Cofibración

En lo que sigue, dejemos${\displaystyle I=[0,1]}$denota el intervalo unitario.

Un mapa${\displaystyle i\colon A\to X}$de espacios topológicos se llama cofibración ^{[ 1 ] pág. 51} si para cualquier mapa${\displaystyle f:A\to S}$de tal manera que haya una extensión a${\displaystyle X}$(significado: hay un mapa)${\displaystyle f':X\to S}$de tal manera que${\displaystyle f'\circ i=f}$), podemos extender una homotopía de mapas${\displaystyle H:A\times I\to S}$a una homotopía de mapas${\displaystyle H':X\times I\to S}$, dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}}$

Podemos codificar esta condición en el siguiente diagrama conmutativo.

dónde${\displaystyle S^{I}}$es el espacio de caminos de${\displaystyle S}$Equipado con una topología compacta y abierta.

Para la noción de cofibración en una categoría modelo, véase categoría modelo .

Los topólogos han estudiado durante mucho tiempo las nociones de "buen incrustamiento de subespacios", muchas de las cuales implican que el mapa es una cofibración, o viceversa, o tienen propiedades formales similares con respecto a la homología. En 1937, Borsuk demostró que si${\displaystyle X}$es un espacio binormal (${\displaystyle X}$es normal, y su producto con el intervalo unitario${\displaystyle X\times I}$es normal) entonces cada subespacio cerrado de${\displaystyle X}$tiene la propiedad de extensión homotópica con respecto a cualquier retracción de vecindario absoluto. Asimismo, si${\displaystyle A}$es un subespacio cerrado de${\displaystyle X}$y la inclusión del subespacio${\displaystyle A\times I\cup X\times {1}\subset X\times I}$es una retractación absoluta del vecindario, luego la inclusión de${\displaystyle A}$en${\displaystyle X}$es una cofibración. ^{[ 2 ] [ 3 ]} El libro de texto introductorio de Hatcher, Topología Algebraica, utiliza una noción técnica de par bueno que tiene la misma secuencia exacta larga en homología singular asociada a una cofibración, pero no es equivalente. La noción de cofibración se distingue de estas porque su definición en teoría de la homotopía es más susceptible al análisis formal y a la generalización.

Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una aplicación continua entre espacios topológicos, hay un espacio topológico asociado${\displaystyle Mf}$llamado cilindro de mapeo de${\displaystyle f}$. Existe una incrustación de subespacio canónica${\displaystyle i:X\to Mf}$y un mapa de proyección${\displaystyle r:Mf\to Y}$de tal manera que${\displaystyle r\circ i=f}$como se muestra en el diagrama conmutativo a continuación. Además,${\displaystyle i}$es una cofibración y${\displaystyle r}$es una equivalencia homotópica. Este resultado se puede resumir diciendo que "toda aplicación es equivalente en la categoría homotópica a una cofibración".

Arne Strøm ha demostrado un fortalecimiento de este resultado, que cada mapa${\displaystyle f:X\to Y}$factores como la composición de una cofibración y una equivalencia homotópica que también es una fibración . ^{[ 4 ]}

Un espacio topológico${\displaystyle X}$con punto de base distinguido${\displaystyle x}$Se dice que está bien apuntado si el mapa de inclusión${\displaystyle {x}\to X}$es una cofibración.

El mapa de inclusión${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}$de la esfera límite de un disco sólido es una cofibración para cada${\displaystyle n}$.

Un hecho frecuentemente utilizado es que una inclusión celular es una cofibración (por lo tanto, por ejemplo, si${\displaystyle (X,A)}$es un par CW , entonces${\displaystyle A\to X}$es una cofibración). Esto se deduce del hecho anterior y del hecho de que las cofibraciones son estables bajo empuje, porque los empujes son los mapas de pegado a la${\displaystyle n-1}$esqueleto.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ser una categoría abeliana con suficientes proyectivos.

Si dejamos${\displaystyle C_{+}({\mathcal {A}})}$ser la categoría de complejos de cadena que son${\displaystyle 0}$en grados${\displaystyle q<<0}$, entonces hay una estructura de categoría modelo ^{[ 5 ] pág. 1.2} donde las equivalencias débiles son los cuasi-isomorfismos , las fibraciones son los epimorfismos y las cofibraciones son mapas

${\displaystyle i:C_{\bullet }\to D_{\bullet }}$

que son mónicos por grados y el complejo de conúcleo${\displaystyle {\text{Coker}}(i)_{\bullet }}$es un complejo de objetos proyectivos en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$De ello se deduce que los objetos cofibrantes son los complejos cuyos objetos son todos proyectivos.

La categoría${\displaystyle {\textbf {SSet}}}$de conjuntos simpliciales ^{[ 5 ] pág. 1.3} hay una estructura de categoría modelo donde las fibraciones son precisamente las fibraciones de Kan, las cofibraciones son todas aplicaciones inyectivas y las equivalencias débiles son aplicaciones simpliciales que se convierten en equivalencias homotópicas después de aplicar el functor de realización geométrica.

Tenga en cuenta que en una categoría de modelo${\displaystyle {\mathcal {M}}}$si${\displaystyle i:*\to X}$no es una cofibración, entonces el cilindro de mapeo${\displaystyle Mi}$forma un reemplazo cofibrante . De hecho, si trabajamos solo en la categoría de espacios topológicos, el reemplazo cofibrante para cualquier aplicación de un punto a un espacio forma un reemplazo cofibrante.

Para una cofibración${\displaystyle A\to X}$Definimos la cofibra como el espacio cociente inducido${\displaystyle X/A}$. En general, para${\displaystyle f:X\to Y}$, la cofibra ^{[ 1 ] pág. 59} se define como el espacio cociente

${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})}$

que es el cono de mapeo de${\displaystyle f}$. Homotópicamente, la cofibra actúa como un conúcleo homotópico del mapa${\displaystyle f:X\to Y}$. De hecho, para espacios topológicos con punto central, el colímite de homotopía de

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}\left({\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\downarrow &&\\\end{matrix}}\right)=C_{f}}$

De hecho, la secuencia de mapas${\displaystyle X\to Y\to C_{f}}$viene equipado con la secuencia de cofibra que actúa como un triángulo distintivo en categorías trianguladas.