Diseño de mecanismos

Un juego de diseño de mecanismos es un juego de información privada en el que uno de los agentes, llamado principal, elige la estructura de pagos. Siguiendo a Harsanyi ( 1967 ) , los agentes reciben "mensajes" secretos de la naturaleza que contienen información relevante para los pagos. Por ejemplo, un mensaje puede contener información sobre sus preferencias o la calidad de un bien en venta. Llamamos a esta información el "tipo" del agente (generalmente se indica ${\displaystyle \theta }$y, en consecuencia, el espacio de tipos${\displaystyle \Theta }$). Los agentes luego informan un tipo al principal (generalmente indicado con un sombrero).${\displaystyle {\sombrero {\theta }}}$) que puede ser una mentira estratégica. Después del informe, el principal y los agentes reciben su pago de acuerdo con la estructura de pago que el principal eligió.

El horario del partido es:

1. El director se compromete a un mecanismo.${\displaystyle y()}$que otorga un resultado${\displaystyle y}$en función del tipo informado
2. Los agentes informan, posiblemente de forma deshonesta, un perfil de tipo${\displaystyle {\sombrero {\theta }}}$
3. El mecanismo se ejecuta (los agentes reciben el resultado)${\displaystyle y({\hat {\theta }})}$)

Para entender quién recibe qué, es común dividir el resultado.${\displaystyle y}$en una asignación de bienes y una transferencia de dinero,${\displaystyle y(\theta )=\{x(\theta ),t(\theta )\},\ x\in X,t\in T}$dónde${\displaystyle x}$representa una asignación de bienes prestados o recibidos en función de su tipo, y${\displaystyle t}$representa una transferencia monetaria en función del tipo.

Como punto de referencia, el diseñador suele definir qué debería ocurrir con información completa. Definir una función de elección social.${\displaystyle f(\theta )}$mapear el perfil de tipo (verdadero) directamente a la asignación de bienes recibidos o prestados,

${\displaystyle f(\theta ):\Theta \rightarrow Y}$

En contraste, un mecanismo asigna el perfil de tipo informado a un resultado (nuevamente, una asignación de bienes)${\displaystyle x}$y una transferencia de dinero${\displaystyle t}$)

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow Y}$

Un mecanismo propuesto constituye un juego bayesiano (un juego de información privada), y si se comporta bien, el juego tiene un equilibrio de Nash bayesiano . En el equilibrio, los agentes eligen sus informes estratégicamente en función del tipo.

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )}$

Resulta difícil resolver los equilibrios bayesianos en un contexto así, ya que implica calcular las estrategias de mejor respuesta de los agentes y la mejor inferencia a partir de una posible mentira estratégica. Gracias a un resultado generalizador llamado principio de revelación, independientemente del mecanismo, un diseñador puede ^{[ 6 ]} limitar la atención a los equilibrios en los que los agentes informan verazmente sobre su tipo. El principio de revelación establece: «A cada equilibrio de Nash bayesiano le corresponde un juego bayesiano con el mismo resultado de equilibrio, pero en el que los jugadores informan verazmente sobre su tipo».

Esto resulta sumamente útil. El principio permite resolver un equilibrio bayesiano asumiendo que todos los jugadores informan verazmente sobre el tipo (sujeto a una restricción de compatibilidad de incentivos ). De un solo golpe, elimina la necesidad de considerar el comportamiento estratégico o la mentira.

Su demostración es bastante directa. Supongamos un juego bayesiano en el que la estrategia y la recompensa del agente son funciones de su tipo y de lo que hacen los demás,${\displaystyle u_{i}\left(s_{i}(\theta _{i}),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$Por definición, la estrategia de equilibrio del agente i${\displaystyle s(\theta _{i})}$¿Es Nash en utilidad esperada?

${\displaystyle s_{i}(\theta _{i})\in \arg \max _{s'_{i}\in S_{i}}\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s'_{i},s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$

Simplemente defina un mecanismo que induzca a los agentes a elegir el mismo equilibrio. El más sencillo de definir consiste en que el mecanismo se comprometa a ejecutar las estrategias de equilibrio de los agentes por ellos.

