Integrales de Wallis

En matemáticas , y más precisamente en análisis , las integrales de Wallis constituyen una familia de integrales introducidas por John Wallis .

Las integrales de Wallis son los términos de la secuencia definida por ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 0}}$

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx,}$

o equivalentemente,

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx.}$

Los primeros términos de esta secuencia son:

La sucesión es decreciente y tiene términos positivos. De hecho, para todos${\estilo de visualización (W_{n})}$${\displaystyle n\geq 0:}$

• ${\displaystyle W_{n}>0,}$porque es una integral de una función continua no negativa que no es idénticamente cero;
• ${\displaystyle W_{n}-W_{n+1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+1}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n}x)(1-\sin x)\,dx>0,}$de nuevo porque la última integral es de una función continua no negativa.

Como la sucesión es decreciente y está limitada por 0, converge a un límite no negativo. De hecho, el límite es cero (ver más abajo). ${\displaystyle (W_{n})}$

Mediante la integración por partes se puede obtener una fórmula de reducción . Utilizando la identidad se tiene para todo , ${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x}$${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n-2}x)(1-\cos ^{2}x)\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx.\qquad {\text{Equation (1)}}\end{aligned}}}$

Integrando la segunda integral por partes, con:

• ${\displaystyle v'(x)=\cos(x)\sin ^{n-2}(x)}$, cuya antiderivada es${\displaystyle v(x)={\frac {1}{n-1}}\sin ^{n-1}(x)}$
• ${\displaystyle u(x)=\cos(x)}$, cuya derivada es${\displaystyle u'(x)=-\sin(x),}$

tenemos:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx=\left[{\frac {\sin ^{n-1}x}{n-1}}\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{n-1}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-1}x\sin x\,dx=0+{\frac {1}{n-1}}W_{n}.}$

Sustituyendo este resultado en la ecuación (1) obtenemos

${\displaystyle W_{n}=W_{n-2}-{\frac {1}{n-1}}W_{n},}$

y por lo tanto

${\displaystyle W_{n}={\frac {n-1}{n}}W_{n-2},\qquad {\text{Equation (2)}}}$

a pesar de${\displaystyle n\geq 2.}$

Esta es una relación de recurrencia que se expresa en términos de . Esto, junto con los valores de y nos da dos conjuntos de fórmulas para los términos de la secuencia , dependiendo de si es par o impar: ${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle W_{n-2}}$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle W_{1},}$${\displaystyle (W_{n})}$${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle W_{2p}={\frac {2p-1}{2p}}\cdot {\frac {2p-3}{2p-2}}\cdots {\frac {1}{2}}W_{0}={\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}},}$
• ${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {2p}{2p+1}}\cdot {\frac {2p-2}{2p-1}}\cdots {\frac {2}{3}}W_{1}={\frac {(2p)!!}{(2p+1)!!}}={\frac {2^{2p}(p!)^{2}}{(2p+1)!}}.}$

Las integrales de Wallis se pueden evaluar utilizando integrales de Euler :

1. Integral de Euler de primer tipo : la función Beta :

   ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$para Re( x ), Re( y ) > 0

2. Integral de Euler de segundo tipo : la función Gamma :

   ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$para Re( z ) > 0 .

Si realizamos la siguiente sustitución dentro de la función Beta: obtenemos: ${\displaystyle \quad \left\{{\begin{matrix}t=\sin ^{2}u\\1-t=\cos ^{2}u\\dt=2\sin u\cos udu\end{matrix}}\right.,}$

${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}u\cos ^{2b-1}u\,du,}$

Entonces esto nos da la siguiente relación para evaluar las integrales de Wallis:

${\displaystyle W_{n}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}+1\right)}}.}$

Entonces, para impar , escribiendo , tenemos: ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2p+1}$

${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {\Gamma \left(p+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left(p+1+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {p!\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{(2p+1)\,\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {2^{p}\;p!}{(2p+1)!!}}={\frac {2^{2\,p}\;(p!)^{2}}{(2p+1)!}},}$

mientras que para incluso , escribiendo y sabiendo que , obtenemos: ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2p}$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle W_{2p}={\frac {\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left(p+1\right)}}={\frac {(2p-1)!!\;\pi }{2^{p+1}\;p!}}={\frac {(2p)!}{2^{2\,p}\;(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}.}$

• De la fórmula de recurrencia anterior , podemos deducir que${\displaystyle \mathbf {(2)} }$

${\displaystyle \ W_{n+1}\sim W_{n}}$(equivalencia de dos secuencias).

