Salto de Vieta

En teoría de números , el método de Vieta , también conocido como inversión de raíces , es una técnica de demostración . Se utiliza con mayor frecuencia para problemas en los que se proporciona una relación entre dos enteros, junto con una afirmación que se debe demostrar sobre sus soluciones. En particular, se puede utilizar para generar nuevas soluciones de una ecuación diofántica cuadrática a partir de soluciones conocidas. Existen múltiples variaciones del método de Vieta, todas las cuales comparten el tema común del descenso infinito mediante la búsqueda de nuevas soluciones a una ecuación utilizando las fórmulas de Vieta .

El método de salto de Vieta es un método clásico en la teoría de ecuaciones diofánticas cuadráticas y formas cuadráticas binarias . Por ejemplo, se utilizó en el análisis de la ecuación de Markov en 1879 y en el artículo de Mills de 1953. ^{[ 1 ]}

En 1988, el método llamó la atención sobre los problemas de las olimpiadas matemáticas a la luz del primer problema de la olimpiada que lo utilizó en una solución que se propuso para la Olimpiada Internacional de Matemáticas y que se asumió que era el problema más difícil del concurso: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Sean a y b enteros positivos tales que ab + 1 divide a² ⁺ b² ^. Demuestre que${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}}$es el cuadrado de un número entero. ^{[ 4 ]}

Arthur Engel escribió lo siguiente sobre la dificultad del problema:

Ninguno de los seis miembros del comité australiano de problemas pudo resolverlo. Dos de los miembros eran el matrimonio formado por George y Esther Szekeres , ambos famosos por resolver y crear problemas. Dado que se trataba de un problema de teoría de números, se envió a los cuatro teóricos de números australianos más renombrados. Se les pidió que trabajaran en él durante seis horas. Ninguno de ellos pudo resolverlo en ese tiempo. El comité de problemas lo presentó al jurado de la XXIX IMO marcado con un doble asterisco, lo que significaba un problema extremadamente difícil, posiblemente demasiado difícil para plantearlo. Tras una larga discusión, el jurado finalmente tuvo el valor de elegirlo como el último problema de la competición. Once estudiantes dieron soluciones perfectas.

Entre los once estudiantes que obtuvieron la puntuación máxima por resolver este problema se encontraban Ngô Bảo Châu , Ravi Vakil , Zvezdelina Stankova y Nicușor Dan . ^{[ 5 ]} Emanouil Atanassov (de Bulgaria) resolvió el problema en un párrafo y recibió un premio especial. ^{[ 6 ]}

El concepto de salto Vieta estándar es una prueba por contradicción y consta de los siguientes cuatro pasos: ^{[ 7 ]}

1. Supongamos, en contradicción, que existe alguna solución ( a ₁ , a ₂ , ... ) que viola los requisitos dados.
2. Tomar la solución mínima de este tipo según alguna definición de minimalidad.
3. Sustituye algún a _i por una variable x en las fórmulas y obtén una ecuación para la cual a _i sea una solución.
4. Utilizando las fórmulas de Vieta, demuestre que esto implica la existencia de una solución más pequeña, y por lo tanto, una contradicción.

Ejemplo

Problema n.º 6 de la OMI 1988 : ^Sean a y b enteros positivos tales que ab ⁺ 1 divide a² + b² . Demuestra que a² + b² ^/ ab + 1 ^es un cuadrado perfecto . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

