Campo vectorial letal

El campo vectorial en un círculo que apunta en sentido contrario a las agujas del reloj y tiene la misma magnitud en cada punto es un campo vectorial de Killing, ya que mover cada punto del círculo a lo largo de este campo vectorial simplemente hace girar el círculo.

Un ejemplo sencillo de un campo vectorial de Killing se encuentra en el semiplano superior.${\displaystyle M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}}$equipado con el sistema métrico de Poincaré${\displaystyle g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$⁠ . La pareja${\displaystyle (M,g)}$Se suele denominar plano hiperbólico y tiene un campo vectorial de Killing.${\displaystyle \partial _{x}}$(utilizando coordenadas estándar). Esto debería ser intuitivamente claro, ya que la derivada covariante${\displaystyle \nabla _{\partial _{x}}g}$transporta el tensor métrico a lo largo de una curva integral generada por el campo vectorial (cuya imagen es paralela al eje x).

Además, el tensor métrico es independiente de${\displaystyle x}$de lo cual podemos concluir inmediatamente que${\displaystyle \partial _{x}}$es un campo de exterminio utilizando uno de los resultados que aparecen a continuación en este artículo.

El grupo de isometría del modelo del semiplano superior (o más bien, el componente conectado a la identidad) es${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$(véase el modelo del semiplano de Poincaré ), y los otros dos campos de Killing pueden derivarse considerando la acción de los generadores de${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$en el semiplano superior. Los otros dos campos de muerte generadores son la dilatación${\displaystyle D=x\partial _{x}+y\partial _{y}}$y la transformación conforme especial${\displaystyle K=(x^{2}-y^{2})\partial _{x}+2xy\partial _{y}}$⁠ .

Los campos de exterminio de la doble esfera${\displaystyle S^{2}}$⁠ , o más generalmente el${\displaystyle n}$-esfera${\displaystyle S^{n}}$Debería ser obvio a partir de la intuición ordinaria: las esferas, al tener simetría rotacional , deberían poseer campos de Killing que generen rotaciones alrededor de cualquier eje. Es decir, esperamos${\displaystyle S^{2}}$tener simetría bajo la acción del grupo de rotación 3D SO(3) . Es decir, utilizando el conocimiento a priori de que las esferas pueden estar incrustadas en el espacio euclidiano, es inmediatamente posible adivinar la forma de los campos de Killing.

El gráfico convencional para la esfera 2 incrustada en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$en coordenadas cartesianas${\displaystyle (x,y,z)}$es dado por

${\displaystyle x=\sin \theta \cos \phi ,\qquad y=\sin \theta \sin \phi ,\qquad z=\cos \theta }$

de modo que${\displaystyle \theta }$parametriza la altura y${\displaystyle \phi }$parametriza la rotación alrededor del${\displaystyle z}$-eje.

El retroceso de la métrica cartesiana estándar${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$proporciona la métrica estándar en la esfera,

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.}$

Intuitivamente, una rotación alrededor de cualquier eje debería ser una isometría. En este gráfico, el campo vectorial que genera rotaciones alrededor del${\displaystyle z}$-eje:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$

En estas coordenadas, los componentes métricos son todos independientes de${\displaystyle \phi }$⁠ , lo que demuestra que${\displaystyle \partial _{\phi }}$Es un campo de exterminio.

El campo vectorial

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$

no es un campo de exterminio; la coordenada${\displaystyle \theta }$aparece explícitamente en la métrica. El flujo generado por${\displaystyle \partial _{\theta }}$Va de norte a sur; los puntos en el polo norte se separan, los del sur se juntan. Cualquier transformación que acerque o aleje puntos no puede ser una isometría; por lo tanto, el generador de dicho movimiento no puede ser un campo de muerte.

El generador${\displaystyle \partial _{\phi }}$se reconoce como una rotación alrededor del${\displaystyle z}$-eje

${\displaystyle Z=x\partial _{y}-y\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }}$

Un segundo generador, para rotaciones alrededor del${\displaystyle x}$eje, es

${\displaystyle X=y\partial _{z}-z\partial _{y}}$

El tercer generador, para rotaciones alrededor del${\displaystyle y}$eje, es

${\displaystyle Y=z\partial _{x}-x\partial _{z}}$

El álgebra dada por combinaciones lineales de estos tres generadores se cierra y obedece las relaciones.

