Sólido de revolución

En geometría , un sólido de revolución es una figura sólida que se obtiene al rotar una figura plana alrededor de una línea recta (el eje de revolución ), la cual puede no intersecar la generatriz (excepto en su frontera). La superficie creada por esta revolución y que delimita el sólido es la superficie de revolución .

Suponiendo que la curva no cruza el eje, el volumen del sólido es igual a la longitud del círculo descrito por el centroide de la figura multiplicada por el área de la figura ( segundo teorema del centroide de Pappus ).

Un disco representativo es un elemento de volumen tridimensional de un sólido de revolución. El elemento se crea al girar un segmento de línea (de longitud w ) alrededor de un eje (situado a r unidades de distancia), de modo que se encierre un volumen cilíndrico de π r² ^w unidades.

Dos métodos comunes para hallar el volumen de un sólido de revolución son el método del disco y el método de la capa cilíndrica . Para aplicar estos métodos, lo más sencillo es dibujar la gráfica en cuestión; identificar el área que se va a girar alrededor del eje de revolución; determinar el volumen de una sección del sólido en forma de disco, con espesor δx , o de una capa cilíndrica de ancho δx ; y luego hallar la suma límite de estos volúmenes cuando δx tiende a 0, valor que se puede obtener evaluando una integral adecuada. Una justificación más rigurosa se puede dar intentando evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas con dos órdenes de integración diferentes.

Método de disco

El método del disco se utiliza cuando la sección que se ha dibujado es perpendicular al eje de revolución; es decir, cuando se integra paralelamente al eje de revolución.

El volumen del sólido formado al rotar el área comprendida entre las curvas de f ( y ) y g ( y ) y las líneas y = a e y = b alrededor del eje y viene dado por $${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(y)^{2}-g(y)^{2}\right|\,dy\,.}$$ Si g ( y ) = 0 (por ejemplo, al girar un área entre la curva y el eje y ), esto se reduce a: $${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(y)^{2}\,dy\,.}$$

El método se puede visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado en y entre f ( y ) en la parte superior y g ( y ) en la parte inferior, y haciéndolo girar alrededor del eje y ; forma un anillo (o disco en el caso de que g ( y ) = 0 ), con radio exterior f ( y ) y radio interior g ( y ) . El área de un anillo es π( R ² − r ² ) , donde R es el radio exterior (en este caso f ( y ) ), y r es el radio interior (en este caso g ( y ) ). El volumen de cada disco infinitesimal es, por lo tanto, π f ( y ) ² dy . El límite de la suma de Riemann de los volúmenes de los discos entre a y b se convierte en la integral (1).

Suponiendo la aplicabilidad del teorema de Fubini y la fórmula de cambio de variables multivariante, el método del disco se puede derivar de manera directa mediante (denotando el sólido como D): $${\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{g(z)}^{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}(f(z)^{2}-g(z)^{2})\,dz}$$

Método de integración de Shell

El método de las capas cilíndricas (a veces denominado "método del cilindro") se utiliza cuando la sección transversal dibujada es paralela al eje de revolución; es decir, cuando se integra perpendicularmente al eje de revolución.

El volumen del sólido formado al rotar el área comprendida entre las curvas f ( x ) y g ( x ) y las rectas x = a y x = b alrededor del eje y viene dado por $${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}$$ Si g ( x ) = 0 (por ejemplo, al girar un área entre la curva y el eje x ), esto se reduce a: $${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}$$

El método se puede visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura f ( x ) − g ( x ) , y haciéndolo girar alrededor del eje y ; esto forma una capa cilíndrica. El área de la superficie lateral de un cilindro es 2π rh , donde r es el radio (en este caso x ) y h es la altura (en este caso f ( x ) − g ( x ) ). La suma de todas las áreas de superficie a lo largo del intervalo da como resultado el volumen total.

Este método puede derivarse con la misma integral triple, esta vez con un orden de integración diferente: $${\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr.}$$

Demostración sólida de la revolución

Las formas en reposo

Las formas en movimiento, mostrando los sólidos de revolución formados por cada

Cuando una curva se define por su forma paramétrica ( x ( t ), y ( t )) en algún intervalo [ a , b ] , los volúmenes de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o del eje y vienen dados por ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,\\V_{y}&=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.\end{aligned}}}$$

En las mismas circunstancias, las áreas de las superficies de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o del eje y vienen dadas por ^{[ 2 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,\\A_{y}&=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.\end{aligned}}}$$

Esto también se puede derivar de la integración multivariable. Si una curva plana está dada por${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$entonces su superficie de revolución correspondiente cuando gira alrededor del eje x tiene coordenadas cartesianas dadas por${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$con${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$Entonces, el área de la superficie viene dada por la integral de superficie.$${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}$$

El cálculo de las derivadas parciales produce $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\right\rangle }$$ y el cálculo del producto cruzado produce $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }$$ donde la identidad trigonométrica${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$se utilizó. Con este producto cruzado, obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}$$ donde se utilizó nuevamente la misma identidad trigonométrica. La derivación para una superficie obtenida al girar alrededor del eje y es similar.

Para una curva polar${\displaystyle r=f(\theta )}$dónde${\displaystyle \alpha \leq \theta \leq \beta }$y${\displaystyle f(\theta )\geq 0}$Los volúmenes de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o del eje y son: $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}-\pi r^{3}\sin ^{3}{\theta }\right)d\theta \,,\\V_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin {\theta }\cos ^{2}{\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}+\pi r^{3}\cos ^{3}{\theta }\right)d\theta \,.\end{aligned}}}$$

Se dan las áreas de las superficies de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o del eje y.$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\sin {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\\A_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\cos {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\end{aligned}}}$$

• Simetría cilíndrica
• El cuerno de Gabriel
• Teorema de Guldinus
• Pseudosfera
• Superficie de revolución
• Ungula

• "Volumes of Solids of Revolution" . CliffsNotes.com . 12 de abril de 2011. Archivado del original el 19 de marzo de 2012.
• Ayres, Frank ; Mendelson, Elliott (2008). Cálculo . Schaum's Outlines . McGraw-Hill Professional. pp. 244–248 . ISBN  978-0-07-150861-2.( Copia en línea , pág. 244, en Google Libros )
• Weisstein, Eric W. "Sólido de la Revolución" . MathWorld .