Métricas de Weyl

En la relatividad general , las métricas de Weyl (llamadas así en honor al matemático germano-estadounidense Hermann Weyl ) ^{[ 1 ]} son ​​una clase de soluciones estáticas y axisimétricas de la ecuación de campo de Einstein . Tres miembros de la reconocida familia de soluciones de Kerr-Newman , a saber, las métricas de Schwarzschild , Reissner-Nordström no extremal y Reissner-Nordström extremal, pueden identificarse como métricas de tipo Weyl.

La clase de soluciones de Weyl tiene la forma genérica ^{[ 2 ] [ 3 ]}

dónde${\displaystyle \psi (\rho,z)}$y${\displaystyle \gamma (\rho,z)}$son dos potenciales métricos que dependen de las coordenadas canónicas de Weyl${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$El sistema de coordenadas${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$sirve mejor para simetrías del espaciotiempo de Weyl (con dos campos vectoriales de Killing siendo${\displaystyle \xi ^{t}=\partial _{t}}$y${\displaystyle \xi ^{\phi }=\partial _ {\phi }}$) y a menudo actúa como coordenadas cilíndricas , ^{[ 2 ]} pero es incompleto cuando describe un agujero negro como${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$Cubre únicamente el horizonte y sus exteriores.

Por lo tanto, para determinar una solución axisimétrica estática correspondiente a un tensor de energía-tensión específico${\displaystyle T_{ab}}$, solo necesitamos sustituir la métrica de Weyl Eq(1) en la ecuación de Einstein (con c = G =1):

y resolver las dos funciones${\displaystyle \psi (\rho,z)}$y${\displaystyle \gamma (\rho,z)}$.

Una de las soluciones de Weyl mejor investigadas y más útiles es el caso del electrovacío, donde${\displaystyle T_{ab}}$proviene de la existencia de un campo electromagnético (de tipo Weyl) (sin flujos de materia ni corrientes). Como sabemos, dado el cuadripotencial electromagnético${\displaystyle A_{a}}$, el campo electromagnético antisimétrico${\displaystyle F_{ab}}$y el tensor de energía-tensión sin traza${\displaystyle T_{ab}}$${\displaystyle (T=g^{ab}T_{ab}=0)}$serán determinados respectivamente por

que respeta las ecuaciones covariantes de Maxwell sin fuente:

La ecuación (5.a) se puede simplificar a:

en los cálculos como${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$. Además, dado que${\displaystyle R=-8\pi T=0}$Para el electrovacío, la ecuación (2) se reduce a

Ahora bien, supongamos que el potencial electrostático axisimétrico de tipo Weyl es${\displaystyle A_{a}=\Phi (\rho ,z)[dt]_{a}}$(el componente${\displaystyle \Phi }$es en realidad el potencial escalar electromagnético ), y junto con la métrica de Weyl Eq(1), las Eqs(3)(4)(5)(6) implican que

dónde${\displaystyle R=0}$produce la ecuación (7.a),${\displaystyle R_{tt}=8\pi T_{tt}}$o${\displaystyle R_{\varphi \varphi }=8\pi T_{\varphi \varphi }}$produce la ecuación (7.b),${\displaystyle R_{\rho \rho }=8\pi T_{\rho \rho }}$o${\displaystyle R_{zz}=8\pi T_{zz}}$produce la ecuación (7.c),${\displaystyle R_{\rho z}=8\pi T_{\rho z}}$produce la ecuación (7.d), y la ecuación (5.b) produce la ecuación (7.e). Aquí${\displaystyle \nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$y${\displaystyle \nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}}$son respectivamente los operadores de Laplace y gradiente . Además, si suponemos${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$en el sentido de la interacción materia-geometría y asumiendo una planitud asintótica, encontraremos que las ecuaciones (7.ae) implican una relación característica que

Específicamente en el caso de vacío más simple con${\displaystyle \Phi =0}$y${\displaystyle T_{ab}=0}$, las ecuaciones (7.a-7.e) se reducen a ^{[ 4 ]}

En primer lugar podemos obtener${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$resolviendo la ecuación (8.b) y luego integrando las ecuaciones (8.c) y (8.d) para${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$. Prácticamente, la ecuación (8.a) que surge de${\displaystyle R=0}$Simplemente funciona como una relación de consistencia o condición de integrabilidad .