${\displaystyle [X,Y]=-Z\quad [Y,Z]=-X\quad [Z,X]=-Y.}$

Esta es el álgebra de Lie .${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$⁠ .

Expresar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$en términos de coordenadas esféricas da ^{[ 7 ]}

${\displaystyle X=-\sin ^{2}\theta \,(\sin \phi \partial _{\theta }+\cot \theta \cos \phi \partial _{\phi })}$

y

${\displaystyle Y=\sin ^{2}\theta \,(\cos \phi \partial _{\theta }-\cot \theta \sin \phi \partial _{\phi })}$

Que estos tres campos vectoriales sean en realidad campos de Killing se puede determinar de dos maneras diferentes. Una es mediante cálculo explícito: simplemente sustituya expresiones explícitas para${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g}$y trague para demostrar que${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\mathcal {L}}_{Y}g={\mathcal {L}}_{Z}g=0}$Este es un ejercicio que vale la pena. Alternativamente, uno puede reconocer${\displaystyle X,Y}$y${\displaystyle Z}$son los generadores de isometrías en el espacio euclidiano, y dado que la métrica en la esfera se hereda de la métrica en el espacio euclidiano, las isometrías también se heredan.

Estos tres campos de Killing forman un conjunto completo de generadores para el álgebra. No son únicos: cualquier combinación lineal de estos tres campos sigue siendo un campo de Killing.

Hay varios detalles sutiles que conviene tener en cuenta en este ejemplo.

• Los tres campos no son globalmente distintos de cero; de hecho, el campo${\displaystyle Z}$desaparece en los polos norte y sur; asimismo,${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$desaparecen en los antípodas del ecuador. Una forma de entender esto es como consecuencia del " teorema de la bola peluda ". Esta propiedad, la de las zonas sin puntos, es una propiedad general de los espacios simétricos en la descomposición de Cartan . En cada punto de la variedad, el álgebra de los campos de Killing se divide naturalmente en dos partes: una tangente a la variedad y otra que se desvanece (en el punto donde se realiza la descomposición).
• Los tres campos${\displaystyle X,Y}$y${\displaystyle Z}$no tienen longitud unitaria. Se pueden normalizar dividiendo por el factor común de${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$aparece en las tres expresiones. Sin embargo, en ese caso, los campos ya no son suaves: por ejemplo,${\displaystyle \partial _{\phi }=X/\sin ^{2}\theta }$es singular (no diferenciable) en los polos norte y sur.
• Los tres campos no son ortogonales punto por punto; de hecho, no pueden serlo, ya que, en cualquier punto dado, el plano tangente es bidimensional, mientras que hay tres vectores. Dado cualquier punto en la esfera, existe alguna combinación lineal no trivial de${\displaystyle X,Y}$y${\displaystyle Z}$que desaparece: estos tres vectores son una base sobrecompleta para el plano tangente bidimensional en ese punto.
• El conocimiento previo de que las esferas pueden incrustarse en el espacio euclidiano, y por lo tanto heredar un tensor métrico de esta incrustación, conduce a una intuición confusa sobre el número correcto de campos de Killing que cabría esperar. Sin dicha incrustación, la intuición podría sugerir que el número de generadores linealmente independientes no sería mayor que la dimensión del fibrado tangente . Después de todo, al fijar cualquier punto en una variedad, uno solo puede moverse en aquellas direcciones que son tangentes. La dimensión del fibrado tangente para la 2-esfera es dos, y sin embargo se encuentran tres campos de Killing. Nuevamente, esta "sorpresa" es una propiedad genérica de los espacios simétricos.

