Curva plana cúbica

En matemáticas , una curva plana cúbica , a menudo llamada simplemente cúbica , es una curva algebraica plana definida por un polinomio homogéneo de grado 3 en tres variables.${\displaystyle F(X,Y,Z)}$o mediante el polinomio correspondiente en dos variables.${\displaystyle f(x,y)=F(X,Y,1).}$A partir de${\displaystyle f}$⁠ , uno puede recuperarse ⁠${\displaystyle F}$como​​${\displaystyle F(X,Y,Z)=Z^{3}f(X/Z,Y/Z)}$⁠ .

Típicamente, los coeficientes del polinomio pertenecen a${\displaystyle \mathbb {R} ,}$pero pueden pertenecer a cualquier campo${\displaystyle k}$⁠ , en cuyo caso se habla de una cúbica definida sobre ⁠${\displaystyle k}$⁠ . Los puntos de la cúbica son los puntos del espacio proyectivo de dimensión tres sobre el campo de los números complejos (o sobre una clausura algebraica de ⁠${\displaystyle k}$) , cuyas coordenadas proyectivas satisfacen la ecuación de la cúbica$${\displaystyle F(X,Y,Z)=0.}$$ Un punto en el infinito de la cúbica es un punto tal que${\displaystyle Z=0}$⁠ . Un punto real de la cúbica es un punto con coordenadas reales. Un punto definido sobre ⁠${\displaystyle k}$⁠ es un punto con coordenadas en ⁠${\displaystyle k}$⁠ .

Generalmente, se asume implícitamente que el polinomio definitorio es irreducible , ya que, de lo contrario, la ecuación define tres rectas (no necesariamente distintas) o una sección cónica y una recta. Sin embargo, a menudo resulta conveniente incluir las curvas descompuestas en las cúbicas. Cuando se requiere esta distinción, se habla de cúbicas irreducibles y cúbicas descompuestas (o cúbicas degeneradas ).

Una curva plana cúbica , o simplemente cúbica, es básicamente el conjunto de puntos en el plano euclidiano cuyas coordenadas cartesianas son ceros de un polinomio de grado 3 en dos variables: $${\displaystyle f(x,y)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}x^{2}+a_{4}xy+a_{5}y^{2}+a_{6}x^{3}+a_{7}x^{2}y+a_{8}xy^{2}+a_{9}y^{3}}$$

Normalmente, los coeficientes${\displaystyle a_{i}}$son números reales , ylos puntos de la cúbica son ceros reales de${\displaystyle f}$⁠ . Losceros complejos no reales de ⁠${\displaystyle f}$También se consideran puntos cúbicos, y los puntos en el plano euclidiano se denominan puntos reales cúbicos para distinguirlos de los no reales.

Es común y a menudo necesario por razones técnicas extender la cúbica definida por ⁠${\displaystyle f}$⁠ al plano proyectivo , considerando como puntos de la cúbica los puntos del plano proyectivo cuyas coordenadas proyectivas satisfacen ⁠${\displaystyle F(X,Y,Z)=0}$, donde $${\displaystyle F(X,Y,Z)=a_{0}Z^{3}+a_{1}XZ^{2}+a_{2}YZ^{2}+a_{3}X^{2}Z+a_{4}XYZ+a_{5}Y^{2}Z+a_{6}X^{3}+a_{7}X^{2}Y+a_{8}XY^{2}+a_{9}Y^{3}.}$$ Los puntos del plano euclidiano se identifican con los puntos del plano proyectivo con ⁠${\displaystyle Z\neq 0}$por la relación${\displaystyle x=X/Z,y=Y/Z}$⁠ . Los puntos de la cúbica tales que ⁠${\displaystyle Z=0}$Se les llama puntos en el infinito de la cúbica.

Todo lo anterior se aplica reemplazando el campo .${\displaystyle \mathbb {R} }$de los números reales con cualquier campo${\displaystyle k}$⁠ , el plano euclidiano con un plano afín sobre ⁠${\displaystyle k}$⁠ , los números complejos con un cuerpo algebraicamente cerrado ⁠${\displaystyle K}$que contiene​${\displaystyle k}$⁠ , "punto real" con "punto definido sobre ⁠${\displaystyle k}$" o "${\displaystyle k}$-punto ", etc.

