entropía volumétrica

La entropía volumétrica es un invariante asintótico de una variedad riemanniana compacta que mide la tasa de crecimiento exponencial del volumen de bolas métricas en su recubrimiento universal . Este concepto está estrechamente relacionado con otras nociones de entropía presentes en sistemas dinámicos y desempeña un papel importante en la geometría diferencial y la teoría geométrica de grupos . Si la variedad es de curvatura no positiva, su entropía volumétrica coincide con la entropía topológica del flujo geodésico . En geometría diferencial, resulta de considerable interés encontrar la métrica riemanniana en una variedad lisa dada que minimice la entropía volumétrica, siendo los espacios localmente simétricos una clase básica de ejemplos.

Sea ( M , g ) una variedad riemanniana compacta con recubrimiento universal .${\displaystyle {\tilde {M}}.}$Elige un punto${\displaystyle {\tilde {x}}_{0}\in {\tilde {M}}}$.

La entropía volumétrica (o crecimiento volumétrico asintótico)${\displaystyle h=h(M,g)}$se define como el límite

${\displaystyle h(M,g)=\lim _{R\to +\infty }{\frac {\log \left(\operatorname {vol} B(R)\right)}{R}},}$

donde B ( R ) es la bola de radio R en${\displaystyle {\tilde {M}}}$centrado en${\displaystyle {\tilde {x}}_{0}}$y vol es el volumen riemanniano en el recubrimiento universal con la métrica riemanniana natural.

A. Manning demostró que el límite existe y no depende de la elección del punto base. Este invariante asintótico describe la tasa de crecimiento exponencial del volumen de bolas en la cubierta universal en función del radio.

• La entropía volumétrica h siempre está limitada superiormente por la entropía topológica h _top del flujo geodésico en M. Además, si M tiene curvatura seccional no positiva, entonces h = h _top . Estos resultados se deben a Manning.
• En términos más generales, la entropía de volumen es igual a la entropía topológica bajo una suposición más débil de que M es una variedad riemanniana cerrada sin puntos conjugados (Freire y Mañé).
• Los espacios localmente simétricos minimizan la entropía cuando se prescribe el volumen. Esto es un corolario de un resultado muy general debido a Besson, Courtois y Gallot (que también implica la rigidez de Mostow y sus diversas generalizaciones debidas a Corlette, Siu y Thurston ):

  Sean X e Y variedades suaves n- dimensionales conexas, orientadas y compactas , y f : Y → X una aplicación continua de grado distinto de cero . Si g ₀ es una métrica riemanniana localmente simétrica con curvatura negativa en X y g es cualquier métrica riemanniana en Y, entonces

  ${\displaystyle h^{n}(Y,g)\operatorname {vol} (Y,g)\geq \left|\deg(f)\right|h^{n}(X,g_{0})\operatorname {vol} (X,g_{0}),}$

  y para n ≥ 3, la igualdad se produce si y solo si ( Y , g ) es localmente simétrica del mismo tipo que ( X , g ₀ ) y f es homotópica a un recubrimiento homotético ( Y , g ) → ( X , g ₀ ).

La desigualdad de entropía de Katok se ha explotado recientemente para obtener una cota asintótica ajustada para la razón sistólica de superficies de género grande, véase sístoles de superficies .

• Besson, G., Courtois, G., Gallot, S. Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure estricto négative. (Francés) [Entropía y rigidez de espacios localmente simétricos con curvatura estrictamente negativa] Geom. Función. Anal. 5 (1995), núm. 5, 731–799
• Katok, A.: Entropía y geodésicas cerradas, Erg. Th. Dyn. Sys. 2 (1983), 339–365
• Katok, A.; Hasselblatt, B.: Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos. Con un capítulo complementario de Katok y L. Mendoza. Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
• Katz, M.; Sabourau, S.: Entropía de superficies sistólicamente extremas y límites asintóticos. Erg. Th. Dyn. Sys. 25 (2005), 1209-1220
• Manning, A.: Entropía topológica para flujos geodésicos. Ann. of Math. (2) 110 (1979), n.º 3, 567–573