Los campos de muerte del espacio de Minkowski son las 3 traslaciones espaciales, la traslación temporal, los tres generadores de rotaciones (el pequeño grupo ) y los tres generadores de impulsos . Estos son

• Traslaciones de tiempo y espacio

  ${\displaystyle \partial _{t}~,\qquad \partial _{x}~,\qquad \partial _{y}~,\qquad \partial _{z}~;}$

• Campos vectoriales que generan tres rotaciones, a menudo llamados generadores J ,

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}~;}$

• Campos vectoriales que generan tres impulsos, los generadores K ,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}.}$

Las transformaciones de Lorentz y las rotaciones generan el grupo de Lorentz . Junto con las traslaciones espacio-temporales, esto forma el álgebra de Lie para el grupo de Poincaré .

Aquí derivamos los campos de Killing para un espacio plano general. A partir de la ecuación de Killing y la identidad de Ricci para un covector ⁠${\displaystyle K_{a}}$⁠ ,

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}K_{c}-\nabla _{b}\nabla _{a}K_{c}=R^{d}{}_{cab}K_{d}}$

(usando notación de índice abstracto ) donde${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}}$es el tensor de curvatura de Riemann , se puede demostrar la siguiente identidad para un campo de Killing.${\displaystyle X^{a}}$:

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{d}{}_{acb}X_{d}.}$

Cuando el colector base${\displaystyle M}$es un espacio plano, es decir, un espacio euclidiano o pseudoeuclidiano (como en el caso del espacio de Minkowski), podemos elegir coordenadas planas globales tales que en estas coordenadas, la conexión de Levi-Civita y por lo tanto la curvatura de Riemann se anulan en todas partes, dando

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=0.}$

Integrando e imponiendo la ecuación de Killing podemos escribir la solución general para${\displaystyle X_{\rho }}$como

${\displaystyle X^{\rho }=\omega ^{\rho \sigma }x_{\sigma }+c^{\rho }}$

dónde${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }=-\omega ^{\nu \mu }}$es antisimétrico. Tomando valores apropiados de${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}$y​${\displaystyle c^{\rho }}$⁠ , obtenemos una base para el álgebra de Poincaré generalizada de isometrías del espacio plano:

${\displaystyle M_{\mu \nu }=x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }}$

${\displaystyle P_{\rho }=\partial _{\rho }.}$

Estas generan pseudorrotaciones (rotaciones y transformaciones de Lorentz) y traslaciones, respectivamente. Intuitivamente, estas preservan el tensor métrico en cada punto.

Para un espacio (pseudo)euclidiano de dimensión total, en total hay${\displaystyle n(n+1)/2}$generadores, haciendo que el espacio plano sea máximamente simétrico. Este número es genérico para espacios máximamente simétricos. Los espacios máximamente simétricos pueden considerarse como subvariedades del espacio plano, que surgen como superficies de distancia propia constante.

${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p,q}:\eta (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\pm {\frac {1}{\kappa ^{2}}}\}}$

que tienen simetría O( p , q )  . Si la subvariedad tiene dimensión ⁠${\displaystyle n}$⁠ , este grupo de simetrías tiene la dimensión esperada (como un grupo de Lie ).

De forma heurística, podemos derivar la dimensión del álgebra del campo de Killing. Tratando la ecuación de Killing${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0}$junto con la identidad${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{d}=R^{c}{}_{bad}X_{c}}$⁠ . como un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden para ⁠${\displaystyle X_{a}}$⁠ , podemos determinar el valor de${\displaystyle X_{a}}$en cualquier punto dados los datos iniciales en un punto ⁠${\displaystyle p}$⁠ . Los datos iniciales especifican${\displaystyle X_{a}(p)}$y​${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}(p)}$⁠ , pero la ecuación de Killing impone que la derivada covariante sea antisimétrica. En total, esto es${\displaystyle n^{2}-n(n-1)/2=n(n+1)/2}$valores independientes de los datos iniciales.

Para ver ejemplos concretos, consulte a continuación los ejemplos de espacio plano (espacio de Minkowski) y espacios máximamente simétricos (esfera, espacio hiperbólico).

