Equivalencia débil entre conjuntos simpliciales

En matemáticas, especialmente en topología algebraica , una equivalencia débil entre conjuntos simpliciales es una aplicación entre conjuntos simpliciales que es invertible en algún sentido débil. Formalmente, es una equivalencia débil en alguna estructura de modelo sobre la categoría de conjuntos simpliciales (por lo que el significado depende de la elección de dicha estructura).

Una ∞-categoría puede definirse (y generalmente se define hoy en día) como un conjunto simplicial que satisface la condición débil de Kan. Por lo tanto, esta noción es especialmente relevante para la teoría de categorías superiores .

Condiciones equivalentes

Teorema — ^{[ 1 ]} Sea $f:X\to Y$ Sea una aplicación entre conjuntos simpliciales. Entonces, las siguientes son equivalentes:

$f$ es una equivalencia débil en el sentido de Joyal ( estructura de categoría del modelo Joyal ).
$f^{*}:\operatorname {ho} {\underline {\operatorname {Hom} }}(Y,V)\to \operatorname {ho} {\underline {\operatorname {Hom} }}(X,V)$ es una equivalencia de categorías para cada ∞-categoría V , donde ho significa la categoría de homotopía de una ∞-categoría ,
$f^{*}:{\underline {\operatorname {Hom} }}(Y,V)^{\simeq }\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(X,V)^{\simeq }$ es una equivalencia homotópica débil para cada ∞-categoría V , donde el superíndice $\simeq$ significa el núcleo .

Si $X,Y$ Si son ∞-categorías, entonces una equivalencia débil entre ellas en el sentido de Joyal es exactamente una equivalencia de ∞-categorías (una aplicación que es invertible en la categoría de homotopía). ^{[ 2 ]}

Dejar $f:X\to Y$ Sea un functor entre ∞-categorías. Entonces decimos

$f$ es totalmente fiel si $f:\operatorname {Mapa} (a,b)\to \operatorname {Mapa} (f(a),f(b))$ es una equivalencia de ∞-grupoides para cada par de objetos $a,b$ .
$f$ es esencialmente sobreyectiva si para cada objeto $y$ en $Y$ , existe algún objeto $a$ de tal manera que $y\simeq f(a)$ .

Entonces $f$ es una equivalencia si y solo si es plenamente fiel y esencialmente sobreyectiva. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Notas

↑ Cisinski 2023 , Teorema 3.6.8.
↑ Cisinski 2023 , Corolario 3.6.6.
↑ Cisinski 2023 , Teorema 3.9.7.
↑ Rezk 2022 , 48.2. Teorema (Teorema fundamental de las cuasicategorías).
↑ 4.6.2 Funtores completamente fieles y esencialmente sobreyectivos en Kerodon , Teorema 4.6.2.21.

Referencias

Cisinski, Denis-Charles (2023). Categorías superiores y álgebra homotópica (PDF) . Cambridge University Press . ISBN 978-1108473200.
Quillen, Daniel G. (1967), Álgebra homotópica , Lecture Notes in Mathematics, No. 43, vol. 43, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0097438 , ISBN 978-3-540-03914-3, MR 0223432
Rezk, Charles (2022). "Introducción a las cuasicategorías" (PDF) – vía ncatlab.org.

Lecturas adicionales

equivalencia de categorías (infinito,1) en el n Lab
Kelly, Shane. "Geometría algebraica derivada (Clase 3: Categorías), Semestre de primavera de UTokyo 2025" (PDF) .
Casacuberta, Carles. "Cuasicategorías, 12 de noviembre de 2018" (PDF) .
"T4.6.2 Funtores totalmente fieles y esencialmente sobreyectivos" . Kerodon .
Haugseng, Runa (2017). "Introducción a las ∞-Categorías" .

[1] Cisinski 2023 , Teorema 3.6.8.

[2] Cisinski 2023 , Corolario 3.6.6.

[3] Cisinski 2023 , Teorema 3.9.7.

[4] Rezk 2022 , 48.2. Teorema (Teorema fundamental de las cuasicategorías).

[5] 4.6.2 Funtores completamente fieles y esencialmente sobreyectivos en Kerodon , Teorema 4.6.2.21.

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