Homotopía colimite y limite

En matemáticas , especialmente en topología algebraica , el límite de homotopía y el colimite ^{[1] pág. 52} son variantes de las nociones de límite y colimite extendidas a la categoría de homotopía . La idea principal es ésta: si tenemos un diagrama${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Arriba}})}$

${\displaystyle F:I\to {\textbf {Arriba}}}$

considerado como un objeto en la categoría de homotopía de los diagramas (donde la equivalencia de homotopía de los diagramas se considera puntual), entonces el límite de homotopía y los colimites corresponden al cono y al cocono.${\displaystyle F\in {\text{Ho}}({\textbf {Arriba}}^{I})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\leftarrow I}{\text{Holim}}}(F)&:*\to {\textbf {Arriba}}\\{\underset {\rightarrow I}{\text{Hocolim}}}(F)&:*\to {\textbf {Arriba}}\end{aligned}}}$

que son objetos en la categoría de homotopía , donde es la categoría con un objeto y un morfismo. Nótese que esta categoría es equivalente a la categoría de homotopía estándar ya que la última categoría de functor de homotopía tiene funtores que seleccionan un objeto en y una transformación natural corresponde a una función continua de espacios topológicos. Nótese que esta construcción puede generalizarse a categorías modelo , que dan técnicas para construir límites y colimites de homotopía en términos de otras categorías de homotopía, como categorías derivadas . Otra perspectiva que formaliza este tipo de construcciones son los derivadores ^{[2] pág. 193} que son un nuevo marco para el álgebra homotópica . ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Arriba}}^{*})}$${\estilo de visualización *}$${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Arriba}})}$${\displaystyle {\text{Arriba}}}$

El concepto de colimite de homotopía ^{[1] pág. 4-8} es una generalización de los pushouts de homotopía , como el cilindro de mapeo utilizado para definir una cofibración . Esta noción está motivada por la siguiente observación: el pushout (ordinario)

${\displaystyle D^{n}\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

es el espacio obtenido al contraer la ( n −1)-esfera (que es el límite del disco n -dimensional) a un único punto. Este espacio es homeomorfo a la n -esfera S ⁿ . Por otra parte, el empuje

${\displaystyle pt\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

es un punto. Por lo tanto, aunque el disco ( contráctil ) D ⁿ fue reemplazado por un punto (que es homotópicamente equivalente al disco), los dos empujes no son homotópicamente (o débilmente ) equivalentes.

Por lo tanto, el método de expulsión no se ajusta bien a un principio de la teoría de homotopía, que considera que los espacios débilmente equivalentes contienen la misma información: si uno (o más) de los espacios utilizados para formar el método de expulsión se reemplaza por un espacio débilmente equivalente, no se garantiza que el método de expulsión siga siendo débilmente equivalente. El método de expulsión por homotopía corrige este defecto.

La expulsión de homotopía de dos mapas de espacios topológicos se define como ${\displaystyle A\flecha izquierda B\flecha derecha C}$

${\displaystyle A\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}B\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}C}$,

es decir, en lugar de pegar B tanto en A como en C , se pegan dos copias de un cilindro en B y sus extremos se pegan a A y C. Por ejemplo, el colimite de homotopía del diagrama (cuyos mapas son proyecciones)

${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

es la unión . $Estilo de visualización X_{0}*X_{1}}$

Se puede demostrar que el pushout homotópico no comparte el defecto del pushout ordinario: reemplazando A , B y/o C por un espacio homotópico, el pushout homotópico también será homotópico. En este sentido, el pushout homotópico trata los espacios homotópicos de la misma manera que el pushout (ordinario) trata los espacios homeomorfos.

Otro ejemplo útil y motivador de un colimite de homotopía es la construcción de modelos para el colimite de homotopía del diagrama.

${\displaystyle A\xrightarrow {f} X\xrightarrow {g} Y}$

de espacios topológicos. Hay varias maneras de modelar este colimite: la primera es considerar el espacio

${\displaystyle \left[(A\times I)\coprod (X\times I)\coprod Y\right]/\sim }$

¿Dónde está la relación de equivalencia que identifica?${\estilo de visualización \sim}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,1)&\sim (f(a),0)\\(x,1)&\sim g(x)\end{aligned}}}$

que puede describirse pictóricamente como la imagen

Debido a que podemos interpretar de manera similar el diagrama anterior como el diagrama conmutativo, a partir de las propiedades de las categorías, obtenemos un diagrama conmutativo.

Dando un colimite de homotopía. Podríamos suponer que esto se ve así

Pero observe que hemos introducido un nuevo ciclo para completar los nuevos datos de la composición. Esto crea un problema técnico que se puede resolver utilizando técnicas simples: proporcionar un método para construir un modelo para los colimites de homotopía. El nuevo diagrama, que forma el colimite de homotopía del diagrama de composición, se representa gráficamente como

dando otro modelo del colimite de homotopía que es homotópicamente equivalente al diagrama original (sin la composición de ) dado arriba. ${\estilo de visualización g\circ f}$

El colimite de homotopía de una secuencia de espacios

${\displaystyle X_{1}\to X_{2}\to \cdots ,}$

es el telescopio cartográfico . ^[3] Un ejemplo de cálculo es tomar el colimite de homotopía de una secuencia de cofibraciones . El colimite de ^{[1] pg 62} este diagrama da un colimite de homotopía. Esto implica que podríamos calcular el colimite de homotopía de cualquier telescopio cartográfico reemplazando los mapas con cofibraciones.