1. Fijemos algún valor k que sea un entero positivo no cuadrado. Supongamos que existen enteros positivos ⁽ a , b ) para los cuales k = ⁠ a² + b² / ab ⁺ 1 ⁠ .
2. Sean ( A , B ) enteros positivos para los cuales k = ⁠ A ² + B ² / AB + 1 ⁠ y tales que A + B se minimice, y sin pérdida de generalidad supongamos que A ≥ B .
3. Fijando B , sustituimos A por la variable x para obtener x ² – ( kB ) x + ( B ² – k ) = 0 . Sabemos que una raíz de esta ecuación es x ₁ = A . Por las propiedades estándar de las ecuaciones cuadráticas, sabemos que la otra raíz satisface x ₂ = kB – A y x ₂ = ⁠ B ² – k / A ⁠ .
4. La primera expresión para x ₂ muestra que x ₂ es un entero, mientras que la segunda expresión implica que x ₂ ≠ 0 ya que k no es un cuadrado perfecto. De ⁠ x ₂ ² + B ² / x ₂ B + 1 ⁠ = k > 0 se sigue además que x ₂ B > −1 , y por lo tanto x ₂ es un entero positivo. Finalmente, A ≥ B implica que x ₂ = ⁠ B ² − k / A ⁠ < ⁠ B ² / A ⁠ ≤ A , por lo tanto x ₂ < A , y por lo tanto x ₂ + B < A + B , lo que contradice la minimalidad de A + B .

El método de salto de Vieta de descenso constante se utiliza cuando deseamos demostrar una afirmación sobre una constante k que tiene algo que ver con la relación entre a y b . A diferencia del salto de Vieta estándar, el descenso constante no es una demostración por contradicción y consta de los siguientes cuatro pasos: ^{[ 10 ]}

1. Se demuestra la igualdad, por lo que se puede asumir que a > b .
2. b y k son fijos y la expresión que relaciona a , b y k se reordena para formar una ecuación cuadrática con coeficientes en términos de b y k , una de cuyas raíces es a . La otra raíz, x² _, se determina utilizando las fórmulas de Vieta.
3. Para todos los valores _{de (} a , b ) superiores a un caso base determinado, demuestre que 0 < x² < b < a y que x² es un número entero. Por lo tanto, manteniendo el mismo k , podemos reemplazar ( a , b ) por ( b , x² ₎ y repetir este proceso hasta llegar al caso base.
4. Demuestra la afirmación para el caso base, y como k ha permanecido constante durante este proceso, esto es suficiente para demostrar la afirmación para todos los pares ordenados.

Ejemplo

Sean a y b enteros positivos tales que ab divide a ^a² + b² + ^1. Demuestra ^que 3ab = a² + ^{b² +} 1. ^{[ 11} ]

1. Si a = b , a² dividiendo 2a² ⁺ 1 implica que a² divide a 1, y por lo tanto los enteros positivos a = b = 1 , y 3(1)(1) = 1² ⁺ 1² ⁺ 1. Así ^{que ,} sin pérdida de generalidad, supongamos que a > b .
2. Para cualquier ( a , b ) que satisfaga la condición dada, sea k = a² + ^b² + 1 ^/ ab y reordene y sustituya para obtener x² ⁻ ( kb ) x + ( b² + 1) = 0. Una raíz de esta ecuación cuadrática es a , por lo que ^, según las fórmulas de Vieta , la otra raíz se puede escribir como sigue : x² ₌ kb − a = b² ⁺ 1 / a .
3. La primera ecuación muestra que x ₂ es un entero y la segunda que es positivo. Como a > b y ambos son enteros, a ≥ b + 1 , y por lo tanto ab ≥ b ² + b ; mientras b > 1 , siempre tenemos ab > b ² + 1 , y por lo tanto x ₂ = ⁠ b ² + 1 / a ⁠ < b . Así, manteniendo el mismo k , podemos reemplazar ( a , b ) con ( b , x ₂ ) y repetir este proceso hasta llegar al caso base.
4. El caso base al que llegamos es el caso donde b = 1. Para que ( a , 1) satisfaga la condición dada, a debe dividir a² + 2 , lo que implica que a divide a 2, haciendo que a sea 1 o 2. El primer caso se elimina porque a = b . En el segundo caso, k = ( a² ⁺ b² + 1) ^{/ ab} = 6 / 2 = 3. Como k ha permanecido constante a lo largo de este proceso de salto de Vieta, esto es suficiente para demostrar que para cualquier ( a , b ) que satisfaga la condición dada, k siempre será igual a 3 .

