Anomalía conforme

Una anomalía conforme , anomalía de escala , anomalía de traza o anomalía de Weyl es una anomalía , es decir, un fenómeno cuántico que rompe la simetría conforme de la teoría clásica .

En la teoría cuántica de campos, cuando establecemos la constante de Planck${\displaystyle \hbar }$a cero tenemos solo diagramas de árbol de Feynman, que es una teoría "clásica" (equivalente a la teoría de Fredholm de una teoría de campo clásica ). Los diagramas de Feynman de un bucle ( N bucles) son proporcionales a${\displaystyle \hbar }$(${\displaystyle \hbar ^{N}}$). Si una corriente se conserva clásicamente (${\displaystyle \hbar =0}$) pero desarrolla una divergencia a nivel de bucle en la teoría cuántica de campos (${\displaystyle \propto \hbar }$), decimos que hay una anomalía. Un ejemplo famoso es la anomalía de la corriente axial, donde los fermiones sin masa tendrán una corriente axial clásicamente conservada, pero que desarrolla una divergencia no nula en presencia de campos de gauge.

Una teoría invariante de escala, una en la que no hay escalas de masa, tendrá una corriente de Noether conservada llamada "corriente de escala". Esta se deriva realizando transformaciones de escala en las coordenadas del espacio-tiempo. La divergencia de la corriente de escala es entonces la traza del tensor de energía-impulso. En ausencia de cualquier escala de masa, la traza del tensor de energía-impulso se anula (${\displaystyle \hbar =0}$Por lo tanto, la corriente se conserva clásicamente y la teoría es invariante de escala clásica. Sin embargo, a nivel de bucle, la corriente de escala puede desarrollar una divergencia distinta de cero. Esto se denomina «anomalía de escala» o «anomalía de traza» y representa la generación de masa por la mecánica cuántica. Está relacionado con el grupo de renormalización , o la «variación de las constantes de acoplamiento», cuando se consideran en diferentes escalas de masa.

Si bien esto puede formularse sin referencia a la gravedad, se vuelve más potente cuando se considera la relatividad general. Una teoría clásica conforme con una métrica de fondo arbitraria posee una acción invariante bajo reescalamientos de la métrica de fondo y otros campos de materia, denominadas transformaciones de Weyl . Cabe señalar que, si reescalamos las coordenadas, se trata de una transformación de coordenadas general, que se fusiona con la covarianza general, la simetría exacta de la relatividad general, y por lo tanto se convierte en una forma insatisfactoria de formular la simetría de escala (la covarianza general implica un tensor de energía-impulso conservado; una "anomalía gravitacional" representa una ruptura cuántica de la covarianza general y no debe confundirse con la invariancia de Weyl (de escala)).

Sin embargo, bajo las transformaciones de Weyl no reescalamos las coordenadas de la teoría, sino la métrica y otros campos de materia. En el sentido de Weyl, la masa (o longitud) se define por la métrica, y las coordenadas son simplemente instrumentos de contabilidad sin escala. Por lo tanto, la simetría de Weyl es la formulación correcta de la simetría de escala cuando se incorpora la gravitación, y entonces habrá una corriente de Weyl conservada. Existe una extensa literatura sobre la ruptura espontánea de la simetría de Weyl en cuatro dimensiones, lo que conduce a una masa de Planck generada dinámicamente junto con la inflación. Estas teorías parecen estar en buena concordancia con la cosmología observacional. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una teoría cuántica conforme es aquella cuya integral de trayectoria , o función de partición , permanece inalterada al reescalar la métrica (junto con otros campos). La variación de la acción con respecto a la métrica de fondo es proporcional al tensor de energía-impulso , y por lo tanto, la variación con respecto a un reescalamiento conforme es proporcional a la traza del tensor de energía-impulso. En consecuencia, la traza del tensor de energía-impulso debe anularse para una teoría conformemente invariante. La traza del tensor de energía-impulso aparece en la divergencia de la corriente de Weyl como una anomalía, rompiendo así la invariancia de Weyl (o de escala) de la teoría.

En la cromodinámica cuántica en el límite quiral , la teoría clásica no tiene escala de masa , por lo que existe una simetría conforme. Ingenuamente, esperaríamos que el protón fuera casi sin masa porque la energía cinética y la energía potencial del quark se cancelan por el teorema del virial relativista . ^{[ 3 ]} Sin embargo, en el caso cuántico la simetría se rompe por una anomalía conforme. ^{[ 4 ]} Esto introduce una escala, la escala en la que ocurre el confinamiento de color y determina las masas de los hadrones , y el fenómeno de la ruptura de la simetría quiral . Además de la anomalía (que se cree que contribuye a aproximadamente el 20% de la masa del protón ^{[ 5 ] [ 6 ]} ), el resto puede atribuirse a los términos sigma de los quarks ligeros (es decir, el hecho de que los quarks tienen pequeñas masas distintas de cero que no están asociadas con la anomalía de traza) que se cree que contribuyen a aproximadamente el 17%, y a las energías de los quarks y los gluones que se cree que contribuyen a aproximadamente el 29% y el 34% de la masa del protón, respectivamente. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Por lo tanto, la QCD, a través de la anomalía de traza, las energías de los quarks y los gluones y los términos sigma, es responsable de más del 99% de la masa de la materia ordinaria en el Universo, mientras que el mecanismo de Higgs contribuye directamente solo con menos del uno por ciento a través principalmente de las masas de los quarks u, d y del electrón.

Sidney Coleman y Erick Weinberg demostraron cómo la ruptura espontánea de simetría de las interacciones electrodébiles que involucran un escalar de Higgs fundamental podría ocurrir a través de bucles de Feynman. ^{[ 7 ]} Además, los autores demostraron cómo "mejorar" los resultados de su cálculo utilizando el grupo de renormalización . De hecho, el mecanismo de Coleman-Weinberg se puede rastrear completamente hasta la evolución del grupo de renormalización del acoplamiento de Higgs cuártico.${\displaystyle \lambda }$El potencial de Coleman-Weinberg resultante es proporcional al asociado .${\displaystyle \beta }$-función, mientras que la anomalía de traza viene dada por${\displaystyle \beta (\lambda)/\lambda}$, por lo tanto, el potencial de Coleman-Weinberg puede considerarse como derivado directamente de la anomalía de traza. ^{[ 8 ]}

Se ha conjeturado que toda la masa en la naturaleza es generada por anomalías traza, por lo tanto, únicamente por la mecánica cuántica. ^{[ 9 ]}

La teoría de cuerdas no es clásicamente invariante a escala, ya que se define con una "constante de cuerda" masiva. En la teoría de cuerdas, la simetría conforme en la hoja de mundo es una simetría de Weyl local. También existe una anomalía gravitacional potencial en dos dimensiones, y esta anomalía debe cancelarse para que la teoría sea consistente. La cancelación requerida de la anomalía gravitacional implica que la dimensionalidad del espaciotiempo debe ser igual a la dimensión crítica , que es 26 en el caso de la teoría de cuerdas bosónicas o 10 en el caso de la teoría de supercuerdas . Este caso se denomina teoría de cuerdas crítica .

Existen enfoques alternativos conocidos como teoría de cuerdas no crítica, en los que las dimensiones espacio-temporales pueden ser menores de 26 para la teoría bosónica o menores de 10 para la supercuerda; es decir, el caso de cuatro dimensiones es plausible dentro de este contexto. Sin embargo, algunos postulados intuitivos, como que el espacio plano sea un fondo válido, deben abandonarse. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

• Anomalía (física)
• Carga (física)
• Cargo central
• Dimensión de escala anómala
• Transmutación dimensional