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow S(\Theta )\rightarrow Y}$

Bajo tal mecanismo, los agentes, por supuesto, consideran óptimo revelar el tipo, ya que el mecanismo juega las estrategias que ellos consideraron óptimas de todos modos. Formalmente, elija${\displaystyle y(\theta )}$de tal manera que

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{i}\in {}&\arg \max _{\theta '_{i}\in \Theta }\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(y(\theta '_{i},\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\\[5pt]&=\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s_{i}(\theta ),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\end{aligned}}}$

El diseñador de un mecanismo generalmente espera que

• diseñar un mecanismo${\displaystyle y()}$que "implementa" una función de elección social
• para encontrar el mecanismo${\displaystyle y()}$que maximiza algún criterio de valor (por ejemplo, el beneficio)

Para implementar una función de elección social${\displaystyle f(\theta )}$Se trata de encontrar alguna función de transferencia.${\displaystyle t(\theta )}$que motiva a los agentes a elegir${\displaystyle f(\theta )}$Formalmente, si el perfil de estrategia de equilibrio bajo el mecanismo se corresponde con la misma asignación de bienes que una función de elección social,

${\displaystyle f(\theta )=x\left({\hat {\theta }}(\theta )\right)}$

Decimos que el mecanismo implementa la función de elección social.

Gracias al principio de revelación, el diseñador suele poder encontrar una función de transferencia.${\displaystyle t(\theta )}$implementar una elección social resolviendo un juego de decir la verdad asociado. Si los agentes consideran óptimo informar con veracidad el tipo,

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )=\theta }$

Decimos que tal mecanismo es verdaderamente implementable . La tarea consiste entonces en resolver un verdadero implementable.${\displaystyle t(\theta )}$y imputar esta función de transferencia al juego original. Una asignación${\displaystyle x(\theta )}$Es verdaderamente implementable si existe una función de transferencia.${\displaystyle t(\theta )}$de tal manera que

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x({\hat {\theta }}),t({\hat {\theta }}),\theta )\ \forall \theta ,{\hat {\theta }}\in \Theta }$

lo que también se denomina restricción de compatibilidad de incentivos (IC).

En las aplicaciones, la condición IC es la clave para describir la forma de${\displaystyle t(\theta )}$de ninguna manera útil. Bajo ciertas condiciones, incluso puede aislar analíticamente la función de transferencia. Además, a veces se agrega una restricción de participación ( racionalidad individual ) si los agentes tienen la opción de no jugar.

Vickrey ( 1961 ) ofrece un resultado célebre según el cual cualquier miembro de una gran clase de subastas garantiza al vendedor los mismos ingresos esperados y que dichos ingresos esperados son los mejores que el vendedor puede obtener. Este es el caso si 

1. Los compradores tienen funciones de valoración idénticas (lo que puede depender del tipo).
2. Los tipos de compradores se distribuyen de forma independiente.
3. Los tipos de compradores se extraen de una distribución continua.
4. La distribución de tipos posee la propiedad de tasa de riesgo monótona
5. El mecanismo vende el bien al comprador con la valoración más alta.

La última condición es crucial para el teorema. Una implicación es que, para que el vendedor obtenga mayores ingresos, debe arriesgarse a entregar el artículo a un agente con una valoración inferior. Por lo general, esto significa que debe arriesgarse a no vender el artículo en absoluto.

El modelo de subasta de Vickrey (1961) fue ampliado posteriormente por Clarke ( 1971 ) y Groves para abordar un problema de elección pública en el que el coste de un proyecto público recae sobre todos los agentes, por ejemplo, la construcción de un puente municipal. El mecanismo resultante de Vickrey-Clarke-Groves puede motivar a los agentes a elegir la asignación socialmente eficiente del bien público, incluso si sus valoraciones son privadas. En otras palabras, puede resolver la « tragedia de los comunes », bajo ciertas condiciones, en particular si existe una utilidad cuasilineal o si no se requiere equilibrio presupuestario. 

Consideremos un escenario en el que${\displaystyle I}$Número de agentes con utilidad cuasilineal con valoraciones privadas${\displaystyle v(x,t,\theta )}$donde la moneda${\displaystyle t}$se valora linealmente. El diseñador de VCG diseña un mecanismo compatible con los incentivos (y por lo tanto, implementable de manera veraz) para obtener el perfil de tipo verdadero, a partir del cual el diseñador implementa la asignación socialmente óptima.

