Lagos de Wada

En matemáticas , los lagos de Wada (和田の湖, Wada no mizuumi ) son tres conjuntos abiertos disjuntos y conexos del plano o cuadrado unitario abierto, con la propiedad contraintuitiva de que todos comparten el mismo límite . En otras palabras, para cualquier punto seleccionado en el límite de uno de los lagos, los límites de los otros dos lagos también contienen ese punto.

Se dice que más de dos conjuntos con el mismo límite poseen la propiedad de Wada ; ejemplos de ello son las cuencas de Wada en sistemas dinámicos . Esta propiedad es poco común en sistemas del mundo real.

Los lagos de Wada fueron introducidos por Kunizō Yoneyama ( 1917 , página 60) , quien atribuyó el descubrimiento a Takeo Wada . Su construcción es similar a la construcción de Brouwer (1910) de un continuo indescomponible , y de hecho es posible que el límite común de los tres conjuntos sea un continuo indescomponible. 

Los lagos de Wada se forman comenzando con un cuadrado cerrado de tierra seca y luego excavando 3 lagos según la siguiente regla:

• En el día n = 1, 2, 3,... extiende el lago n mod 3 (=  0, 1, 2) de manera que quede abierto y conectado, y pase a una distancia de 1/ n de toda la tierra seca restante. Esto debe hacerse de forma que la tierra seca restante siga siendo homeomorfa a un cuadrado unitario cerrado.

Tras un número infinito de días, los tres lagos siguen siendo conjuntos abiertos, conectados pero disjuntos, y la tierra seca restante constituye el límite de cada uno de los tres lagos.

Por ejemplo, los primeros cinco días podrían ser (ver la imagen de la derecha):

1. Cava un lago azul de 1/3 de ancho que pase dentro de √ 2/3 de toda la tierra seca.
2. Cava un lago rojo de ancho 1/3 ² que pase dentro de √ 2 /3 ² de toda tierra seca.
3. Cava un lago verde de ancho 1/3 ³ que pase dentro de √ 2 /3 ³ de toda tierra seca.
4. Extiende el lago azul con un canal de 1/3 ^{de pulgada} de ancho que pase a menos de 2/3 ^{de pulgada} de toda la tierra firme. (El canal pequeño conecta el lago azul delgado con el lago grueso, cerca del centro de la imagen).
5. Extend the red lake by a channel of width 1/3⁵ passing within √2/3⁵ of all dry land. (The tiny channel connects the thin red lake to the thick one, near the top left of the image.)

A variation of this construction can produce a countable infinite number of connected lakes with the same boundary: instead of extending the lakes in the order 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., extend them in the order 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... and so on.

Wada basins are certain special basins of attraction studied in the mathematics of non-linear systems. A basin having the property that every neighborhood of every point on the boundary of that basin intersects at least three basins is called a Wada basin, or said to have the Wada property. Unlike the Lakes of Wada, Wada basins are often disconnected.

An example of Wada basins is given by the Newton fractal describing the basins of attraction of the Newton–Raphson method for finding the roots of a cubic polynomial with distinct roots, such as z³− 1; see the picture.

In chaos theory, Wada basins arise very frequently. Usually, the Wada property can be seen in the basin of attraction of dissipative dynamical systems. But the exit basins of Hamiltonian systems can also show the Wada property. In the context of the chaotic scattering of systems with multiple exits, basins of exits show the Wada property. M. A. F. Sanjuán et al.^[1] has shown that in the Hénon–Heiles system the exit basins have this Wada property.

• List of topologies – List of concrete topologies and topological spaces

• Brouwer, L. E. J. (1910), "Zur Analysis Situs", Mathematische Annalen, 68 (3): 422–434, doi:10.1007/BF01475781
• Yoneyama, Kunizô (1917), "Theory of Continuous Set of Points", Tôhoku Mathematical Journal, 12: 43–158

• Breban, Romulus; Nusse, H E. (2005), "On the creation of Wada basins in interval maps through fixed point tangent bifurcation", Physica D, 207 (1–2): 52–63, Bibcode:2005PhyD..207...52B, doi:10.1016/j.physd.2005.05.012
• Coudene, Yves (2006), "Pictures of hyperbolic dynamical systems"(PDF), Notices of the American Mathematical Society, 53 (1): 8–13, ISSN 0002-9920, MR 2189945
• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M. H. (2003), Counterexamples in analysis, Mineola, N.Y.: Dover Publications, ISBN 0-486-42875-3 example 10.13
• Hocking, J. G.; Young, G. S. (1988), Topology, New York: Dover Publications, p. 144, ISBN 0-486-65676-4
• Kennedy, J; Yorke, J.A. (1991), "Basins of Wada", Physica D, 51 (1–3): 213–225, Bibcode:1991PhyD...51..213K, doi:10.1016/0167-2789(91)90234-Z
• Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, J. A. (1999), "Complex topology in Chaotic scattering: A Laboratory Observation", Nature, 399 (6734): 315, Bibcode:1999Natur.399..315S, doi:10.1038/20573

• An experimental realization of Wada basins (with photographs), andamooka.org
• An introduction to Wada basins and the Wada property www-chaos.umd.edu
• Reflective Spheres of Infinity: Wada Basin Fractals, miqel.com
• Wada basins: Rendering chaotic scatteringDeprecated link archived 2012-06-30 at archive.today, astronomy.swin.edu.au