Tensión del cilindro

La tensión circunferencial es la fuerza ejercida sobre un área determinada circunferencialmente (perpendicular al eje y al radio del objeto) en ambas direcciones sobre cada partícula de la pared del cilindro. Se puede describir como:

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {F}{tl}}\ }$

dónde:

• F es la fuerza ejercida circunferencialmente sobre un área de la pared del cilindro que tiene las siguientes dos longitudes como lados:
• t es el espesor radial del cilindro
• l es la longitud axial del cilindro.

Una alternativa a la tensión circunferencial para describir la tensión circunferencial es la tensión de pared o tensión de pared ( T ), que generalmente se define como la fuerza circunferencial total ejercida a lo largo de todo el espesor radial: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle T={\dfrac {F}{l}}\ }$

Junto con la tensión axial y la tensión radial , la tensión circunferencial es un componente del tensor de tensiones en coordenadas cilíndricas .

Generalmente, resulta útil descomponer cualquier fuerza aplicada a un objeto con simetría rotacional en componentes paralelas a las coordenadas cilíndricas r , z y θ . Estas componentes de la fuerza inducen tensiones correspondientes: tensión radial, tensión axial y tensión circunferencial, respectivamente.

Para que la suposición de pared delgada sea válida, el recipiente debe tener un espesor de pared no mayor a aproximadamente una décima parte (a menudo citado como Diámetro / t > 20) de su radio. ^{[ 4 ]} Esto permite tratar la pared como una superficie y, posteriormente, utilizar la ecuación de Young-Laplace para estimar la tensión circunferencial creada por una presión interna en un recipiente a presión cilíndrico de pared delgada:

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }$ (para un cilindro)

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$ (para una esfera)

dónde

• P es la presión interna
• t es el espesor de la pared
• r es el radio medio del cilindro
• ${\displaystyle \sigma _{\theta }\!}$es la tensión del aro.

La ecuación de tensión circunferencial para láminas delgadas también es aproximadamente válida para vasos esféricos, incluidas las células vegetales y las bacterias, en las que la presión de turgencia interna puede alcanzar varias atmósferas. En aplicaciones prácticas de ingeniería para cilindros (tuberías y conductos), la tensión circunferencial a menudo se reordena en función de la presión y se denomina fórmula de Barlow .

Las unidades del SI para P son pascales (Pa), mientras que t y r se expresan en metros (m). Las unidades del sistema pulgada-libra-segundo (IPS) para P son libras-fuerza por pulgada cuadrada (psi). Las unidades para t y r son pulgadas (in).

Cuando el recipiente tiene extremos cerrados, la presión interna actúa sobre ellos generando una fuerza a lo largo del eje del cilindro. Esta fuerza se conoce como tensión axial y suele ser menor que la tensión circunferencial.

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pr^{2}}{(r+t)^{2}-r^{2}}}\ }$

Aunque esto puede aproximarse a

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$

También existe una tensión radial.${\displaystyle \sigma _{r}\ }$que se desarrolla perpendicularmente a la superficie y puede estimarse en cilindros de paredes delgadas como:

${\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }$

En la suposición de paredes delgadas, la relación${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$es grande, por lo que en la mayoría de los casos este componente se considera insignificante en comparación con las tensiones circunferenciales y axiales. ^{[ 5 ]}

Cuando el cilindro que se va a estudiar tiene un${\displaystyle {\text{radius}}/{\text{thickness}}}$relación de menos de 10 (a menudo citada como${\displaystyle {\text{diameter}}/{\text{thickness}}<20}$Las ecuaciones del cilindro de paredes delgadas ya no son válidas, puesto que las tensiones varían significativamente entre las superficies interior y exterior, y la tensión cortante a través de la sección transversal ya no puede despreciarse.

Estas tensiones y deformaciones se pueden calcular utilizando las ecuaciones de Lamé , ^{[ 6 ]} un conjunto de ecuaciones desarrolladas por el matemático francés Gabriel Lamé .

${\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

${\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

dónde:

${\displaystyle A}$y ${\displaystyle B}$son constantes de integración, que se pueden encontrar a partir de las condiciones de contorno,

${\displaystyle r}$es el radio en el punto de interés (por ejemplo, en las paredes interiores o exteriores).

Para cilindro con condiciones de contorno:

${\displaystyle p(r=a)=P_{a}}$(es decir, presión interna)${\displaystyle P_{a}}$en la superficie interior),

${\displaystyle p(r=b)=P_{b}}$(es decir, presión externa)${\displaystyle P_{b}}$en la superficie exterior),

Se obtienen las siguientes constantes:

${\displaystyle A={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ }$,

${\displaystyle B={\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{b^{2}-a^{2}}}\ }$.

Utilizando estas constantes, se obtienen las siguientes ecuaciones para la tensión radial y la tensión circunferencial, respectivamente:

${\displaystyle \sigma _{r}={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}-{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$,

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}+{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$.

Tenga en cuenta que cuando los resultados de estas tensiones son positivos, indican tensión, y los valores negativos, compresión.

Para un cilindro sólido:${\displaystyle R_{i}=0}$entonces${\displaystyle B=0}$y un cilindro sólido no puede tener presión interna, por lo tanto${\displaystyle A=P_{o}}$.

Dado que para cilindros de paredes gruesas, la relación${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$es menor que 10, la tensión radial, en proporción a las otras tensiones, se vuelve no despreciable (es decir, P ya no es mucho, mucho menor que Pr/t y Pr/2t), y por lo tanto el espesor de la pared se convierte en una consideración importante para el diseño (Harvey, 1974, págs. 57).

En la teoría de recipientes a presión, cualquier elemento de la pared se evalúa en un sistema de esfuerzos triaxiales, donde los tres esfuerzos principales son circunferencial, longitudinal y radial. Por lo tanto, por definición, no existen esfuerzos cortantes en los planos transversal, tangencial o radial. ^{[ 1 ]}

En cilindros de paredes gruesas, la tensión cortante máxima en cualquier punto viene dada por la mitad de la diferencia algebraica entre las tensiones máxima y mínima, que, por lo tanto, es igual a la mitad de la diferencia entre las tensiones circunferencial y radial. La tensión cortante alcanza un máximo en la superficie interior, lo cual es significativo porque sirve como criterio de fallo, ya que se correlaciona bien con los ensayos de rotura reales de cilindros gruesos (Harvey, 1974, p. 57).

La fractura se rige por la tensión circunferencial en ausencia de otras cargas externas, ya que esta representa la mayor tensión principal. Cabe destacar que la tensión máxima se registra en la parte interna de una circunferencia (tanto la parte externa como la interna experimentan la misma deformación total, distribuida en diferentes circunferencias); por lo tanto, teóricamente, las grietas en las tuberías deberían comenzar en su interior . Por este motivo, las inspecciones de tuberías tras un terremoto suelen incluir el envío de una cámara al interior para detectar grietas. La fluencia se rige por una tensión equivalente que incluye la tensión circunferencial y, en su ausencia, la tensión longitudinal o radial.

En la patología de las paredes vasculares o gastrointestinales , la tensión de la pared representa la tensión muscular sobre la pared del vaso. Según la ley de Laplace , si se forma un aneurisma en la pared de un vaso sanguíneo, el radio del vaso aumenta. Esto significa que la fuerza hacia adentro sobre el vaso disminuye y, por lo tanto, el aneurisma continuará expandiéndose hasta romperse. Una lógica similar se aplica a la formación de divertículos en el intestino . ^{[ 7 ]}