En efecto, para todos  :${\displaystyle n\in \,\mathbb {N} }$

${\displaystyle \ W_{n+2}\leqslant W_{n+1}\leqslant W_{n}}$(ya que la secuencia es decreciente)

${\displaystyle {\frac {W_{n+2}}{W_{n}}}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1}$(desde )${\displaystyle \ W_{n}>0}$

${\displaystyle {\frac {n+1}{n+2}}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1}$(por ecuación ).${\displaystyle \mathbf {(2)} }$

Por el teorema del sándwich , concluimos que , y por lo tanto .${\displaystyle {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\to 1}$${\displaystyle \ W_{n+1}\sim W_{n}}$

• Examinando , se obtiene la siguiente equivalencia:${\displaystyle W_{n}W_{n+1}}$

${\displaystyle W_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2\,n}}}\quad }$(y en consecuencia ).${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {n}}\,W_{n}={\sqrt {\pi /2}}}$

Supongamos que tenemos la siguiente equivalencia (conocida como fórmula de Stirling ):

${\displaystyle n!\sim C{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},}$

para alguna constante que deseamos determinar. De arriba, tenemos ${\displaystyle C}$

${\displaystyle W_{2p}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {p}}}}}$(ecuación (3))

Desarrollando y utilizando la fórmula anterior para los factoriales, obtenemos ${\displaystyle W_{2p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{2p}&={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&\sim {\frac {C\left({\frac {2p}{e}}\right)^{2p}{\sqrt {2p}}}{2^{2p}C^{2}\left({\frac {p}{e}}\right)^{2p}\left({\sqrt {p}}\right)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}.{\text{ (equation (4))}}\end{aligned}}}$

De (3) y (4), obtenemos por transitividad:

${\displaystyle {\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}\sim {\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {p}}}}.}$

Resolviendo para da En otras palabras, ${\displaystyle C}$${\displaystyle C={\sqrt {2\pi }}.}$

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

De manera similar, de arriba tenemos:

${\displaystyle W_{2p}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{p}}}.}$

Desarrollando y utilizando la fórmula anterior para factoriales dobles, obtenemos: ${\displaystyle W_{2p}}$

${\displaystyle W_{2p}={\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\sim {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{p}}}.}$

Simplificando obtenemos:

${\displaystyle {\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\pi \,p}}},}$

o

${\displaystyle {\frac {(2p)!!}{(2p-1)!!}}\sim {\sqrt {\pi \,p}}.}$

La integral gaussiana se puede evaluar mediante el uso de las integrales de Wallis.

Primero demostramos las siguientes desigualdades:

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb {R} _{+}\quad u\leqslant n\quad \Rightarrow \quad (1-u/n)^{n}\leqslant e^{-u}}$
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb {R} _{+}\qquad e^{-u}\leqslant (1+u/n)^{-n}}$

De hecho, siendo , la primera desigualdad (en la que ) es equivalente a ; mientras que la segunda desigualdad se reduce a , que se convierte en . Estas dos últimas desigualdades se siguen de la convexidad de la función exponencial (o de un análisis de la función ). ${\displaystyle u/n=t}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle 1-t\leqslant e^{-t}}$${\displaystyle e^{-t}\leqslant (1+t)^{-1}}$${\displaystyle e^{t}\geqslant 1+t}$${\displaystyle t\mapsto e^{t}-1-t}$

Dejando y haciendo uso de las propiedades básicas de las integrales impropias (la convergencia de las integrales es obvia), obtenemos las desigualdades: ${\displaystyle u=x^{2}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\sqrt {n}}(1-x^{2}/n)^{n}dx\leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}}e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }(1+x^{2}/n)^{-n}dx}$ para usar con el teorema del sándwich (como ). ${\displaystyle n\to \infty }$

La primera y la última integral se pueden evaluar fácilmente utilizando las integrales de Wallis. Para la primera, sea (t varía de 0 a ). Entonces, la integral se convierte en . Para la última integral, sea (t varía de a ). Entonces, se convierte en . ${\displaystyle x={\sqrt {n}}\,\sin \,t}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle {\sqrt {n}}\,W_{2n+1}}$${\displaystyle x={\sqrt {n}}\,\tan \,t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle {\sqrt {n}}\,W_{2n-2}}$

Como hemos demostrado antes, . Por lo tanto, se deduce que . ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {n}}\;W_{n}={\sqrt {\pi /2}}}$${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}/2}$

Observación: Existen otros métodos para evaluar la integral gaussiana. Algunos de ellos son más directos.

Las mismas propiedades conducen al producto de Wallis , que se expresa (ver ) en la forma de un producto infinito . ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\,}$${\displaystyle \pi }$

• Pascal Sebah y Xavier Gourdon. Introducción a la función gamma . En formatos PostScript y HTML.