aproximación WKB

La serie asintótica para y ( x ) suele ser una serie divergente , cuyo término general${\displaystyle \delta ^{n}S_{n}(x)}$comienza a aumentar después de cierto valor${\displaystyle n=n_{\textrm {max}}}$Por lo tanto, el error más pequeño que se puede lograr con el método WKB es, en el mejor de los casos, del orden del último término incluido.

Para la ecuación$${\displaystyle \varepsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ con${\displaystyle Q(x)<0}$una función analítica , el valor${\displaystyle n_{\max }}$y la magnitud del último término se puede estimar de la siguiente manera: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle n_{\max }\approx {\frac {2}{\varepsilon }}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$$${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}e^{-n_{\max }},}$$dónde${\displaystyle x_{0}}$es el punto en el que${\displaystyle y(x_{0})}$necesita ser evaluado y${\displaystyle x_{\ast }}$es el punto de inflexión (complejo) donde${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$, más cercano a${\displaystyle x=x_{0}}$.

El número${\displaystyle n_{\max }}$puede interpretarse como el número de oscilaciones entre${\displaystyle x_{0}}$y el punto de inflexión más cercano.

Si${\displaystyle \varepsilon ^{-1}Q(x)}$es una función que cambia lentamente, $${\displaystyle \varepsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$ el número${\displaystyle n_{\max }}$será grande, y el error mínimo de la serie asintótica será exponencialmente pequeño.

Desde la condición:$${\displaystyle \left(S_{0}'(x)\right)^{2}-\left(p(x)\right)^{2}+\hbar \left(2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x)\right)=0}$$

Resulta que:${\textstyle \hbar \left|2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\right|+\hbar \left|iS_{0}''(x)\right|\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|+\left|(p(x))^{2}\right|}$

Para lo cual las siguientes dos desigualdades son equivalentes ya que los términos en ambos lados son equivalentes, tal como se utiliza en la aproximación WKB:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|\\2\hbar \left|S_{0}'S_{1}'\right|&\ll \left|(p'(x))^{2}\right|\end{aligned}}}$$

La primera desigualdad se puede utilizar para demostrar lo siguiente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\[6pt]\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|&\ll {\frac {\left|p\right|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

dónde${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$se utiliza y${\textstyle \lambda (x)}$es la longitud de onda de De Broglie local de la función de onda. La desigualdad implica que se supone que la variación del potencial varía lentamente. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Esta condición también puede reformularse como el cambio fraccional de${\textstyle E-V(x)}$o la del impulso${\textstyle p(x)}$, a lo largo de la longitud de onda${\textstyle \lambda }$siendo mucho más pequeño que${\textstyle 1}$. ^{[ 21 ]}

De manera similar se puede demostrar que${\textstyle \lambda (x)}$También tiene restricciones basadas en supuestos subyacentes para la aproximación WKB que:$${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$lo que implica que la longitud de onda de De Broglie de la partícula está variando lentamente. ^{[ 20 ]}

Ahora consideramos el comportamiento de la función de onda cerca de los puntos de inflexión. Para ello, necesitamos un método diferente. Cerca de los primeros puntos de inflexión,${\displaystyle x_{1}}$, el término${\textstyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$puede expandirse en una serie de potencias,$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$En primera aproximación, se encuentra$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$Esta ecuación diferencial se conoce como la ecuación de Airy , y la solución se puede escribir en términos de funciones de Airy , ^{[ 22 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x)&=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)\\[6pt]&=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).\end{aligned}}}$$Aunque para cualquier valor fijo de${\displaystyle \hbar }$, la función de onda está limitada cerca de los puntos de inflexión, la función de onda tendrá un pico allí, como se puede ver en las imágenes anteriores. Como${\displaystyle \hbar }$A medida que disminuye el tamaño, la altura de la función de onda en los puntos de inflexión aumenta. De esta aproximación también se deduce que:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\hbar }}\int p(x)\,dx&={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx\\&={\frac {2}{3}}\left[{\sqrt[{3}]{U_{1}}}\left(x-a\right)\right]^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}.\end{aligned}}}$$