${\displaystyle x_{I}^{*}(\theta )\in {\underset {x\in X}{\operatorname {argmax} }}\sum _{i\in I}v(x,\theta _{i})}$

La astucia del mecanismo VCG radica en cómo motiva la revelación veraz. Elimina los incentivos para informar erróneamente penalizando a cualquier agente con el costo de la distorsión que causa. Entre los informes que el agente puede hacer, el mecanismo VCG permite un informe "nulo" que indique que es indiferente al bien público y que solo le importa la transferencia de dinero. Esto efectivamente elimina al agente del juego. Si un agente decide informar un tipo, el mecanismo VCG le cobra una tarifa si su informe es crucial , es decir, si su informe cambia la asignación óptima x de manera que perjudique a otros agentes. El pago se calcula

${\displaystyle t_{i}({\hat {\theta }})=\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I-i}^{*}(\theta _{I-i}),\theta _{j})-\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I}^{*}({\hat {\theta }}_{i},\theta _{I}),\theta _{j})}$

lo cual resume la distorsión en las utilidades de los otros agentes (y no la suya propia) causada por el informe de un agente.

Gibbard ( 1973 ) y Satterthwaite ( 1975 ) presentan un resultado de imposibilidad similar en esencia al teorema de imposibilidad de Arrow . Para una clase muy general de juegos, solo se pueden implementar funciones de elección social "dictatoriales".  

Una función de elección social${\displaystyle f(\cdot )}$es dictatorial si un agente siempre recibe su asignación de bienes más favorecida,

${\displaystyle {\text{for }}f(\Theta ){\text{, }}\exists i\in I{\text{ such that }}u_{i}(x,\theta _{i})\geq u_{i}(x',\theta _{i})\ \forall x'\in X}$

El teorema establece que, bajo condiciones generales, cualquier función de elección social verdaderamente implementable debe ser dictatorial si,

1. X es finito y contiene al menos tres elementos.
2. Las preferencias son racionales.
3. ${\displaystyle f(\Theta )=X}$

Myerson y Satterthwaite ( 1983 ) demuestran que no existe una forma eficiente para que dos partes intercambien un bien cuando cada una tiene valoraciones secretas y probabilísticamente variables para dicho bien, sin el riesgo de que una de ellas incurra en pérdidas. Este es uno de los resultados negativos más notables en economía, una especie de reflejo negativo de los teoremas fundamentales de la economía del bienestar . 

Phillips y Marden (2018) demostraron que para juegos de reparto de costes con funciones de coste cóncavas, la regla óptima de reparto de costes que primero optimiza las ineficiencias del peor caso en un juego (el precio de la anarquía ) y luego optimiza los resultados del mejor caso (el precio de la estabilidad ) es precisamente la regla de reparto de costes del valor de Shapley. ^{[ 7 ]} Una afirmación simétrica es igualmente válida para juegos de reparto de utilidad con funciones de utilidad convexas.

Mirrlees ( 1971 ) introduce un escenario en el que la función de transferencia t () es fácil de resolver. Debido a su relevancia y manejabilidad, es un escenario común en la literatura. Consideremos un escenario de un solo bien y un solo agente en el que el agente tiene una utilidad cuasilineal con un parámetro de tipo desconocido. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle u(x,t,\theta )=V(x,\theta )-t}$

y en la que el principal tiene una CDF previa sobre el tipo del agente${\displaystyle P(\theta )}$El principal puede producir bienes a un costo marginal convexo c ( x ) y quiere maximizar el beneficio esperado de la transacción.

${\displaystyle \max _{x(\theta ),t(\theta )}\mathbb {E} _{\theta }\left[t(\theta )-c\left(x(\theta )\right)\right]}$

sujeto a las condiciones de IC e IR

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x(\theta '),t(\theta '),\theta )\ \forall \theta ,\theta '}$

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq {\underline {u}}(\theta )\ \forall \theta }$

El principio fundamental aquí es el de un monopolista que intenta establecer un esquema de precios que maximice sus beneficios, sin poder identificar el tipo de cliente. Un ejemplo común es una aerolínea que fija tarifas para viajeros de negocios, de ocio y estudiantes. Debido a la condición de relaciones interempresariales (RI), debe ofrecer a cada tipo de cliente una oferta lo suficientemente atractiva como para incentivar su participación. Debido a la condición de relaciones interempresariales (RI), debe ofrecer a cada tipo de cliente una oferta lo suficientemente atractiva como para que la prefieran a cualquier otra.