El salto de Vieta se puede describir en términos de puntos de la red en hipérbolas en el primer cuadrante. ^{[ 2 ]} El mismo proceso de encontrar raíces más pequeñas se utiliza para encontrar puntos de la red más bajos en una hipérbola, permaneciendo en el primer cuadrante. El procedimiento es el siguiente:

1. A partir de la condición dada obtenemos la ecuación de una familia de hipérbolas que no cambian al intercambiar x e y de manera que sean simétricas con respecto a la línea y = x .
2. Demuestra la afirmación deseada para las intersecciones de las hipérbolas y la recta y = x .
3. Supongamos que existe un punto de la red ( x , y ) en una hipérbola y, sin pérdida de generalidad , x < y . Entonces, mediante las fórmulas de Vieta, existe un punto de la red correspondiente con la misma coordenada x en la otra rama de la hipérbola, y por reflexión a través de y = x se obtiene un nuevo punto en la rama original de la hipérbola.
4. Se demuestra que este proceso produce puntos más bajos en la misma rama y puede repetirse hasta que se cumpla alguna condición (como x = 0 ). Luego, al sustituir esta condición en la ecuación de la hipérbola, se demuestra la conclusión deseada.

Ejemplo

Este método se puede aplicar al problema n.° 6 de la OMI 1988 : Sean a y b enteros positivos tales que ab + 1 divide a ² + b ² . Demuestra que ⁠ a ² + b ² / ab + 1 ⁠ es un cuadrado perfecto.

1. Sea ⁠ a ² + b ² / ab + 1 ⁠ = q y fijemos el valor de q . Si q = 1 , q es un cuadrado perfecto como se desea. Si q = 2 , entonces ( a - b ) ² = 2 y no hay solución entera a , b . Cuando q > 2 , la ecuación x ² + y ² − qxy − q = 0 define una hipérbola H y ( a , b ) representa un punto reticular entero en H .
2. Si ( x , x ) es un punto reticular entero en H con x > 0 , entonces (como q es entero) se puede ver que x = 1 . Por lo tanto, la afirmación de esta proposición es verdadera para el punto ( x , x ) .
3. Ahora sea P = ( x , y ) un punto de la red en una rama H con x , y > 0 y x ≠ y (ya que la observación anterior cubre el caso x = y ). Por simetría, podemos suponer que x < y que P está en la rama superior de H . Aplicando las fórmulas de Vieta, ( x , qx − y ) es un punto de la red en la rama inferior de H . Sea y ′ = qx − y . De la ecuación para H , se ve que 1 + x y ′ > 0 . Como x > 0 , se deduce que y ′ ≥ 0 . Por lo tanto, el punto ( x , y ′ ) está en el primer cuadrante. Por reflexión, el punto ( y ′ , x ) también es un punto en el primer cuadrante en H . Además, según las fórmulas de Vieta, yy ′ = x ² - q , y y ′ = ⁠ x ² - q / y ⁠ . Combinando esta ecuación con x < y , se puede demostrar que y ′ < x . El nuevo punto construido Q = ( y ′ , x ) se encuentra entonces en el primer cuadrante, en la rama superior de H , y con coordenadas x , y menores que el punto P con el que comenzamos.
4. El proceso del paso anterior puede repetirse siempre que el punto Q tenga una coordenada x positiva . Sin embargo, dado que las coordenadas x de estos puntos formarán una secuencia decreciente de enteros no negativos, el proceso solo puede repetirse un número finito de veces antes de producir un punto Q = (0, y ) en la rama superior de H ; por sustitución, q = y² es un cuadrado, como se requería ^.

• Fórmulas de Vieta
• Demostración por contradicción
• Descenso infinito
• Número de Markov
• junta apolínea

• Vieta Root Jumping en Brilliant.org
• Mills, WH (1953). "Un sistema de ecuaciones diofánticas cuadráticas" . Pacific J. Math . 3 (1): 209–220 .