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Teorema de rigidez de Mostow

En matemáticas , el teorema de rigidez de Mostow , o teorema de rigidez fuerte , o teorema de rigidez de Mostow-Prasad , establece esencialmente que la geometría de una variedad...

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En matemáticas , el teorema de rigidez de Mostow , o teorema de rigidez fuerte , o teorema de rigidez de Mostow-Prasad , establece esencialmente que la geometría de una variedad hiperbólica completa de volumen finito de dimensión mayor que dos está determinada por el grupo fundamental y, por lo tanto, es única. El teorema fue demostrado para variedades cerradas por Mostow ( 1968 ) y extendido a variedades de volumen finito por Marden (1974) en 3 dimensiones, y por Prasad ( 1973 ) en todas las dimensiones al menos 3. Gromov (1981) dio una demostración alternativa usando la norma de Gromov . Besson, Courtois y Gallot (1996) dieron la demostración más simple disponible.  

Si bien el teorema muestra que el espacio de deformación de estructuras hiperbólicas (completas) en un volumen finito hiperbóliconorte{\displaystyle n}-múltiple (paranorte>2{\displaystyle n>2}) es un punto, para una superficie hiperbólica de génerogramo>1{\displaystyle g>1}Hay un espacio de módulos de dimensión6gramo−6{\displaystyle 6g-6}que parametriza todas las métricas de curvatura constante (salvo difeomorfismo ), un hecho esencial para la teoría de Teichmüller . También existe una rica teoría de espacios de deformación de estructuras hiperbólicas en variedades de volumen infinito en tres dimensiones.

El teorema

El teorema se puede expresar en una formulación geométrica (relativa a variedades completas de volumen finito) y en una formulación algebraica (relativa a retículos en grupos de Lie ).

Forma geométrica

DejarHnorte{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}ser elnorte{\displaystyle n}espacio hiperbólico de dimensión . Una variedad hiperbólica completa se puede definir como un cociente deHnorte{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}mediante un grupo de isometrías que actúan libre y propiamente discontinuamente (es equivalente a definirla como una variedad riemanniana con curvatura seccional -1 que es completa ). Es de volumen finito si la integral de una forma de volumen es finita (lo cual ocurre, por ejemplo, si es compacta). El teorema de rigidez de Mostow puede enunciarse como:

SuponerMETRO{\displaystyle M}ynorte{\displaystyle N}son variedades hiperbólicas de volumen finito completas de dimensiónnorte≥3{\displaystyle n\geq 3}. Si existe un isomorfismoF:π1(METRO)→π1(norte){\displaystyle f\colon \pi _{1}(M)\to \pi _{1}(N)}entonces es inducido por una isometría única deMETRO{\displaystyle M}anorte{\displaystyle N}.

Aquíπ1(incógnita){\displaystyle \pi _{1}(X)}es el grupo fundamental de una variedadincógnita{\displaystyle X}. Siincógnita{\displaystyle X}es una variedad hiperbólica obtenida como el cociente deHnorte{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}por un grupoΓ{\displaystyle \Gamma }entoncesπ1(incógnita)≅Γ{\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \Gamma }.

Una afirmación equivalente es que cualquier equivalencia homotópica deMETRO{\displaystyle M}anorte{\displaystyle N}puede ser homotopado a una isometría única. La prueba en realidad muestra que sinorte{\displaystyle N}tiene mayor dimensión queMETRO{\displaystyle M}entonces no puede haber equivalencia homotópica entre ellos.

Forma algebraica

El grupo de isometrías del espacio hiperbólicoHnorte{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}puede identificarse con el grupo de LiePAGO(norte,1){\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}(el grupo ortogonal proyectivo de una forma cuadrática de signatura(norte,1){\displaystyle (n,1)}. Entonces, la siguiente afirmación es equivalente a la anterior.