Se puede tratar ejemplos como el telescopio cartográfico y el empuje de homotopía en pie de igualdad considerando un diagrama I de espacios, donde I es alguna categoría de "indexación" . Este es un funtor

${\displaystyle X:I\to Espacios,}$

es decir, a cada objeto i en I , se le asigna un espacio X _i y se le asignan mapas entre ellos, de acuerdo con los mapas en I . La categoría de tales diagramas se denota Espacios ^I .

Existe un funtor natural llamado diagonal,

${\displaystyle \Delta _{0}:Espacios\a Espacios^{I}}$

que envía cualquier espacio X al diagrama que consta de X en todas partes (y la identidad de X como aplicaciones entre ellos). En la teoría de categorías (ordinaria), el adjunto derecho de este funtor es el límite . El límite de homotopía se define alterando esta situación: es el adjunto derecho de

${\displaystyle \Delta :Espacios\a Espacios^{I}}$

que envía un espacio X al diagrama I que en algún objeto i da

${\displaystyle X\times |N(I/i)|}$

Aquí I / i es la categoría de rebanada (sus objetos son flechas j → i , donde j es cualquier objeto de I ), N es el nervio de esta categoría y |-| es la realización topológica de este conjunto simplicial . ^[4]

De manera similar, se puede definir un colímite como el adjunto izquierdo del funtor diagonal Δ ₀ dado anteriormente. Para definir un colímite de homotopía, debemos modificar Δ ₀ de una manera diferente. Un colímite de homotopía se puede definir como el adjunto izquierdo de un funtor Δ : Espacios → Espacios ^I donde

Δ( X )( i ) = Hom _Espacios (| N ( I ^op / i ) |, X ) ,

donde I ^op es la categoría opuesta de I . Aunque no es lo mismo que el funtor Δ anterior, sí comparte la propiedad de que si se reemplaza la realización geométrica de la categoría nerviosa ( | N (-) | ) por un espacio puntual, recuperamos el funtor original Δ ₀ .

Un pullback de homotopía (o producto de fibra de homotopía ) es el concepto dual de un pushout de homotopía. Satisface la propiedad universal de un pullback hasta la homotopía. ^{[ cita requerida ]} Concretamente, dados y , se puede construir como ${\displaystyle f:X\a Z}$${\displaystyle g:Y\a Z}$

${\displaystyle X\times _{Z}^{h}Y:=X\times _{Z}Z^{I}\times _{Z}Y=\{(x,\gamma ,y)|f(x)=\gamma (0),g(y)=\gamma (1)\}.}$^[5]

Por ejemplo, la fibra de homotopía de sobre un punto y es el retroceso de homotopía de a lo largo de . ^[5] El retroceso de homotopía de a lo largo de la identidad no es nada más que el espacio de trayectorias de mapeo de . ${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle y\hookrightarrow Y}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$

La propiedad universal de un pullback de homotopía produce la función natural , un caso especial de función natural de un límite a un límite de homotopía. En el caso de una fibra de homotopía, esta función es una inclusión de una fibra a una fibra de homotopía. ${\displaystyle X\times _{Z}Y\to X\times _{Z}^{h}Y}$

Dada una categoría pequeña y un diagrama , podemos construir el colimite de homotopía utilizando un reemplazo simplicial del diagrama. Este es un espacio simplicial, dado por el diagrama ^{[1] pg 16-17}${\displaystyle I}$${\displaystyle D:I\to {\textbf {Arriba}}}$${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{\bullet }}$

dónde

${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{n}={\underset {i_{0}\leftarrow i_{1}\leftarrow \cdots \leftarrow i_{n}}{\coprod }}D(i_{n})}$

dado por cadenas de mapas componibles en la categoría de indexación . Entonces, el colimite de homotopía de puede construirse como la realización geométrica de este espacio simplicial, por lo que${\displaystyle I}$${\estilo de visualización D}$

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}D=|{\text{srep}}(D)_{\bullet }|}$

Tenga en cuenta que esto concuerda con la imagen dada arriba para el diagrama de composición de . ${\displaystyle A\a X\a Y}$

Siempre hay un mapa

${\displaystyle \mathrm {hocolim} X_{i}\to \mathrm {colim} X_{i}.}$

Por lo general, este mapa no es una equivalencia débil. Por ejemplo, el desplazamiento homotópico encontrado anteriormente siempre se asigna al desplazamiento ordinario. Este mapa no es típicamente una equivalencia débil, por ejemplo, la unión no es débilmente equivalente al desplazamiento de , que es un punto. ${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

Así como el límite se utiliza para completar un anillo, holim se utiliza para completar un espectro.

• Derivador
• Fibra de homotopía
• Cofibra de homotopía
• Cohomología de categorías
• Secuencia espectral de colimites de homotopía

• Introducción a los colímites de homotopía
• Colímites de homotopía en la categoría de categorías pequeñas
• Categorías y Orbiespacios
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.

• Diagramas de homotopía límite-colímite en categorías de modelos estables
• Pág. 80 Colímites y límites de homotopía