Restricción de Weil

En matemáticas , la restricción de escalares (también conocida como " restricción de Weil ") es un functor que, para cualquier extensión finita de cuerpos L/k y cualquier variedad algebraica X sobre L , produce otra variedad Res _{L / k} X , definida sobre k . Resulta útil para reducir problemas sobre variedades sobre cuerpos grandes a problemas sobre variedades más complejas sobre cuerpos más pequeños.

Sea L/k una extensión finita de cuerpos, y X una variedad definida sobre L. El functor${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$de k - esquemas ^op a conjuntos se define por

${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}$

(En particular, los puntos k -racionales de${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$son los puntos L -racionales de X. ) La variedad que representa este functor se llama restricción de escalares, y es única salvo isomorfismo único si existe.

Desde el punto de vista de los haces de conjuntos, la restricción de escalares es simplemente un avance a lo largo del morfismo.${\displaystyle \operatorname {Spec} (L)\to \operatorname {Spec} (k)}$y es adjunto derecho al producto fibrado de esquemas , por lo que la definición anterior puede reformularse con mucha más generalidad. En particular, se puede reemplazar la extensión de cuerpos por cualquier morfismo de topoi anillados , y las hipótesis sobre X pueden debilitarse a, por ejemplo, pilas. Esto conlleva la desventaja de tener menos control sobre el comportamiento de la restricción de escalares.

Para cualquier extensión finita de cuerpos, la restricción de escalares transforma variedades cuasiproyectivas en variedades cuasiproyectivas. La dimensión de la variedad resultante se multiplica por el grado de la extensión.

Bajo hipótesis apropiadas (por ejemplo, planas, propias, presentadas finitamente), cualquier morfismo${\displaystyle T\to S}$de espacios algebraicos produce una restricción de functor escalar que transforma pilas algebraicas en pilas algebraicas, preservando propiedades como Artin, Deligne-Mumford y representabilidad.

Algunos ejemplos sencillos son los siguientes:

1. Sea L una extensión finita de k de grado s . Entonces${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}(\operatorname {Spec} (L))=\operatorname {Spec} (k)}$y${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {A} ^{1}}$es un espacio afín de dimensión s${\displaystyle \mathbb {A} ^{s}}$sobre Spec k .
2. Si X es una variedad L afín , definida por$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dotsc ,f_{m});}$$podemos escribir${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$como especificación${\displaystyle k[y_{i,j}]/(g_{l,r})}$, dónde${\displaystyle y_{i,j}}$(${\displaystyle 1\leq i\leq n,1\leq j\leq s}$) son nuevas variables, y${\displaystyle g_{l,r}}$(${\displaystyle 1\leq l\leq m,1\leq r\leq s}$) son polinomios en${\displaystyle y_{i,j}}$dado tomando una base k${\displaystyle e_{1},\dotsc,e_{s}}$de L y configuración${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dotsb +y_{i,s}e_{s}}$y${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dotsb +g_{t,s}e_{s}}$.

Si un esquema es un esquema de grupo , cualquier restricción de Weil que se aplique también lo será. Esto se usa frecuentemente en teoría de números , por ejemplo:

1. El toroide$${\displaystyle \mathbb {S}$$ :=\operatorname {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}} donde${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$denota el grupo multiplicativo, juega un papel significativo en la teoría de Hodge , ya que la categoría tannakiana de estructuras de Hodge reales es equivalente a la categoría de representaciones de${\displaystyle \mathbb {S} .}$Los puntos reales tienen una estructura de grupo de Lie isomorfa a${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$. Véase el grupo Mumford-Tate .
2. La restricción de Weil${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {G} }$de una variedad de grupo (conmutativa)${\displaystyle \mathbb {G} }$es nuevamente una variedad de grupo (conmutativa) de dimensión${\displaystyle [L:k]\dim \mathbb {G} ,}$si L es separable sobre k .
3. La restricción de escalares en variedades abelianas (por ejemplo, curvas elípticas ) produce variedades abelianas si L es separable sobre k . James Milne utilizó esto para reducir la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sobre variedades abelianas en todos los cuerpos numéricos a la misma conjetura sobre los racionales.
4. En la criptografía de curvas elípticas , el ataque de descenso de Weil utiliza la restricción de Weil para transformar un problema de logaritmo discreto en una curva elíptica sobre un campo de extensión finito L/K, en un problema de logaritmo discreto en la variedad jacobiana de una curva hiperelíptica sobre el campo base K, que es potencialmente más fácil de resolver debido al menor tamaño de K.

La restricción de escalares es similar a la transformación de Greenberg, pero no la generaliza, ya que el anillo de vectores de Witt en un álgebra conmutativa A no es en general un álgebra A.

La referencia original es la Sección 1.3 de las Conferencias de Weil de 1959-1960, publicadas como:

• André Weil. "Adeles y grupos algebraicos", Progress in Math. 23 , Birkhäuser 1982. Apuntes de las clases impartidas entre 1959 y 1960.

Otras referencias:

• Sigfrido Bosch , Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud . "Modelos Néron", Springer-Verlag, Berlín 1990.
• James S. Milne . "Sobre la aritmética de las variedades abelianas", Invent. Math. 17 (1972) 177-190.
• Martin Olsson. "Hom stacks and restriction of scalars", Duke Math J., 134 (2006), 139–164. http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
• Bjorn Poonen. "Puntos racionales en variedades", http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
• Nigel Smart , página sobre el descenso de Weil con bibliografía, https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html