Un polinomio cúbico se degenera o descompone si el polinomio ⁠${\displaystyle f}$( equivalentemente )${\displaystyle F}$⁠ ) ​​no es absolutamente irreducible . En este caso, o bien hay un factor irreducible de grado 2 y el cúbico se descompone en una cónica y una recta, o bien hay tres factores lineales que corresponden a la descomposición del cúbico en tres rectas que no son necesariamente distintas. Un cúbico no degenerado se denomina cúbico irreducible .

En el plano proyectivo sobre el cuerpo algebraicamente cerrado${\displaystyle K}$Cada línea interseca la cúbica en tres puntos, no necesariamente distintos (se da una excepción si la línea es un componente de una cúbica descompuesta).

Los cubos reales pueden tener muchas formas en un plano euclidiano .

En la forma normal de Weierstrass $${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b,}$$ Su forma depende de los parámetros .${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$⁠ , y, más específicamente sobre los signos de ⁠${\displaystyle a}$,​​${\displaystyle b}$y​​${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}}$:​

• Si​${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}=0}$⁠ , el cúbico es singular.
  • Si​${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}=a=0}$⁠ , el punto singular es una cúspide .
  • Si​${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}=0}$y​​${\displaystyle b<0}$Hay un ánodo .
  • Si​${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}=0}$y​​${\displaystyle b>0}$Hay un cruno .
• Si​${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}>0}$⁠ , la cúbica no es singular y tiene una única rama no acotada; el signo de ⁠${\displaystyle a}$⁠ determina si hay tangentes paralelas a la ⁠${\displaystyle x}$-eje .
• Si​${\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}<0}$⁠ , la cúbica no es singular y tiene una rama no acotada y un "óvalo" (curva cerrada).

• Cúbicas no singulares en forma de Weierstrass
• 
  Una rama sin tangente horizontal
• 
  Una rama con inflexiones horizontales ( curva de Mordell ) y ² = x ³ + 1
• 
  Una rama con tangentes horizontales
• 
  Dos ramas y ² = x ³ − x

En los siguientes gráficos, el punto singular se sitúa en el origen. Excepto en el caso de la parábola semicúbica, se requiere una traslación de 1/3 a la izquierda o a la derecha para obtener una forma de Weierstrass auténtica.

• Cúbicas singulares en forma de Weierstrass
• 
  Punto aislado y ² = x ³ − x ²
• 
  parábola semicúbica y ² = x ³
• 
  Punto doble y ² = x ³ + x ²

Para los cubos que no están en la forma normal de Weierstrass, la forma depende de la forma de la forma de Weierstrass correspondiente y de la configuración de la intersección con la línea en el infinito.

• cúbicas singulares
• 
  Punto aislado ^en el ^origen x³ ⁺ y³ = x² ⁺ y²
• 
  Hoja de ^Descartes y³ ⁺ x³ − 3xy = 0
• 
  Curva del tridente Punto doble en el infinito xy = 1 - x − x ² − x ³
• 
  Gráfica de una función cúbica. Cúspide en el infinito.
• 
  Bruja de Agnesi Punto aislado en el infinito sobre el eje y y ( x ² + a ² ) = a ³

• cúbicas elípticas
• 
  Un óvalo proyectivo 2 x ² y + y ² = x
• 
  Dos óvalos proyectivos cúbicos de Tucker (rojo)

Se dice que una cúbica irreducible es singular si tiene un punto singular en el plano proyectivo, aunque no tenga ninguno en el plano euclidiano.

