Teorema de factorización de Weierstrass

En matemáticas , y particularmente en el campo del análisis complejo , el teorema de factorización de Weierstrass afirma que toda función completa puede representarse como un producto (posiblemente infinito) que involucra sus raíces . Este teorema puede considerarse una extensión del teorema fundamental del álgebra , que afirma que todo polinomio puede factorizarse en factores lineales, uno por cada raíz.

El teorema, que lleva el nombre de Karl Weierstrass , está estrechamente relacionado con un segundo resultado que establece que toda sucesión que tiende al infinito tiene asociada una función entera con ceros precisamente en los puntos de dicha sucesión.

Una generalización del teorema lo extiende a funciones meromorfas y permite considerar una función meromorfa dada como un producto de tres factores: términos que dependen de los ceros y polos de la función, y una función holomorfa no nula asociada .

Es evidente que cualquier conjunto finito${\displaystyle \{c_{n}\}}$de puntos en el plano complejo tiene un polinomio asociado${\textstyle p(z)=\prod _ {n}(z-c_ {n})}$cuyos ceros se encuentran precisamente en los puntos de ese conjunto. El recíproco es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra : cualquier función polinómica${\displaystyle p(z)}$en el plano complejo tiene una factorización${\textstyle p(z)=a\prod _ {n}(z-c_ {n}),}$ donde a es una constante distinta de cero y${\displaystyle \{c_{n}\}}$es el conjunto de ceros de${\displaystyle p(z)}$. ^{[ 1 ]}

Las dos formas del teorema de factorización de Weierstrass pueden considerarse extensiones de lo anterior a funciones enteras. La necesidad de términos adicionales en el producto se demuestra cuando se considera${\textstyle \prod _ {n}(z-c_ {n})}$donde la secuencia${\displaystyle \{c_{n}\}}$no es finito . Nunca puede definir una función completa, porque el producto infinito no converge. Por lo tanto, en general, no se puede definir una función completa a partir de una secuencia de ceros preestablecidos ni representar una función completa mediante sus ceros utilizando las expresiones que proporciona el teorema fundamental del álgebra. En cambio, el teorema las reemplaza con otros factores.

Una condición necesaria para la convergencia del producto infinito en cuestión es que para cada${\displaystyle z}$, los factores que reemplazan${\displaystyle (z-c_{n})}$debe aproximarse a 1 como${\displaystyle n\to \infty }$Por lo tanto, es lógico que se busquen funciones factoriales que puedan ser 0 en un punto determinado, pero que permanezcan cerca de 1 cuando no estén en ese punto, y que además no introduzcan más ceros que los prescritos. Los factores elementales de Weierstrass tienen estas propiedades y cumplen la misma función que los factores${\displaystyle (z-c_{n})}$arriba.

Consideremos las funciones de la forma${\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}$para${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. En${\displaystyle z=0}$, evalúan a${\displaystyle 1}$y tener una pendiente plana en orden hasta${\displaystyle n}$Justo después${\displaystyle z=1}$, caen bruscamente a algún pequeño valor positivo. En contraste, consideremos la función${\displaystyle 1-z}$que no tiene una pendiente plana sino que, en${\displaystyle z=1}$, se evalúa exactamente a cero. También tenga en cuenta que para | z | < 1 ,

${\displaystyle (1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right).}$

Los factores elementales , ^{[ 2 ]} también denominados factores primarios , ^{[ 3 ]} son ​​funciones que combinan las propiedades de pendiente cero y valor cero (véase el gráfico):

${\displaystyle E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{si }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$

Para | z | < 1 y${\displaystyle n>0}$, uno puede expresarlo como ${\textstyle \displaystyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$y se puede leer cómo se hacen cumplir esas propiedades.

La utilidad de los factores elementales${\textstyle E_{n}(z)}$reside en el siguiente lema: ^{[ 2 ]}

Lema (15.8, Rudin) para | z | ≤ 1 ,${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.}$

Sea ƒ una función entera, y sea${\displaystyle \{a_{n}\}}$Sean los ceros no nulos de ƒ repetidos según su multiplicidad; supongamos también que ƒ tiene un cero en z = 0 de orden m ≥ 0. [ ^{a ] ​​Entonces} existe una función completa g y una secuencia de enteros${\displaystyle \{p_{n}\}}$de tal manera que

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).}$^{[ 4 ]}

Aquí se incorpora el caso dado por el teorema fundamental del álgebra. Si la secuencia${\displaystyle \{a_{n}\}}$es finito entonces podemos tomar${\displaystyle p_{n}=0}$,${\displaystyle m=0}$y${\displaystyle e^{g(z)}=c}$para obtener${\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})}$.

Un caso especial del teorema de factorización de Weierstrass se presenta para funciones enteras de orden finito . En este caso,${\displaystyle p_{n}}$se puede tomar independientemente de${\displaystyle n}$y la función${\displaystyle g(z)}$es un polinomio. Por lo tanto $${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})}$$dónde${\displaystyle a_{k}}$son esas raíces de${\displaystyle f}$que no son cero (${\displaystyle a_{k}\neq 0}$),${\displaystyle m}$es el orden del cero de${\displaystyle f}$en${\displaystyle z=0}$(el caso${\displaystyle m=0}$ser tomado para significa${\displaystyle f(0)\neq 0}$),${\displaystyle P}$un polinomio (cuyo grado llamaremos${\displaystyle q}$), y${\displaystyle p}$es el entero no negativo más pequeño tal que la serie$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$$converge. Esto se denomina representación canónica de Hadamard . ^{[ 4 ]} El entero no negativo${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$se denomina el género de toda la función${\displaystyle f}$. El orden${\displaystyle \rho }$de${\displaystyle f}$Satisface$${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}$$ En otras palabras: Si el pedido${\displaystyle \rho }$no es un número entero, entonces${\displaystyle g=[\rho ]}$es la parte entera de${\displaystyle \rho }$Si el orden es un número entero positivo, entonces hay dos posibilidades:${\displaystyle g=\rho -1}$o${\displaystyle g=\rho }$.

Por ejemplo,${\displaystyle \sin }$,${\displaystyle \cos }$y${\displaystyle \exp }$son funciones enteras del género${\displaystyle g=\rho =1}$.

• Teorema de Mittag-Leffler
• Producto de Wallis , que puede derivarse de este teorema aplicado a la función seno.
• Producto Blaschke

• "Teorema de Weierstrass" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

• Visualización de la factorización de Weierstrass de la función seno debida a Euler en la Wayback Machine (archivada el 30 de noviembre de 2018).