay un tercer punto de inflexión infinito, en el punto donde la línea en el infinito es cruzada por la línea asintótica. ^{[ 14 ]} Tiene un punto singular aislado , en el punto donde la línea en el infinito es cruzada por su eje de simetría. ^{[ 15 ]} Como la gráfica de una función racional${\displaystyle 1/(x^{2}+1)}$, es una curva paramétrica racional , pero no una a la que se le pueda dar una parametrización polinómica. ^{[ 16 ]}

El área más grande de un rectángulo que se puede inscribir entre la bruja y su asíntota es${\displaystyle 4a^{2}}$, para un rectángulo cuya altura es el radio del círculo que lo define y cuyo ancho es el doble del diámetro del círculo. ^{[ 9 ]}

Una versión escalada de la curva es la función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy . Esta es la distribución de probabilidad sobre la variable aleatoria.${\displaystyle x}$determinado por el siguiente experimento aleatorio : para un punto fijo${\displaystyle p}$por encima del${\displaystyle x}$eje, elija uniformemente al azar una línea que pase por${\displaystyle p}$y dejar${\displaystyle x}$sea ​​la coordenada del punto donde esta línea aleatoria cruza el eje. La distribución de Cauchy tiene una distribución con un pico que visualmente se asemeja a la distribución normal , pero sus colas pesadas impiden que tenga un valor esperado según las definiciones habituales, a pesar de su simetría. En términos de la bruja misma, esto significa que la${\displaystyle x}$La coordenada del centroide de la región entre la curva y su línea asintótica no está bien definida, a pesar de la simetría y el área finita de esta región. ^{[ 20 ] [ 30 ]}

En análisis numérico , al aproximar funciones mediante interpolación polinómica con puntos de interpolación igualmente espaciados, puede ocurrir que, para algunas funciones, el uso de más puntos genere peores aproximaciones, de modo que la interpolación diverja de la función que intenta aproximar en lugar de converger a ella. Este comportamiento paradójico se denomina fenómeno de Runge . Fue descubierto por primera vez por Carl David Tolmé Runge para la función de Runge.${\displaystyle y=1/(1+25x^{2})}$, otra versión escalada de la bruja de Agnesi, al interpolar esta función sobre el intervalo${\displaystyle [-1,1]}$El mismo fenómeno ocurre con la bruja .${\displaystyle y=1/(1+x^{2})}$sí mismo en el intervalo más amplio${\displaystyle [-5,5]}$. ^{[ 31 ]}

La bruja de Agnesi se aproxima a la distribución de energía espectral de las líneas espectrales , particularmente las líneas de rayos X. ^{[ 32 ]}

La sección transversal de una colina lisa tiene una forma similar a la de una bruja. ^{[ 33 ]} Las curvas con esta forma se han utilizado como obstáculo topográfico genérico en un flujo en modelos matemáticos. ^{[ 34 ] [ 35 ]} Las olas solitarias en aguas profundas también pueden adoptar esta forma. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó una versión de esta curva para derivar la fórmula de Leibniz para π . Esta fórmula, la serie infinita$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots ,}$$ se puede obtener igualando el área bajo la curva con la integral de la función${\displaystyle 1/(1+x^{2})}$, utilizando el desarrollo en serie de Taylor de esta función como la serie geométrica infinita${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots }$y la integración término por término. ^{[ 7 ]}

La bruja de Agnesi es el título de una novela de Robert Spiller. Incluye una escena en la que un profesor da una versión de la historia del trimestre. ^{[ 38 ]}

Witch of Agnesi es también el título de un álbum musical del cuarteto de jazz Radius. La portada del álbum muestra una imagen de la construcción de la bruja. ^{[ 39 ]}

• "La bruja de Agnesi" en el índice de curvas famosas de MacTutor
• Weisstein, Eric W. , "La bruja de Agnesi" , MathWorld
• La bruja de Agnesi, de Chris Boucher, basada en la obra de Eric W. Weisstein , The Wolfram Demonstrations Project .
• Lamb, Evelyn (28 de mayo de 2018), "Algunos de mis espacios favoritos: La bruja de Agnesi" , Roots of Unity , Scientific American