En particular, la gráfica de una función cúbica${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$Es regular en el plano euclidiano pero tiene un punto singular en el infinito en la dirección del eje y (el punto de coordenadas proyectivas ).${\displaystyle (0:1:0)}$⁠ ). Este punto es una cúspide con la línea en el infinito como su tangente doble. Otros ejemplos de cúbicas singulares que son regulares en el plano euclidiano son la curva del tridente con un punto doble en el infinito y la bruja de Agnesi con un punto aislado en el infinito. Todas estas cúbicas son casos especiales de las cúbicas singulares de la ecuación ⁠${\displaystyle yp(x)=q(x)}$, donde​${\displaystyle p}$y​​${\displaystyle q}$son polinomios en${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle \max(\deg(q),1+\deg(p))=3}$⁠ .

Ejemplos de cúbicas que tienen un punto doble en el plano euclidiano son el folium de Descartes , la cúbica de Tschirnhausen y la trisectrix de Maclaurin . Ejemplos con una cúspide son la parábola semicúbica y la cissoide de Diocles . La curva${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x^{2}}$es un ejemplo que tiene un punto aislado en el origen. ^{[ 1 ]}

Las cúbicas singulares también se denominan cúbicas unicursales , ya que un punto móvil que recorre la cúbica puede cubrirla por completo en un solo trayecto (excepto el punto doble aislado, si lo hay). Son las cúbicas racionales , es decir, las cúbicas que admiten una parametrización racional , una parametrización en términos de funciones racionales .

En efecto, las rectas que pasan por el punto singular dependen de un único parámetro, que puede ser la pendiente en el plano euclidiano. Los tres puntos de intersección de la recta cúbica con dicha recta consisten en dos veces el punto singular y un único punto adicional cuya coordenada se puede obtener resolviendo una ecuación lineal.

Más precisamente, dada una cónica singular, se pueden cambiar las coordenadas para tener el punto singular en el origen. Entonces la ecuación de la cúbica tiene la forma ${\displaystyle c(x,y)-q(x,y)=0,}$donde​${\displaystyle c}$y​​${\displaystyle q}$son polinomios homogéneos de grados respectivos3 y 2. Estableciendo${\displaystyle y=tx}$⁠ , uno obtiene $${\displaystyle c(x,tx)-q(x,y)=x^{2}(xc(1,t)-q(1,t)),}$$ dando la ecuación paramétrica$${\displaystyle x={\frac {q(1,t)}{c(1,t)}},\qquad y={\frac {tq(1,t)}{c(1,t)}}.}$$ Si se desea, se puede revertir el cambio de coordenadas para tener la parametrización en términos de las coordenadas originales.

Por el contrario, si${\displaystyle q_{0}(t)}$,​​${\displaystyle q_{1}(t)}$y​​${\displaystyle q_{2}(t)}$Si son tres polinomios sin factor común, cuyo grado máximo es 3, entonces la ecuación paramétrica$${\displaystyle x={\frac {q_{1}(t)}{q_{0}(t)}},\qquad y={\frac {q_{2}(t)}{q_{0}(t)}}}$$ define una cúbica singular cuya ecuación implícita se puede obtener como la resultante$${\displaystyle \operatorname {Res} _{t}(xq_{0}(t)-q_{1}(t),yq_{0}(t)-q_{2}(t)).}$$

En un campo de característica diferente de 2 y 3, toda cúbica irreducible puede transformarse en la forma normal de Weierstrass.$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c}$$ mediante una transformación proyectiva , o equivalentemente mediante un cambio de coordenadas proyectivas. ^{[ 2 ]} Los parámetros ⁠${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$Puede pertenecer al campo de definición de la cúbica, incluso si la transformación proyectiva requiere trabajar sobre una extensión algebraica de dicho campo. Sobre los números reales, siempre es posible una transformación proyectiva real.

Para este cambio de coordenadas se puede proceder de la siguiente manera.