A diferencia de la ecuación de Poisson no lineal Eq(7.b), la ecuación Eq(8.b) es la ecuación de Laplace lineal ; es decir, la superposición de soluciones de vacío dadas para Eq(8.b) sigue siendo una solución. Este hecho tiene una amplia aplicación, como por ejemplo, para distorsionar analíticamente un agujero negro de Schwarzschild .

Empleamos los operadores de Laplace y gradiente axisimétricos para escribir las ecuaciones (7.a-7.e) y (8.a-8.d) de forma compacta, lo cual resulta muy útil en la derivación de la relación característica de la ecuación (7.f). En la bibliografía, las ecuaciones (7.a-7.e) y (8.a-8.d) también se suelen escribir de las siguientes formas:

y

Considerando la interacción entre la geometría del espacio-tiempo y las distribuciones de energía-materia, es natural suponer que en las ecuaciones (7.a-7.e) la función métrica${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$se relaciona con el potencial escalar electrostático${\displaystyle \Phi (\rho ,z)}$a través de una función${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$(lo que significa que la geometría depende de la energía), y de ello se deduce que

La ecuación (B.1) transforma inmediatamente las ecuaciones (7.b) y (7.e) respectivamente en

que dan lugar a

Ahora reemplaza la variable${\displaystyle \psi }$por${\displaystyle \zeta$ :=e^{2\psi }} , y la ecuación (B.4) se simplifica a

La cuadratura directa de la ecuación (B.5) produce${\displaystyle \zeta =e^{2\psi }=\Phi ^{2}+{\tilde {C}}\Phi +B}$, con${\displaystyle \{B,{\tilde {C}}\}}$siendo constantes integrales. Para reanudar la planitud asintótica en el infinito espacial, necesitamos${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }\Phi =0}$y${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }e^{2\psi }=1}$, por lo que debería haber${\displaystyle B=1}$Además, reescribe la constante.${\displaystyle {\tilde {C}}}$como${\displaystyle -2C}$para mayor conveniencia matemática en cálculos posteriores, y finalmente se obtiene la relación característica implícita en las ecuaciones (7.a-7.e) que

Esta relación es importante para linealizar las ecuaciones (7.a-7.f) y superponer soluciones de Weyl electrovac.

En la métrica de Weyl Eq(1),${\textstyle e^{\pm 2\psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\pm 2\psi )^{n}}{n!}}}$; por lo tanto, en la aproximación para el límite de campo débil${\displaystyle \psi \to 0}$, uno tiene

y por lo tanto

Esto es bastante análogo a la conocida métrica aproximada para campos gravitatorios estáticos y débiles generados por cuerpos celestes de baja masa como el Sol y la Tierra, ^{[ 5 ]}

dónde${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$es el potencial newtoniano usual que satisface la ecuación de Poisson${\displaystyle \nabla _{L}^{2}\Phi _{N}=4\pi \varrho _{N}}$, al igual que la ecuación (3.a) o la ecuación (4.a) para el potencial métrico de Weyl${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$. Las similitudes entre${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$y${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$inspirar a la gente a descubrir el análogo newtoniano de${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$al estudiar la clase de soluciones de Weyl; es decir, para reproducir${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$de forma no relativista por cierto tipo de fuentes newtonianas. El análogo newtoniano de${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$Resulta bastante útil para especificar soluciones particulares de tipo Weyl y extender soluciones existentes de tipo Weyl. ^{[ 2 ]}

Los potenciales de Weyl que generan la métrica de Schwarzschild como soluciones a las ecuaciones de vacío Eq( 8 ) están dados por ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

dónde

Desde la perspectiva del análogo newtoniano,${\displaystyle \psi _{SS}}$es igual al potencial gravitatorio producido por una varilla de masa${\displaystyle M}$y longitud${\displaystyle 2M}$colocados simétricamente en el${\displaystyle z}$eje -; es decir, por una masa lineal de densidad uniforme${\displaystyle \sigma =1/2}$insertado el intervalo${\displaystyle z\in [-M,M]}$(Nota: Basándose en este análogo, se han desarrollado importantes extensiones de la métrica de Schwarzschild, como se analiza en la referencia ^{[ 2 ]} ).

