Valoración virtual

En la teoría de las subastas , en particular en el diseño de mecanismos óptimos bayesianos , la valoración virtual de un agente es una función que mide el excedente que se puede extraer de dicho agente.

Una aplicación típica es la de un vendedor que quiere vender un artículo a un comprador potencial y quiere decidir el precio óptimo. El precio óptimo depende de la valoración que el comprador le da al artículo,${\displaystyle v}$El vendedor no lo sabe ${\displaystyle v}$exactamente, pero él supone que${\displaystyle v}$es una variable aleatoria, con alguna función de distribución acumulativa${\displaystyle F(v)}$y función de distribución de probabilidad${\displaystyle f(v):=F'(v)}$.

La valoración virtual del agente se define como:

${\displaystyle r(v):=v-{\frac {1-F(v)}{f(v)}}}$

Un teorema clave de Myerson ^{[ 1 ]} dice que:

El beneficio esperado de cualquier mecanismo veraz es igual a su excedente virtual esperado.

En el caso de un solo comprador, esto implica que el precio${\displaystyle p}$debe determinarse según la ecuación:

${\displaystyle r(p)=0}$

Esto garantiza que el comprador adquirirá el artículo solo si su valoración virtual es ligeramente positiva, por lo que el vendedor tendrá una ganancia esperada ligeramente positiva.

Esto equivale exactamente al precio de venta óptimo: el precio que maximiza el valor esperado de la ganancia del vendedor, dada la distribución de las valoraciones:

${\displaystyle p=\operatorname {argmax} _{v}v\cdot (1-F(v))}$

Las valoraciones virtuales pueden utilizarse para construir mecanismos bayesianos óptimos incluso cuando hay varios compradores o diferentes tipos de artículos. ^{[ 2 ]}

1. La valoración del comprador tiene una distribución uniforme continua en${\displaystyle [0,1]}$. Entonces:

• ${\displaystyle F(v)=v{\text{ en }}[0,1]}$
• ${\displaystyle f(v)=1{\text{ en }}[0,1]}$
• ${\displaystyle r(v)=2v-1{\text{ en }}[0,1]}$
• ${\displaystyle r^{-1}(0)=1/2}$, por lo que el precio óptimo por unidad es  1/2.

2. La valoración del comprador tiene una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1.${\displaystyle w(v)}$es monótonamente creciente y cruza el eje x en aproximadamente 0,75, por lo que este es el precio óptimo. El punto de cruce se desplaza hacia la derecha cuando la desviación estándar es mayor. ^{[ 3 ]}

Una función de distribución de probabilidad se denomina regular si su función de valuación virtual es débilmente creciente. La regularidad es importante porque implica que el excedente virtual puede maximizarse mediante un mecanismo veraz .

Una condición suficiente para la regularidad es una tasa de riesgo monótona, lo que significa que la siguiente función es débilmente creciente:

${\displaystyle r(v):={\frac {f(v)}{1-F(v)}}}$

La tasa de riesgo monótona implica regularidad, pero lo contrario no es cierto.

La demostración es simple: la tasa de riesgo monótona implica${\displaystyle -{\frac {1}{r(v)}}}$está aumentando débilmente en${\displaystyle v}$y por lo tanto la valoración virtual${\displaystyle v-{\frac {1}{r(v)}}}$está aumentando estrictamente en${\displaystyle v}$.

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