En primer lugar, elija un punto de inflexión y un sistema de coordenadas proyectivas de tal manera que el punto de inflexión se encuentre en el infinito en la dirección de la${\displaystyle y}$-eje (es decir, el punto${\displaystyle (0:1:0)}$) , con la recta en el infinito como su tangente. Sobre los campos reales, siempre hay un punto de inflexión real, y la transformación proyectiva es real. Sobre otros campos, puede ser necesaria una extensión algebraica del campo . La ecuación resultante tiene la forma $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=ey^{2}+fxy+gy.}$$ Uno tiene${\displaystyle a\neq 0}$⁠ , ya que, de lo contrario, la línea en el infinito sería un componente de la curva. También se tiene ⁠${\displaystyle e\neq 0}$⁠ , ya que de lo contrario, el punto ⁠${\displaystyle (0:1:0)}$Sería un punto singular y, por lo tanto, no un punto de inflexión .

La transformación${\displaystyle (x\mapsto aex,\quad y\mapsto a^{2}ex)}$y la división de toda la ecuación por${\displaystyle a^{4}e^{2}}$permite suponer​${\displaystyle a=e=1}$⁠ . La transformación ⁠${\displaystyle y\mapsto y-(fx+g)/2}$da​​${\displaystyle f=g=0}$( variante de completar el cuadrado ). Finalmente, la transformación${\displaystyle x\mapsto x-b/3}$( Al deprimir la cúbica ) se obtiene la forma normal de Weierstrass.

La forma normal de Weierstrass no es única ya que la transformación${\displaystyle (x\mapsto x/\lambda ^{2},\quad y\mapsto y/\lambda ^{3})}$y la multiplicación de toda la ecuación por${\displaystyle \lambda ^{6}}$equivale a multiplicar el coeficiente de${\displaystyle x}$y el coeficiente constante por${\displaystyle \lambda ^{4}}$y​​${\displaystyle \lambda ^{6}}$respectivamente .

La teoría de invariantes (véase más abajo) muestra que no existen otras formas normales de Weierstrass para una cúbica dada, incluso si se cambia la elección inicial de un punto de inflexión. Además, incluso si el punto de inflexión no está definido sobre el campo de definición de la cúbica, se puede elegir ⁠${\displaystyle \lambda }$para obtener una forma normal de Weierstrass con coeficientes en el campo de definición de la cúbica.

La ecuación de una cúbica en el plano proyectivo tiene la forma $${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}y^{3}+a_{2}z^{3}+a_{3}x^{2}y+a_{4}x^{2}z+a_{5}y^{2}x+a_{6}y^{2}z+a_{7}z^{2}x+a_{8}z^{2}y+a_{9}xyz=0,}$$ Las demás ecuaciones de la misma cúbica se obtienen multiplicando todos los coeficientes por el mismo escalar. Dado que hay 10 coeficientes, las cúbicas forman un espacio proyectivo de dimensión 9.

El paso por un punto dado induce una restricción lineal en los coeficientes de una cúbica. Esto significa que las cúbicas que pasan por un punto dado forman un hiperplano en el espacio proyectivo de las cúbicas. Por lo tanto, para${\displaystyle n\leq 9}$⁠ , el conjunto de los cúbicos que pasan por ⁠${\displaystyle n}$⁠ dados los puntos es un espacio proyectivo de dimensión es al menos ⁠${\displaystyle 9-n}$Por consiguiente , existe al menos una cúbica (posiblemente degenerada) que pasa por nueve puntos dados. En general, solo existe una de estas cúbicas, pero para ciertas configuraciones de puntos puede haber varias. Por ejemplo, si los nueve puntos están en la misma línea, todas las cúbicas descompuestas que tienen esta línea como componente pasan por estos nueve puntos.

Esto se compara con el hecho de que dos puntos definen una línea única si y solo si los puntos son distintos, y cinco puntos definen una cónica si y solo si no hay cuatro de ellos colineales . La principal diferencia aquí es que no existe una caracterización simple de las configuraciones de 9 puntos por las que pasan varias cúbicas. Si dos cúbicas pasan por nueve puntos dados, entonces todas las combinaciones lineales de sus ecuaciones definen una cúbica que pasa por los puntos, formando un haz de cúbicas, es decir, una línea en el espacio proyectivo de las cúbicas.