Dado${\displaystyle \psi _{SS}}$y${\displaystyle \gamma _{SS}}$, la métrica de Weyl Eq( 1 ) se convierte en

y después de sustituir las siguientes relaciones mutuamente consistentes

Se puede obtener la forma común de la métrica de Schwarzschild en la forma habitual.${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$coordenadas,

La métrica Eq( 14 ) no puede transformarse directamente en Eq( 16 ) mediante la transformación cilíndrico-esférica estándar.${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )=(t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$, porque${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$está completo mientras${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )}$está incompleto. Por eso lo llamamos${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$en la ecuación ( 1 ) como coordenadas canónicas de Weyl en lugar de coordenadas cilíndricas, aunque tienen mucho en común; por ejemplo, el laplaciano${\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$en la ecuación ( 7 ) es exactamente el laplaciano geométrico bidimensional en coordenadas cilíndricas.

Los potenciales de Weyl que generan la solución no extremal de Reissner-Nordström (${\displaystyle M>|Q|}$) como soluciones a las ecuaciones ( 7 ) están dadas por ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

dónde

Por lo tanto, dado${\displaystyle \psi _{RN}}$y${\displaystyle \gamma _{RN}}$, la métrica de Weyl se convierte en

y empleando las siguientes transformaciones

Se puede obtener la forma común de la métrica de Reissner-Nordström no extremal en la forma habitual.${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$coordenadas,

Los potenciales que generan la solución extremal de Reissner-Nordström (${\displaystyle M=|Q|}$) como soluciones a las ecuaciones ( 7 ) están dadas por ^{[ 4 ]} (Nota: Tratamos la solución extremal por separado porque es mucho más que el estado degenerado de la contraparte no extremal).

Así, la métrica extremal de Reissner-Nordström se lee:

y mediante la sustitución

obtenemos la métrica extremal de Reissner-Nordström en el orden habitual.${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$coordenadas,

Matemáticamente, el Reissner-Nordström extremal se puede obtener tomando el límite${\displaystyle Q\to M}$de la ecuación no extremal correspondiente, y mientras tanto a veces necesitamos usar la regla de L'Hospital .

Observaciones: Métricas de Weyl Eq( 1 ) con potencial evanescente${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$(como la métrica extremal de Reissner-Nordström) constituyen una subclase especial que tiene un único potencial métrico.${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$por identificar. Extendiendo esta subclase cancelando la restricción de simetría axial, se obtiene otra clase útil de soluciones (aún usando las coordenadas de Weyl), a saber, las métricas conformáticas , ^{[ 6 ] [ 7 ]}

donde usamos${\displaystyle \lambda }$en la ecuación ( 22 ) como la única función métrica en lugar de${\displaystyle \psi }$en la ecuación ( 1 ) para enfatizar que son diferentes por simetría axial (${\displaystyle \phi }$-dependencia).

La métrica de Weyl también puede expresarse en coordenadas esféricas que

lo cual es igual a la ecuación ( 1 ) mediante la transformación de coordenadas.${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )\mapsto (t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$(Nota: Como se muestra en las ecuaciones ( 15 ), ( 21 ) y ( 24 ), esta transformación no siempre es aplicable). En el caso del vacío, la ecuación ( 8.b ) para${\displaystyle \psi (r,\theta )}$se convierte

Las soluciones asintóticamente planas de la ecuación ( 28 ) son ^{[ 2 ]}

dónde${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$representan los polinomios de Legendre y${\displaystyle a_{n}}$son coeficientes multipolares . El otro potencial métrico${\displaystyle \gamma (r,\theta )}$viene dado por ^{[ 2 ]}

• Métrica de Schwarzschild
• Métrica de Reissner-Nordström
• Métrica de Schwarzschild distorsionada