Vibración de una membrana circular

Una membrana elástica bidimensional bajo tensión puede soportar vibraciones transversales . Las propiedades de un parche de tambor idealizado pueden modelarse mediante las vibraciones de una membrana circular de espesor uniforme, unida a un marco rígido. Según la condición de contorno aplicada, a ciertas frecuencias de vibración , sus frecuencias naturales , la superficie se mueve en un patrón característico de ondas estacionarias . Esto se denomina modo normal . Una membrana tiene un número infinito de estos modos normales, comenzando con la frecuencia más baja, llamada frecuencia fundamental .

Existen infinitas maneras en que una membrana puede vibrar, cada una dependiendo de la forma de la membrana en un instante inicial y de la velocidad transversal de cada punto de la membrana en ese instante. Las vibraciones de la membrana vienen dadas por las soluciones de la ecuación de onda bidimensional con condiciones de contorno de Dirichlet que representan la restricción del sistema de referencia. Se puede demostrar que cualquier vibración arbitrariamente compleja de la membrana puede descomponerse en una serie posiblemente infinita de sus modos normales. Esto es análogo a la descomposición de una señal temporal en una serie de Fourier .

El estudio de las vibraciones en los tambores llevó a los matemáticos a plantear un famoso problema matemático sobre si se puede oír la forma de un tambor , cuya respuesta (no se puede) se dio en 1992 en un contexto bidimensional.

El análisis del problema de la vibración del parche del tambor explica el funcionamiento de instrumentos de percusión como tambores y timbales . Sin embargo, también tiene una aplicación biológica en el funcionamiento del tímpano . Desde un punto de vista didáctico, los modos de un objeto bidimensional son una forma práctica de demostrar visualmente el significado de modos, nodos, antinodos e incluso números cuánticos . Estos conceptos son importantes para comprender la estructura del átomo.

Consideremos un disco abierto${\displaystyle \Omega }$de radio${\displaystyle a}$centrado en el origen, que representará la forma "inmóvil" del parche del tambor. En cualquier momento${\displaystyle t,}$la altura de la forma del parche del tambor en un punto${\displaystyle (x,y)}$en${\displaystyle \Omega }$medido a partir de la forma "inmóvil" del parche del tambor se denotará por${\displaystyle u(x,y,t),}$que puede tomar valores tanto positivos como negativos.${\displaystyle \partial \Omega }$denotan el límite de${\displaystyle \Omega ,}$es decir, el círculo de radio${\displaystyle a}$centrado en el origen, que representa el marco rígido al que está unido el parche del tambor.

La ecuación matemática que rige la vibración del parche del tambor es la ecuación de onda con condiciones de contorno fijas,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ for }}(x,y)\in \Omega \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega .\,}$

Debido a la geometría circular de${\displaystyle \Omega }$Será conveniente utilizar coordenadas polares .${\displaystyle (r,\theta ).}$Entonces, las ecuaciones anteriores se escriben como

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ for }}r=a.\,}$

Aquí,${\displaystyle c}$es una constante positiva que indica la velocidad a la que se propagan las ondas de vibración transversales en la membrana. En términos de los parámetros físicos, la velocidad de la onda, c, viene dada por

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {N_{rr}^{*}}{\rho h}}}}$

dónde${\displaystyle N_{rr}^{*}}$, es la membrana radial resultante en el límite de la membrana (${\displaystyle r=a}$),${\displaystyle h}$, es el espesor de la membrana, y${\displaystyle \rho }$es la densidad de la membrana. Si la membrana tiene tensión uniforme, la fuerza de tensión uniforme en un radio dado,${\displaystyle r}$puede estar escrito

${\displaystyle F=rN_{rr}^{r}=rN_{\theta \theta }^{r}}$

dónde${\displaystyle N_{\theta \theta }^{r}=N_{rr}^{r}}$es la membrana resultante en la dirección azimutal.

Primero estudiaremos los posibles modos de vibración de un parche de tambor circular que son axisimétricos (rotacionalmente simétricos alrededor de un eje central). Luego, la función${\displaystyle u}$no depende del ángulo${\displaystyle \theta ,}$y la ecuación de onda se simplifica a

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).}$

Buscaremos soluciones en variables separadas,${\displaystyle u(r,t)=R(r)T(t).}$Sustituyendo esto en la ecuación anterior y dividiendo ambos lados por${\displaystyle c^{2}R(r)T(t)}$ rendimientos

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).}$

El lado izquierdo de esta igualdad no depende de${\displaystyle r,}$y el lado derecho no depende de${\displaystyle t,}$ De ello se deduce que ambos lados deben ser iguales a alguna constante.${\displaystyle K.}$Obtenemos ecuaciones separadas para${\displaystyle T(t)}$y${\displaystyle R(r)}$:

${\displaystyle T''(t)=Kc^{2}T(t)\,}$

${\displaystyle rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,}$

La ecuación para${\displaystyle T(t)}$tiene soluciones que crecen o decaen exponencialmente para${\displaystyle K>0,}$son lineales o constantes para${\displaystyle K=0}$ y son periódicos para${\displaystyle K<0}$Físicamente se espera que una solución al problema de un parche de tambor vibrante sea oscilatoria en el tiempo, y esto deja solo el tercer caso,${\displaystyle K<0,}$por eso elegimos${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$para mayor comodidad. Luego,${\displaystyle T(t)}$es una combinación lineal de funciones seno y coseno,

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Pasando a la ecuación para${\displaystyle R(r),}$con la observación de que${\displaystyle K=-\lambda ^{2},}$Todas las soluciones de esta ecuación diferencial de segundo orden son una combinación lineal de funciones de Bessel de orden 0, ya que tiene la forma de la ecuación de Bessel modificada :

