entropía de Wehrl

Considere un espacio${\displaystyle \mathbb {C} ^{2J+1}}$con${\displaystyle J={\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\dots }$. Consideramos un único espín cuántico de momento angular fijo J , y lo denotaremos por${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y},S_{z})}$los operadores de momento angular habituales que satisfacen las siguientes relaciones de conmutación:${\displaystyle [S_{x},S_{y}]=i\,S_{z}}$y permutaciones cíclicas.

Definir${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm i\,S_{y}}$, entonces${\displaystyle [S_{z},S_{\pm }]=\pm S_{\pm }}$y${\displaystyle [S_{+},S_{-}]=S_{z}}$.

Los autoestados de${\displaystyle S_{z}}$son

${\displaystyle S_{z}|s\rangle =s|s\rangle ,s=-J,\dots ,J.}$

Para${\displaystyle s=J}$el estado${\displaystyle |J\rangle \in \mathbb {C} ^{2J+1}}$Satisface:${\displaystyle S_{z}|J\rangle =J|J\rangle ,}$y${\displaystyle S_{+}|J\rangle =0,S_{-}|J\rangle =|J-1\rangle }$.

Denotemos la esfera unitaria en tres dimensiones por

${\displaystyle \Xi _{2}=\{\Omega =(\theta ,\phi )\ |\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \phi \leq 2\pi \}}$,

y por${\displaystyle L^{2}(\Xi )}$el espacio de funciones de cuadrado integrable en Ξ con la medida

${\displaystyle d\Omega ={\frac {2J+1}{4\pi }}\sin \theta \,d\theta \,d\phi }$.

El estado coherente de Bloch se define por

${\displaystyle |\Omega \rangle \equiv \exp \left\{{\frac {1}{2}}\theta e^{i\phi }S_{-}-{\frac {1}{2}}\theta e^{-i\phi }S_{+}\right\}|J\rangle }$.

Teniendo en cuenta las propiedades anteriores del estado${\displaystyle |J\rangle }$, el estado coherente de Bloch también puede expresarse como

${\displaystyle |\Omega \rangle =(1+|z|^{2})^{-J}e^{zS_{-}}|J\rangle =(1+|z|^{2})^{-J}\sum _ {M=-J}^{J}z^{JM}{\binom {2J}{J+M}}^{1/2}|M\rangle ,}$

dónde${\displaystyle ~~z=e^{i\phi }\tan {\frac {\theta }{2}}}$, y

${\displaystyle |M\rangle ={\binom {2J}{J+M}}^{-1/2}{\frac {1}{(JM)!}}\,S_{-}^{JM}|J\rangle }$

es un autoestado normalizado de${\displaystyle S_{z}}$satisfactorio${\displaystyle S_{z}|M\rangle =M|M\rangle }$.

El estado coherente de Bloch es un autoestado del operador de momento angular rotado.${\displaystyle S_{z}}$con un valor propio máximo. En otras palabras, para un operador de rotación

${\displaystyle R_{\theta ,\phi }=\exp \left\{{\frac {1}{2}}\theta e^{i\phi }S_{-}-{\frac {1}{2}}\theta e^{-i\phi }S_{+}\right\}}$,

el estado coherente de Bloch${\displaystyle |\Omega \rangle }$Satisface

${\displaystyle R_{\theta ,\phi }S_{z}R_{\theta ,\phi }^{-1}\ |\Omega \rangle =J\,|\Omega \rangle }$.

Dada una matriz de densidad ρ , defina la distribución de densidad semiclasica.

${\displaystyle \rho ^{cl}(\Omega )=\langle \Omega |\rho |\Omega \rangle }$.

La entropía de Wehrl de${\displaystyle \rho }$Para los estados coherentes de Bloch, se define como una entropía clásica de la distribución de densidad.${\displaystyle \rho ^{cl}}$,

${\displaystyle S_{W}^{B}(\rho )=S^{cl}(\rho ^{cl})=-\int \rho ^{cl}(\Omega )\ \ln \rho ^{cl}(\Omega )\ d\Omega }$,

dónde${\displaystyle S^{cl}}$es una entropía diferencial clásica.

El análogo de la conjetura de Wehrl para estados coherentes de Bloch fue propuesto en ^{[ 5 ]} en 1978. Sugiere el valor mínimo de la entropía de Werhl para estados coherentes de Bloch,

${\displaystyle S_{W}^{B}(\rho )\geq {\frac {2J}{2J+1}}}$,

y afirma que el mínimo se alcanza si y solo si el estado es un estado coherente de Bloch puro.

En 2012, EH Lieb y JP Solovej demostraron ^{[ 9 ]} una parte sustancial de esta conjetura, confirmando el valor mínimo de la entropía de Wehrl para estados coherentes de Bloch y el hecho de que se alcanza para cualquier estado coherente de Bloch puro. La unicidad de los minimizadores fue demostrada en 2022 por RL Frank ^{[ 10 ]} y A. Kulikov, F. Nicola, J. Ortega-Cerda' y P. Tilli. ^{[ 11 ]}

Para cualquier función cóncava${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$(p.ej${\displaystyle f(x)=-x\log x}$como en la definición de la entropía de Wehrl), y cualquier matriz de densidad ρ , tenemos

${\displaystyle \int f(Q_{\rho }(x,p))dx\,dp\geq \int f(Q_{\rho _{0}}(x,p))dx\,dp}$,

donde ρ ₀ es un estado coherente puro definido en la sección "Conjetura de Wehrl".

La conjetura generalizada de Wehrl para estados coherentes de Glauber se demostró como consecuencia de una afirmación similar para estados coherentes de Bloch. Para cualquier función cóncava${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$y cualquier matriz de densidad ρ que tengamos

${\displaystyle \int f(\langle \Omega |\rho |\Omega \rangle )d\Omega \geq \int f(|\langle \Omega |\Omega _{0}\rangle |^{2})d\Omega }$,

dónde${\displaystyle \Omega _{0}\in \Xi _{2}}$es cualquier punto en una esfera.

La unicidad de los minimizadores fue demostrada en los artículos mencionados anteriormente ^{[ 10 ]} y ^{[ 11 ] .}