Según el teorema de Bézout , dos cúbicas se intersecan en nueve puntos (contados con su multiplicidad, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado). Esto parece contradecir el resultado anterior de que, en general , nueve puntos definen una única cúbica. Esta aparente contradicción, conocida como la paradoja de Cramer , implica que los nueve puntos de intersección de dos cúbicas no se encuentran en posición general.

No existe una caracterización sencilla de la posición general de nueve puntos, pero el teorema de Cayley-Bacharach caracteriza la posición general de ocho puntos: ocho puntos están en posición general si ninguna recta pasa por cuatro de ellos y ninguna cónica pasa por siete de ellos. Esto implica que las cúbicas que pasan por los ocho puntos forman un haz (línea proyectiva), y que todas las cúbicas que pasan por estos ocho puntos pasan por un único noveno punto. Dadas las coordenadas de los ocho puntos, el álgebra lineal permite calcular este noveno punto. Por lo tanto, cada noveno punto alterno proporciona nueve puntos en posición general.

En esta sección se considera una cúbica no singular fija, que se define sobre un cuerpo ⁠${\displaystyle k}$y tiene un punto de inflexión. denotado${\displaystyle O}$que también se define sobre${\displaystyle k}$⁠ . La líneaque pasa por dos puntos igualesdel cubo se define como la línea tangente al cubo en el punto.

Una de las propiedades principales de una cúbica no singular es que, bajo las hipótesis anteriores, el${\displaystyle k}$-puntos de la cúbica (puntos definidos sobre${\displaystyle k}$) forman un grupo abeliano , definido de la siguiente manera. El elemento identidad es el punto${\displaystyle O}$⁠ . lo contrario ⁠${\displaystyle -P}$de un punto${\displaystyle P}$es el tercer punto de intersección de la curva y la línea${\displaystyle OP}$⁠ . Dados dos puntos ⁠${\displaystyle P}$y​​${\displaystyle Q}$⁠ , su suma ⁠${\displaystyle P+Q}$es el opuesto del tercer punto de intersección de la curva y la línea${\displaystyle OP}$⁠ .

Esta operación está cerrada el ⁠${\displaystyle k}$-puntos . De hecho, la ecuación de la recta que pasa por dos${\displaystyle k}$-puntos de la cúbica tienen coeficientes que pertenecen a${\displaystyle k}$⁠ . La intersección de dicha línea y la cúbica conduce a una ecuación cúbica con coeficientes en ⁠${\displaystyle k}$⁠ , que tiene dos raíces en ⁠${\displaystyle k}$⁠ , correspondientes a los puntos de partida. Factorizando estas dos raíces conocidas se obtiene una ecuación lineal con coeficientes en ⁠${\displaystyle k}$⁠ , dando una solución en ⁠${\displaystyle k}$⁠ , y por lo tanto un ⁠${\displaystyle k}$-punto .

Todos los axiomas de grupo , excepto la asociatividad, resultan inmediatamente de las definiciones. La demostración de la asociatividad es más complicada.

Si la cúbica está en forma normal de Weierstrass $${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b,}$$El punto de inflexión elegido es el punto en el infinito en la dirección de la${\displaystyle y}$-eje (punto de coordenadas proyectivas )${\displaystyle x=0,y=1,t=0}$) . De ello se deduce que para cada punto${\displaystyle P}$del cúbico ,${\displaystyle P}$y​​${\displaystyle -P}$son simétricos con respecto a${\displaystyle x}$-eje .

La ley de grupo se define de la siguiente manera: el elemento identidad${\displaystyle O}$es el punto de inflexión elegido . Para cada punto${\displaystyle P}$⁠ , el inverso aditivo ⁠${\displaystyle -P}$⁠ es el tercer punto de intersección de la curva y la línea que pasa por ⁠${\displaystyle O}$y​​${\displaystyle P}$⁠ . Dados dos puntos ⁠${\displaystyle P}$y​​${\displaystyle Q}$⁠ , su suma ⁠${\displaystyle P+Q}$⁠ es el inverso aditivo del tercer punto de intersección de la curva y la línea que pasa por ⁠${\displaystyle P}$y​​${\displaystyle Q}$En lo que precede, la línea que pasa por dos puntos iguales de la curva es la tangente a la curva en ese punto, y si una línea es tangente a la curva, dos de los puntos de intersección son iguales ( tres, si el punto es un punto de inflexión).