Un truco propuesto por Mirrlees (1971) consiste en utilizar el teorema de la envolvente para eliminar la función de transferencia de la esperanza que se va a maximizar.

${\displaystyle {\text{let }}U(\theta )=\max _{\theta '}u\left(x(\theta '),t(\theta '),\theta \right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{d\theta }}={\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\partial V}{\partial \theta }}}$

Integrando,

${\displaystyle U(\theta )={\underline {u}}(\theta _{0})+\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}}$

dónde${\displaystyle \theta _{0}}$es algún tipo de índice. Reemplazando el compatible con incentivos${\displaystyle t(\theta )=V(x(\theta ),\theta )-U(\theta )}$en el maximando,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\\&{}=\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\end{aligned}}}$

después de una integración por partes. Esta función se puede maximizar punto por punto.

Porque${\displaystyle U(\theta )}$es compatible con los incentivos, el diseñador puede eliminar la restricción IC. Si la función de utilidad satisface la condición de Spence-Mirrlees, entonces una monótona${\displaystyle x(\theta )}$La función existe. La restricción IR se puede verificar en el equilibrio y la tabla de tarifas se ajusta según corresponda. Además, observe la presencia de una tasa de riesgo en la expresión. Si la distribución de tipos cumple con la propiedad de razón de riesgo monótona, el FOC es suficiente para resolver t (). De lo contrario, es necesario verificar si la restricción de monotonicidad (véase suficiencia , arriba) se cumple en todos los puntos de las tablas de asignación y tarifas. Si no es así, el diseñador debe utilizar el método de Myerson.

En algunas aplicaciones, el diseñador puede resolver las condiciones de primer orden para los programas de precios y asignación, pero descubrir que no son monótonos. Por ejemplo, en el contexto cuasilineal, esto suele ocurrir cuando la razón de riesgo no es monótona. Según la condición de Spence-Mirrlees, los programas óptimos de precios y asignación deben ser monótonos, por lo que el diseñador debe eliminar cualquier intervalo en el que el programa cambie de dirección, aplanándolo.

Intuitivamente, lo que sucede es que el diseñador considera óptimo agrupar ciertos tipos y ofrecerles el mismo contrato. Normalmente, el diseñador incentiva a los tipos superiores a diferenciarse ofreciéndoles mejores condiciones. Si hay muy pocos tipos superiores en el margen, el diseñador no considera que valga la pena otorgar a los tipos inferiores una concesión (denominada renta de la información ) para cobrar a los tipos superiores un contrato específico.

Consideremos un principal monopolista que vende a agentes con utilidad cuasilineal, como en el ejemplo anterior. Supongamos que el programa de asignación${\displaystyle x(\theta )}$que satisface las condiciones de primer orden tiene un único pico interior en${\displaystyle \theta _{1}}$y un único canal interior en${\displaystyle \theta _{2}>\theta _{1}}$, ilustrado a la derecha.

• Siguiendo a Myerson (1981), aplanarlo eligiendo${\displaystyle x}$satisfactorio$${\displaystyle \int _{\phi _{2}(x)}^{\phi _{1}(x)}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)d\theta =0}$$dónde${\displaystyle \phi _{1}(x)}$es la función inversa de x que se mapea a${\displaystyle \theta \leq \theta _{1}}$y${\displaystyle \phi _{2}(x)}$es la función inversa de x que se mapea a${\displaystyle \theta \geq \theta _{2}}$. Eso es,${\displaystyle \phi _{1}}$devuelve un${\displaystyle \theta }$antes del pico interior y${\displaystyle \phi _{2}}$devuelve un${\displaystyle \theta }$después del canal interior.
• Si la región no monótona de${\displaystyle x(\theta )}$bordea el borde del espacio de texto, simplemente configure el apropiado${\displaystyle \phi (x)}$función (o ambas) al tipo de límite. Si hay varias regiones, consulte un libro de texto para un procedimiento iterativo; puede que sea necesario unir más de un valle.