Ahora queda construir una solución global (aproximada) a la ecuación de Schrödinger. Para que la función de onda sea integrable al cuadrado, debemos tomar solo la solución de decaimiento exponencial en las dos regiones clásicamente prohibidas. Estas deben luego "conectarse" adecuadamente a través de los puntos de inflexión a la región clásicamente permitida. Para la mayoría de los valores de E , este procedimiento de ajuste no funcionará: la función obtenida al conectar la solución cerca de${\displaystyle +\infty }$a la región clásicamente permitida no coincidirá con la función obtenida al conectar la solución cerca${\displaystyle -\infty }$a la región clásicamente permitida. El requisito de que las dos funciones coincidan impone una condición sobre la energía E , que dará una aproximación a los niveles de energía cuántica exactos.

Los coeficientes de la función de onda se pueden calcular para un problema simple que se muestra en la figura. Sea el primer punto de inflexión, donde el potencial disminuye con respecto a x, el que ocurre en${\displaystyle x=x_{1}}$y el segundo punto de inflexión, donde el potencial aumenta con respecto a x, ocurre en${\displaystyle x=x_{2}}$Dado que esperamos que las funciones de onda tengan la siguiente forma, podemos calcular sus coeficientes conectando las diferentes regiones mediante las funciones de Airy y Bairy.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[A\exp \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)+B\exp \left(-{\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)\right]\\[6pt]\Psi _{E>V}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[C\cos \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)+D\sin \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)\right]\\\end{aligned}}}$$

Función de onda oscilante común

Comparación de las dos soluciones para la región${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$, se requiere que la diferencia entre los ángulos en estas funciones sea${\displaystyle \pi (n+1/2)}$donde el${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$La diferencia de fase explica el cambio de coseno a seno para la función de onda y${\displaystyle n\pi }$diferencia ya que la negación de la función puede ocurrir al dejar${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$. De este modo: $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\pi \hbar ,}$$ Donde n es un número entero no negativo. Esta condición también se puede reescribir diciendo que:

El área encerrada por la curva de energía clásica es${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$.

De cualquier modo, la condición sobre la energía es una versión de la condición de cuantización de Bohr-Sommerfeld , con una " corrección de Maslov " igual a 1/2. ^{[ 24 ]}

Es posible demostrar que, tras combinar las aproximaciones en las distintas regiones, se obtiene una buena aproximación a la autofunción real . En particular, las energías de Bohr-Sommerfeld corregidas por Maslov son buenas aproximaciones a los autovalores reales del operador de Schrödinger. ^{[ 25 ]} Específicamente, el error en las energías es pequeño en comparación con el espaciado típico de los niveles de energía cuántica. Por lo tanto, aunque la "antigua teoría cuántica" de Bohr y Sommerfeld fue finalmente reemplazada por la ecuación de Schrödinger, queda algún vestigio de dicha teoría, como una aproximación a los autovalores del operador de Schrödinger correspondiente.

Entonces se puede calcular la densidad de probabilidad asociada a la función de onda aproximada. La probabilidad de que la partícula cuántica se encuentre en la región clásicamente prohibida es pequeña. En la región clásicamente permitida, en cambio, la probabilidad de que la partícula cuántica se encuentre en un intervalo dado es aproximadamente la fracción de tiempo que la partícula clásica pasa en ese intervalo durante un período de movimiento. ^{[ 26 ]} Dado que la velocidad de la partícula clásica tiende a cero en los puntos de inflexión, pasa más tiempo cerca de estos puntos que en otras regiones clásicamente permitidas. Esta observación explica el pico en la función de onda (y su densidad de probabilidad) cerca de los puntos de inflexión.

En Müller-Kirsten se tratan las aplicaciones del método WKB a las ecuaciones de Schrödinger con una gran variedad de potenciales y su comparación con los métodos de perturbación y las integrales de trayectoria.

El potencial de dichos sistemas se puede expresar de la siguiente forma:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

dónde${\textstyle x_{1}<x_{2}}$.