${\displaystyle R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,}$

La función de Bessel${\displaystyle Y_{0}}$es ilimitado para${\displaystyle r\to 0,}$lo que resulta en una solución no física al problema del parche vibrante del tambor, por lo que la constante${\displaystyle c_{2}}$debe ser nulo. También asumiremos${\displaystyle c_{1}=1,}$ya que de lo contrario esta constante puede ser absorbida posteriormente en las constantes${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$viniendo de${\displaystyle T(t).}$Resulta que

${\displaystyle R(r)=J_{0}(\lambda r).}$

El requisito de que la altura${\displaystyle u}$Si es cero en el límite del parche del tambor, se produce la condición

${\displaystyle R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.}$

La función de Bessel${\displaystyle J_{0}}$tiene un número infinito de raíces positivas,

${\displaystyle 0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots }$

Lo entendemos${\displaystyle \lambda a=\alpha _{0n},}$para${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$entonces

${\displaystyle R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).}$

Por lo tanto, las soluciones axisimétricas${\displaystyle u}$del problema del parche de tambor vibrante que se puede representar en variables separadas son

${\displaystyle u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){\text{ for }}n=1,2,\dots ,\,}$

dónde${\displaystyle \lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.}$

El caso general, cuando${\displaystyle u}$También puede depender del ángulo${\displaystyle \theta ,}$se trata de manera similar. Suponemos una solución en variables separadas,

${\displaystyle u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,}$

Sustituyendo esto en la ecuación de onda y separando las variables, se obtiene

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K}$

dónde${\displaystyle K}$es una constante. Como antes, de la ecuación para${\displaystyle T(t)}$resulta que${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$con${\displaystyle \lambda >0}$y

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

De la ecuación

${\displaystyle {\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}}$

obtenemos, multiplicando ambos lados por${\displaystyle r^{2}}$y separando variables, que

${\displaystyle \lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L}$

y

${\displaystyle -{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,}$

por alguna constante${\displaystyle L.}$Desde${\displaystyle \Theta (\theta )}$es periódico, con período${\displaystyle 2\pi ,}$${\displaystyle \theta }$Siendo una variable angular, se deduce que

${\displaystyle \Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,}$

dónde${\displaystyle m=0,1,\dots }$y${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$son algunas constantes. Esto también implica${\displaystyle L=m^{2}.}$

Volviendo a la ecuación para${\displaystyle R(r),}$Su solución es una combinación lineal de funciones de Bessel.${\displaystyle J_{m}}$y${\displaystyle Y_{m}.}$Con un argumento similar al de la sección anterior, llegamos a

${\displaystyle R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,}$${\displaystyle m=0,1,\dots ,}$${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

dónde${\displaystyle \lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,}$con${\displaystyle \alpha _{mn}}$el${\displaystyle n}$-raíz positiva de${\displaystyle J_{m}.}$

Demostramos que todas las soluciones en variables separadas del problema del parche de tambor vibrante son de la forma

${\displaystyle u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )}$

para${\displaystyle m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots }$

A continuación se muestran varios modos junto con sus números cuánticos. También se indican las funciones de onda análogas del átomo de hidrógeno, así como las frecuencias angulares asociadas.${\displaystyle \omega _{mn}=\lambda _{mn}c={\dfrac {\alpha _{mn}}{a}}c=\alpha _{mn}c/a}$. Los valores de${\displaystyle \alpha _{mn}}$son las raíces de la función de Bessel${\displaystyle J_{m}}$Esto se deduce de la condición de contorno.${\displaystyle \forall \theta \in [0,2\pi ],\forall t,\ u_{mn}(r=a,\theta ,t)=0}$lo cual produce${\displaystyle J_{m}(\lambda _{mn}a)=J_{m}(\alpha _{mn})=0}$.

• 
  Modo${\displaystyle u_{01}}$(1s) con${\displaystyle \alpha _{01}=2.40483}$
• 
  Modo${\displaystyle u_{02}}$(2s) con${\displaystyle \alpha _{02}=5.52008}$
• 
  Modo${\displaystyle u_{03}}$(3s) con${\displaystyle \alpha _{03}=8.65373}$

• 
  Modo${\displaystyle u_{11}}$(2p) con${\displaystyle \alpha _{11}=3.83171}$
• 
  Modo${\displaystyle u_{12}}$(3p) con${\displaystyle \alpha _{12}=7.01559}$
• 
  Modo${\displaystyle u_{13}}$(4p) con${\displaystyle \alpha _{13}=10.1735}$

• 
  Modo${\displaystyle u_{21}}$(3d) con${\displaystyle \alpha _{21}=5.13562}$
• 
  Modo${\displaystyle u_{22}}$(4d) con${\displaystyle \alpha _{22}=8.41724}$
• 
  Modo${\displaystyle u_{23}}$(5d) con${\displaystyle \alpha _{23}=11.6198}$

Más valores de${\displaystyle \alpha _{mn}}$se puede calcular fácilmente utilizando el siguiente código Python con la biblioteca SciPy : ^{[ 1 ]}

desde scipy importar especial como scm = 0 # orden de la función de Bessel (es decir, modo angular para la membrana circular)nz = 3 # número deseado de raícesalpha_mn = sc.jn_zeros ( m , nz ) # genera nz ceros de Jm

• Cuerda vibrante , el caso unidimensional
• Patrones de Chladni , una descripción temprana de un fenómeno relacionado, en particular con instrumentos musicales; véase también cimática.
• Escuchar la forma de un tambor , caracterizando los modos con respecto a la forma de la membrana.
• Orbital atómico , un problema relacionado de mecánica cuántica y tridimensional.

• H. Asmar, Nakhle (2005). Ecuaciones diferenciales parciales con series de Fourier y problemas de contorno . Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. pág.  198. ISBN 0-13-148096-0.