El grupo de los ⁠${\displaystyle k}$Los puntos de una cúbica no singular han sido ampliamente estudiados. El teorema de Mordell-Weil establece que es finitamente generada cuando${\displaystyle k}$es un cuerpo numérico algebraico .

Si​${\displaystyle k}$⁠ es un cuerpo finito el grupo es evidentemente finito, pero su orden es difícil de estimar con exactitud (en general, solo se pueden dar aproximaciones). De ello se deduce que dado un punto ⁠${\displaystyle P}$⁠ , es difícil encontrar un punto ⁠${\displaystyle Q}$de tal manera que${\displaystyle P=nQ}$, Donde​${\displaystyle nQ}$es la suma de${\displaystyle n}$copias de​${\displaystyle Q}$Esto se utiliza ampliamente en la criptografía de clave pública .

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , los nueve puntos de inflexión de una cúbica no singular tienen una configuración particular, llamada configuración de Hesse .

Denotando​${\displaystyle 2P=P+P}$y​​${\displaystyle 3P=P+P+P}$⁠ , los puntos de inflexión de una cúbica son exactamente los puntos tales que ⁠${\displaystyle 3P=O}$⁠ . Entonces, si ⁠${\displaystyle P}$y​​${\displaystyle Q}$son puntos de inflexión ,${\displaystyle P+Q}$También es un punto de inflexión, y los puntos de inflexión forman un espacio vectorial sobre el campo .${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$Con tres elementos, las líneas que pasan por tres puntos de inflexión corresponden a líneas afines en este espacio vectorial. Así , los puntos de inflexión forman una configuración de 9 puntos y 12 líneas, de modo que cada línea pasa por exactamente 3 puntos y cada punto pertenece a exactamente 4 líneas. Según el teorema de Sylvester-Gallai , los 9 puntos de inflexión no pueden ser todos reales.

La configuración de Hesse consta de 9 puntos del plano proyectivo complejo que realizan la configuración anterior en el plano proyectivo complejo. Estos puntos son los puntos cuyas coordenadas proyectivas son${\displaystyle (0:1:\zeta )}$o una permutación circular de la misma, donde${\displaystyle \zeta }$cualquier raíz del polinomio${\displaystyle x^{3}+1}$⁠ .

Los puntos de la configuración de Hesse se suelen presentar en una cuadrícula de 3 por 3 de la siguiente manera, donde${\displaystyle \xi }$es una raíz de${\displaystyle x^{2}-x+1}$:​ $${\displaystyle {\begin{matrix}(0:1:-1)&(-1:0:1)&(1:-1:0)\\(0:1:\xi )&(\xi :0:1)&(1:\xi :0)\\(0:\xi :1)&(1:0:\xi )&(\xi :1:0)\end{matrix}}}$$ Las líneas que pasan por estos puntos están representadas en la figura.

Para cada cúbica real no singular, existe una transformación proyectiva real que mapea los puntos de inflexión de la cúbica sobre la configuración de Hesse, lo que resulta en la ecuación proyectiva. $${\displaystyle X^{3}+Y^{3}+Z^{3}=3\,kXYZ,}$$ llamada la forma normal de Hesse de la cúbica.

Por el contrario, si la ecuación de una cúbica tiene esta forma, la cúbica es no singular si y solo si${\displaystyle k\neq 1}$⁠ . Si ⁠${\displaystyle k=1}$⁠ ,el punto ⁠${\displaystyle (1:1:1)}$es un punto singular aislado. Si${\displaystyle k>1}$⁠ , la curva consta de dos "óvalos" (componentes conectadas en el plano proyectivo real); si ⁠${\displaystyle k<1}$La curva consta de un único óvalo.