Dejarnorte≥3{\displaystyle n\geq 3}yΓ{\displaystyle \Gamma }yΛ{\displaystyle \Lambda }sean dos redes enPAGO(norte,1){\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}y supongamos que existe un isomorfismo de gruposF:Γ→Λ{\displaystyle f\colon \Gamma \to \Lambda }. EntoncesΓ{\displaystyle \Gamma }yΛ{\displaystyle \Lambda }son conjugados enPAGO(norte,1){\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}. Es decir, existe ungramo∈PAGO(norte,1){\displaystyle g\in \mathrm {PO} (n,1)}de tal manera queΛ=gramoΓgramo−1{\displaystyle \Lambda =g\Gamma g^{-1}}.

En términos más generales

La rigidez de Mostow se cumple (en su formulación geométrica) de manera más general para grupos fundamentales de todos los espacios localmente simétricos completos, de volumen finito, no positivamente curvos (sin factores euclidianos) de dimensión al menos tres, o en su formulación algebraica para todos los retículos en grupos de Lie simples no localmente isomorfos aSL2(R){\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}.

Aplicaciones

Del teorema de rigidez de Mostow se deduce que el grupo de isometrías de un volumen finito hiperbóliconorte{\displaystyle n}-colectorMETRO{\displaystyle M}(paranorte>2{\displaystyle n>2}) es finito e isomorfo aAfuera⁡(π1(METRO)){\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(M))}.

La rigidez de Mostow también fue utilizada por Thurston para demostrar la unicidad de las representaciones de empaquetamiento de círculos de grafos planares triangulados . [ 1 ]

Una consecuencia de la rigidez de Mostow en la teoría geométrica de grupos es que existen grupos hiperbólicos que son cuasi-isométricos pero no conmensurables entre sí.

Véase también

  • Superrigidez , un resultado más fuerte para espacios de rango superior
  • Rigidez local , un resultado sobre deformaciones que no son necesariamente reticulares.

Notas

  1. ↑ Thurston 1978–1981 , Capítulo 13.

Referencias

  • Besson, Gérard; Courtois, Gilles; Gallot, Sylvestre (1996), "Entropía mínima y teoremas de rigidez de Mostow", Teoría ergódica y sistemas dinámicos , 16 (4): 623– 649, doi : 10.1017/S0143385700009019 , S2CID 122773907 
  • Gromov, Michael (1981), "Variedades hiperbólicas (según Thurston y Jørgensen)" , Seminario Bourbaki, vol. 1979/80 (PDF) , Lecture Notes in Math., vol.  842, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 40–53 , doi : 10.1007/BFb0089927 , ISBN  978-3-540-10292-2, MR 0636516 , archivado del original el 10/01/2016 
  • Marden, Albert (1974), "La geometría de los grupos kleinianos finitamente generados", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 99 (3): 383– 462, doi : 10.2307/1971059 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971059 , MR 0349992 , Zbl 0282.30014    
  • Mostow, GD (1968), "Aplicaciones cuasiconformes en el espacio n y la rigidez de las formas espaciales hiperbólicas" , Publ. Math. IHÉS , 34 : 53–104 , doi : 10.1007/bf02684590 , S2CID 55916797 
  • Mostow, GD (1973), Rigidez fuerte de espacios localmente simétricos , Annals of mathematics studies, vol.  78, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6, MR 0385004 
  • Prasad, Gopal (1973), "Rigidez fuerte de retículos de rango Q 1", Inventiones Mathematicae , 21 (4): 255–286 , Bibcode : 1973InMat..21..255P , doi : 10.1007/BF01418789 , ISSN 0020-9910 , MR 0385005 , S2CID 55739204   
  • Spatzier, RJ (1995), "Análisis armónico en la teoría de la rigidez", en Petersen, Karl E.; Salama, Ibrahim A. (eds.), Teoría ergódica y su conexión con el análisis armónico, Actas de la Conferencia de Alejandría de 1993 , Cambridge University Press, pp. 153–205 , ISBN  0-521-45999-0( Ofrece un panorama general de una gran variedad de teoremas de rigidez, incluidos los relativos a grupos de Lie, grupos algebraicos y dinámica de flujos. Incluye 230 referencias).
  • Thurston, William (1978–1981), La geometría y topología de las 3-variedades (PDF) , apuntes de clase de Princeton(Presenta dos demostraciones: una similar a la demostración original de Mostow y otra basada en la norma de Gromov ).