Encontrar la función de onda en la región ligada, es decir, dentro de los puntos de inflexión clásicos.${\textstyle x_{1}}$y${\textstyle x_{2}}$, considerando aproximaciones lejos de${\textstyle x_{1}}$y${\textstyle x_{2}}$respectivamente tenemos dos soluciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}\end{aligned}}}$$

Dado que la función de onda debe anularse cerca${\textstyle x_{1}}$, concluimos${\textstyle \alpha =0}$. Para funciones espaciosas cerca${\textstyle x_{2}}$, necesitamos${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$Requerimos que los ángulos dentro de estas funciones tengan una diferencia de fase.${\displaystyle \pi (n+1/2)}$donde el${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$La diferencia de fase explica el cambio de seno a coseno y${\displaystyle n\pi }$permitiendo${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$.

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$Donde n es un entero no negativo. ^{[ 19 ]} Nótese que el lado derecho de esto sería en cambio${\displaystyle \pi (n-1/4)}$si n solo pudiera ser un número natural distinto de cero.

Por lo tanto, concluimos que, para${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$ En 3 dimensiones con simetría esférica, se cumple la misma condición donde la posición x se reemplaza por la distancia radial r, debido a su similitud con este problema. ^{[ 27 ]}

El potencial de dichos sistemas se puede expresar de la siguiente forma:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

dónde${\textstyle x_{1}<x_{2}}$.

Para${\textstyle E\geq V(x)}$entre${\textstyle x_{1}}$y${\textstyle x_{2}}$que son, por lo tanto, los puntos de inflexión clásicos, al considerar aproximaciones lejos de${\textstyle x_{1}}$y${\textstyle x_{2}}$respectivamente tenemos dos soluciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)\end{aligned}}}$$

Dado que las funciones de onda deben anularse en${\textstyle x_{1}}$y${\textstyle x_{2}}$Aquí, la diferencia de fase solo necesita tener en cuenta${\displaystyle n\pi }$lo cual permite${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$Por lo tanto, la condición se convierte en:

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$ dónde${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$pero no igual a cero ya que hace que la función de onda sea cero en todas partes. ^{[ 19 ]}

Consideremos el siguiente potencial al que está sometida una pelota que rebota:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

Las soluciones de la función de onda anteriores se pueden resolver utilizando el método WKB considerando solo soluciones de paridad impar del potencial alternativo.${\displaystyle V(x)=mg|x|}$Se identifican los puntos de inflexión clásicos.${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$y${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$. Aplicando así la condición de cuantización obtenida en WKB:

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

Alquiler${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$dónde${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$, resolviendo para${\textstyle E}$con dado${\displaystyle V(x)=mg|x|}$, obtenemos la energía mecánica cuántica de una pelota que rebota: ^{[ 28 ]}

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

Este resultado también es consistente con el uso de la ecuación del estado ligado de una pared rígida sin necesidad de considerar un potencial alternativo.

El potencial de dichos sistemas se puede expresar de la siguiente forma:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

dónde${\textstyle x_{1}<x_{2}}$.

Sus soluciones para una onda incidente se dan como

$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}Ae^{ik_{0}x}+Be^{-ik_{0}x}&{\text{if }}x<x_{1}\\[1ex]{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx\right)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\[1ex]De^{ik_{0}x}&{\text{if }}x>x_{2}\end{cases}}}$$

con${\displaystyle k_{0}=p_{0}/\hbar }$donde la función de onda en la región clásicamente prohibida es la aproximación WKB, pero sin tener en cuenta el crecimiento exponencial. Esta es una suposición razonable para barreras de potencial amplias, a través de las cuales no se espera que la función de onda alcance magnitudes elevadas.

Debido al requisito de continuidad de la función de onda y sus derivadas, se puede demostrar la siguiente relación:$${\displaystyle {\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

dónde${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$y${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$.

Usando${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)}$expresamos los valores sin signos como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\text{inc.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2}\right)\\J_{\text{ref.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2}\right)\\J_{\text{trans.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|D|^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, el coeficiente de transmisión es:

$${\displaystyle T={\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{\left(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}}\right)}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

dónde${\textstyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$,${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$y${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$El resultado se puede expresar como${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$dónde${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$. ^{[ 19 ]}

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