Dada una cúbica no singular en forma normal de Hesse, la forma normal de Weierstrass${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$⁠ se puede obtener tomando como línea en el infinito la línea ⁠${\displaystyle Y+Z-kX=0}$⁠ . Los parámetros ⁠${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$son funciones racionales de${\displaystyle k}$⁠ . De ello se deduce que toda función racional de ⁠${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$También es una función racional de${\displaystyle k}$⁠ , que proporciona una ecuación en ⁠${\displaystyle k}$⁠ , eliminando denominadores. Dicha ecuación viene dada por la ⁠${\displaystyle J}$-invariante ^{[ 3 ]}​$${\displaystyle J={\frac {4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}}=\left({\frac {k^{4}+8k}{4k^{3}-4}}\right)^{3},}$$ lo que da una ecuación de grado 12 en ⁠${\displaystyle k}$⁠ . Esto permite recuperar el parámetro ⁠${\displaystyle k}$de la forma normal hessiana a partir de los parámetros${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$de la forma normal de Weierstrass.

En el caso de un cubo real, exactamente dos de estos 12 valores de ⁠${\displaystyle k}$son reales, correspondientes a los dos signos posibles de${\displaystyle b}$⁠ , o, si ⁠${\displaystyle b=0}$⁠ , a los dos posibles signos de ⁠${\displaystyle a}$⁠ . En otras palabras, las cúbicas reales no singulares se caracterizan, salvo una transformación proyectiva real, por el parámetro ⁠${\displaystyle k}$o su forma normal hessiana.

Como se mencionó anteriormente, las curvas cúbicas en un plano proyectivo sobre cualquier cuerpo forman un espacio proyectivo de nueve dimensiones. Sin embargo, el espacio de transformaciones proyectivas del plano que contiene estas curvas tiene solo ocho grados de libertad (los nueve coeficientes de una transformación lineal en coordenadas homogéneas, menos uno para equivalencias escalares), por lo que existe una familia unidimensional de curvas cúbicas que no son equivalentes bajo transformaciones proyectivas.

Cualquier curva cúbica no singular (sobre un campo de características)${\displaystyle \notin \{2,3\}}$) puede transformarse mediante transformación proyectiva en cualquiera de dos formas canónicas, la forma normal de Hesse${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3kxyz}$(para un solo coeficiente)${\displaystyle k}$, una curva en el lápiz de Hesse), o la forma normal estándar o la forma normal de Weierstrass${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$(para dos coeficientes)${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$). Toda curva cúbica no singular puede colocarse en forma de Hesse, ^{[ 4 ]} y toda curva cúbica irreducible con un punto de inflexión puede colocarse en forma normal estándar, con el punto de inflexión en el infinito. ^{[ 5 ]}

En el caso real, las cúbicas no singulares se clasifican completamente por el coeficiente real.${\displaystyle k}$de la forma normal de Hesse. Las curvas en esta forma se reducen a un punto aislado y una línea cuando${\displaystyle k=1}$y son no singulares cuando${\displaystyle k\neq 1}$; en el límite como${\displaystyle k\to \infty }$degeneran en una cúbica reducible con tres líneas. ^{[ 6 ]} Curvas reales con${\displaystyle k>1}$tienen dos componentes proyectivas y con${\displaystyle k<1}$tienen un componente. Dos cúbicas no singulares son proyectivamente equivalentes si y solo si tienen la misma forma normal de Hesse. ^{[ 7 ]} Las mismas curvas se clasifican casi completamente por el invariante j de la forma normal estándar, ^{[ 3 ]}$${\displaystyle J={\frac {4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}}=\left({\frac {k^{4}+8k}{4k^{3}-4}}\right)^{3},}$$ un número que permanece invariable entre curvas proyectivamente equivalentes en diferentes formas normales estándar: cada número real es el j-invariante de dos curvas cúbicas reales no singulares diferentes. Estas curvas difieren entre sí en el signo de${\displaystyle b}$o, si${\displaystyle b=0}$, en el signo de${\displaystyle a}$Son equivalentes bajo transformaciones proyectivas complejas, pero no bajo transformaciones proyectivas reales . ^{[ 8 ]}

