Hoja de vórtice

Una lámina de vórtice es un término utilizado en mecánica de fluidos para una superficie a través de la cual hay una discontinuidad en la velocidad del fluido , como en el deslizamiento de una capa de fluido sobre otra. ^[1] Mientras que los componentes tangenciales de la velocidad del flujo son discontinuos a lo largo de la lámina de vórtice, el componente normal de la velocidad del flujo es continuo. La discontinuidad en la velocidad tangencial significa que el flujo tiene una vorticidad infinita en una lámina de vórtice.

Con números de Reynolds elevados , las láminas de vórtices tienden a ser inestables. En particular, pueden presentar inestabilidad de Kelvin-Helmholtz .

La formulación de la ecuación de movimiento de la lámina vorticial se da en términos de una coordenada compleja . La lámina se describe paramétricamente mediante donde es la longitud de arco entre la coordenada y un punto de referencia, y es el tiempo. Sea la fuerza de la lámina, es decir, el salto en la discontinuidad tangencial. Entonces el campo de velocidad inducido por la lámina es ${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle z(s,t)}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle \gamma(s,t)}$

${\displaystyle {\frac {\parcial z^{*}}{\parcial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma (s',t)\mathrm {d} s'}{z(s,t)-z(s',t)}}}$

La integral de la ecuación anterior es una integral de valor principal de Cauchy. Ahora la definimos como la resistencia o circulación de la lámina integrada entre un punto con longitud de arco y el punto del material de referencia en la lámina. ${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización s=0}$

${\displaystyle \Gamma (s,t)=\int \limits _{0}^{s}\gamma (s',t)\mathrm {d} s'\qquad \mathrm {y} \qquad {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} s}}=\gamma (s,t)}$

Como consecuencia del teorema de circulación de Kelvin, en ausencia de fuerzas externas sobre la lámina, la circulación entre dos puntos materiales cualesquiera en la lámina se conserva, por lo que . La ecuación de movimiento de la lámina se puede reescribir en términos de y mediante un cambio de variable. El parámetro se reemplaza por . Es decir, ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma /\mathrm {d} t=0}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización \Gamma}$

${\displaystyle {\frac {\parcial z^{*}}{\parcial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\Gamma '}{z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t)}}}$

Esta ecuación integrodiferencial no lineal se denomina ecuación de Birkoff-Rott y describe la evolución de la lámina de vórtices dadas las condiciones iniciales. Se pueden encontrar mayores detalles sobre las láminas de vórtices en el libro de texto de Saffman (1977).

Una vez que se forma una lámina de vórtice, se difundirá debido a la acción viscosa. Considere un flujo unidireccional plano en , ${\estilo de visualización t=0}$

${\displaystyle u={\begin{cases}+U,&{\text{para }}y>0\\-U,&{\text{para }}y<0\end{cases}}}$

lo que implica la presencia de una lámina de vórtice en . La discontinuidad de velocidad se suaviza de acuerdo con ^[2]${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2{\sqrt {\pi \nu t}}}}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-( sy)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s-\int _{0}^{\infty }e^{-(s+y)^{2}/4\nu t}\ mathrm {d} s\right].}$

donde es la viscosidad cinemática . El único componente de vorticidad distinto de cero está en la dirección, dada por ${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización z}$

${\displaystyle \omega _{z}=-{\frac {U}{\sqrt {\pi \nu t}}}e^{-y^{2}/4\nu t}}$.

Se puede utilizar una lámina de vórtice plana con límites periódicos en la dirección de la corriente para modelar una capa de cizallamiento libre temporal con un número de Reynolds alto. Supongamos que el intervalo entre los límites periódicos tiene una longitud . Entonces, la ecuación de movimiento de la lámina de vórtice se reduce a ${\estilo de visualización 1}$

${\displaystyle {\frac {\parcial z^{*}}{\parcial t}}=-{\frac {\imath }{2}}\int \limits _{0}^{1}\cot \pi (z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t))\;d\Gamma '}$

Nótese que la integral en la ecuación anterior es una integral de valor principal de Cauchy. La condición inicial para una lámina de vórtice plana con fuerza constante es . La lámina de vórtice plana es una solución de equilibrio. Sin embargo, es inestable a perturbaciones periódicas infinitesimales de la forma . La teoría lineal muestra que el coeficiente de Fourier crece exponencialmente a una tasa proporcional a . Es decir, cuanto mayor sea el número de onda de un modo de Fourier, más rápido crece. Sin embargo, una teoría lineal no se puede extender mucho más allá del estado inicial. Si se tienen en cuenta las interacciones no lineales, el análisis asintótico sugiere que para , donde es un valor crítico , el coeficiente de Fourier decae exponencialmente, y se espera que la solución de lámina de vórtice pierda analiticidad en el momento crítico. Véase Moore (1979) y Meiron, Baker y Orszag (1983). ${\displaystyle z(\Gamma,0)=\Gamma}$${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }A_{k}\mathrm {e} ^{\imath 2\pi k\Gamma }}$$Estilo de visualización A_{k}}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización k}$$estilo de visualización t<t_{c}}$$estilo de visualización t_{c}}$$Estilo de visualización A_{k}}$

La solución de la lámina de vórtices dada por la ecuación de Birkoff-Rott no puede ir más allá del tiempo crítico. La pérdida espontánea de analiticidad en una lámina de vórtices es una consecuencia del modelado matemático ya que un fluido real con viscosidad, por pequeña que sea, nunca desarrollará singularidad. La viscosidad actúa como un parámetro de suavizado o regularización en un fluido real. Se han realizado estudios extensos sobre una lámina de vórtices, la mayoría de ellos mediante aproximación de vórtices discretos o puntuales, con o sin desingularización. Usando una aproximación de vórtices puntuales y una delta-regularización, Krasny (1986) obtuvo un enrollamiento suave de una lámina de vórtices en una espiral de doble ramificación. Dado que los vórtices puntuales son inherentemente caóticos, es necesario un filtro de Fourier para controlar el crecimiento de los errores de redondeo. La aproximación continua de una lámina de vórtices mediante paneles de vórtices con difusión en arco de la densidad de circulación también muestra que la lámina se enrolla en una espiral de doble ramificación.

En muchas aplicaciones físicas y de ingeniería, el crecimiento de una capa de cizallamiento libre temporal es de interés. El espesor de una capa de cizallamiento libre se mide generalmente por el espesor del momento, que se define como

${\displaystyle \theta =\int \limits _{y=-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{4}}-\left({\frac {\left\langle u\right\rangle }{2U}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} y}$

donde y es la velocidad de la corriente libre. El espesor del momento tiene la dimensión de longitud y el espesor del momento adimensional está dado por . El espesor del momento se puede utilizar para medir el espesor de una capa de vórtice. ${\displaystyle \left\langle u\right\rangle ={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}\ u(x,y,t)dx}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle \theta_{ND}=\theta/L}$

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