En el caso complejo, las cúbicas no singulares se clasifican completamente por el invariante j: todo número complejo es el invariante j de una curva cúbica, y dos curvas cúbicas no singulares son proyectivamente equivalentes si y solo si tienen el mismo invariante j. ^{[ 9 ]} El caso para el coeficiente${\displaystyle k}$de la forma normal de Hesse es más complicada. La curva es singular cuando${\displaystyle k^{3}=1}$o para el cúbico reducible${\displaystyle xyz=0}$que puede interpretarse como la forma normal de Hesse con${\displaystyle k=\infty }$. ^{[ 10 ]} Existe un grupo finito de doce elementos de transformaciones de Möbius tal que dos curvas en forma normal de Hesse, con coeficientes${\displaystyle k}$y${\displaystyle k'}$son proyectivamente equivalentes si y solo si algún elemento de este grupo mapea${\displaystyle k}$a${\displaystyle k'}$Este mismo grupo se puede utilizar para proporcionar una fórmula de producto que mapee cualquier coeficiente.${\displaystyle k}$al invariante j correspondiente. ^{[ 9 ]}

De las simetrías de la forma normal de Hesse se deduce que toda curva proyectiva compleja no singular tiene un grupo de al menos 18 automorfismos proyectivos (transformaciones proyectivas que dejan la curva inalterada), ^{[ 11 ]} y que toda curva proyectiva real no singular tiene un grupo de al menos 6 automorfismos proyectivos. ^{[ 12 ]}

En relación con un triángulo dado , muchas cúbicas con nombre pasan por los vértices del triángulo y sus centros triangulares . Estas incluyen las curvas que se enumeran a continuación utilizando coordenadas baricéntricas . En este sistema de coordenadas, cada una de las tres coordenadas${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$Proporciona la distancia con signo desde la línea que pasa por un lado del triángulo, normalizada de modo que los vértices del triángulo tengan coordenadas (0,0,1), (0,1,0) y (1,0,0). Los ejemplos a continuación simplifican las ecuaciones para cada cúbica utilizando la notación de suma cíclica. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\text{cyclic}}&f(x,y,z,a,b,c)=\\&f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y).\\\end{aligned}}}$$

Entre los cubos triangulares más destacados se incluyen los siguientes.

• La cúbica de Neuberg tiene la ecuación ^{[ 13 ].}$${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0.}$$
• La cúbica de Thomson tiene la ecuación ^{[ 14 ].}$${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0.}$$
• La ecuación cúbica de McCay ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0.}$$

• Cúbica retorcida , una curva espacial cúbica

• Artebani, Michela; Dolgachev, Igor (2009), "El lápiz de Hesse de curvas cúbicas planas", L'Enseignement Mathématique , 55 ( 3– 4): 235– 273, arXiv : math/0611590 , doi : 10.4171/LEM/55-3-3 , MR 2583779 
• Bix, Robert (1998), Cónicas y cúbicas: Una introducción concreta a las curvas algebraicas , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-98401-1
• Bonifant, Araceli; Milnor, John (2017), "Sobre curvas cúbicas reales y complejas", L'Enseignement Mathématique , 63 ( 1– 2): 21– 61, arXiv : 1603.09018 , doi : 10.4171/LEM/63-1/2-2 , MR 3777131 
• Bernard, Gibert, "Catálogo de cubos triangulares" , Cúbicos en el plano del triángulo , Bernard Gibert , consultado el 13 de octubre de 2025.

• Catálogo de curvas planas cúbicas (versión archivada)
• Puntos sobre cubos
• Cúbicas en el plano triangular
• Isocúbicas especiales en el plano triangular (pdf), por Jean-Pierre Ehrmann y Bernard Gibert
• "Curvas cúbicas reales y complejas - John Milnor, Universidad de Stony Brook [ 2016 ] " , YouTube , Matemáticas para Graduados, 27 de junio de 2018Conferencia impartida en julio de 2016 en el ICMS de Edimburgo, en el marco de una conferencia en honor al 70 cumpleaños de Dusa McDuff.