Los campos de Killing se utilizan para discutir isometrías en la relatividad general (en la que la geometría del espacio-tiempo , distorsionada por campos gravitatorios, se considera una variedad pseudoriemanniana de 4 dimensiones ). En una configuración estática, en la que nada cambia con el tiempo, el vector de tiempo será un vector de Killing y, por lo tanto, el campo de Killing apuntará en la dirección del movimiento hacia adelante en el tiempo. Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild tiene cuatro campos de Killing: el tensor métrico es independiente de${\displaystyle t}$⁠ , por lo tanto${\displaystyle \partial _{t}}$es un campo de Killing de tipo temporal. Los otros tres son los tres generadores de rotaciones mencionados anteriormente. La métrica de Kerr para un agujero negro en rotación tiene solo dos campos de Killing: el campo de tipo temporal y un campo que genera rotaciones alrededor del eje de rotación del agujero negro.

El espacio de De Sitter y el espacio anti-de Sitter son espacios máximamente simétricos, con la${\displaystyle n}$-versiones dimensionales de cada una que posee${\displaystyle \textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$Campos de exterminio.

Si los coeficientes del tensor métrico${\displaystyle g_{\mu \nu }}$en alguna base de coordenadas${\displaystyle dx^{a}}$son independientes de una de las coordenadas${\displaystyle x^{\kappa }}$, entonces${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }}$es un vector de muerte, donde${\displaystyle \delta _{\kappa }^{\mu }}$es el delta de Kronecker . ^{[ 8 ]}

Para demostrar esto, supongamos que${\displaystyle g_{\mu \nu ,0}=0}$Entonces​${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }}$y​${\displaystyle K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}}$⁠ .

Ahora veamos la condición de asesinato.

${\displaystyle K_{\mu$ ;\nu }+K_{\nu  ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}}

y desde${\displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }}$⁠ . La condición de matar se convierte en

${\displaystyle g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-(g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0;}$

es decir ,${\displaystyle g_{\mu \nu ,0}=0}$⁠ , lo cual es cierto.

• El significado físico es, por ejemplo, que si ninguno de los coeficientes del tensor métrico es función del tiempo, la variedad debe tener automáticamente un vector de Killing de tipo temporal.
• En términos sencillos, si un objeto no se transforma ni "evoluciona" con el tiempo (cuando este transcurre), el paso del tiempo no alterará sus medidas. Formulado así, el resultado parece una tautología, pero hay que entender que el ejemplo es muy artificial: los campos de destrucción también se aplican a casos mucho más complejos e interesantes.

Por el contrario, si el tensor métrico${\displaystyle \mathbf {g} }$admite un campo de exterminio${\displaystyle X^{a}}$⁠ , entonces se pueden construir coordenadas para las cuales ⁠${\displaystyle \partial _{0}g_{\mu \nu }=0}$Estas coordenadas se construyen tomando una hipersuperficie .${\displaystyle \Sigma }$de tal manera que${\displaystyle X^{a}}$no tiene ninguna relación con${\displaystyle \Sigma }$⁠ . Tomar coordenadas${\displaystyle x^{i}}$en​${\displaystyle \Sigma }$⁠ , luego define las coordenadas locales${\displaystyle (t,x^{i})}$dónde${\displaystyle t}$denota el parámetro a lo largo de la curva integral de${\displaystyle X^{a}}$con sede en${\displaystyle (x^{i})}$en​${\displaystyle \Sigma }$⁠ . En estas coordenadas, la derivada de Lie se reduce a la derivada de coordenadas, es decir,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g_{\mu \nu }=\partial _{0}g_{\mu \nu }}$

y, según la definición del Campo de la Muerte, el lado izquierdo desaparece.

Cada vector de Killing corresponde a una cantidad que se conserva a lo largo de las geodésicas . Esta cantidad conservada es el producto métrico entre el vector de Killing y el vector tangente geodésico. A lo largo de una geodésica parametrizada afínmente con vector tangente${\displaystyle U^{a}}$luego dado el vector de eliminación${\displaystyle X_{b}}$⁠ , la cantidad${\displaystyle U^{b}X_{b}}$se conserva:

${\displaystyle U^{a}\nabla _{a}(U^{b}X_{b})=0}$

Esto ayuda a estudiar analíticamente los movimientos en un espaciotiempo con simetrías. ^{[ 9 ]}

Dado un tensor simétrico y conservado${\displaystyle T^{ab}}$⁠ , es decir, una que satisfaga${\displaystyle T^{ab}=T^{ba}}$y​${\displaystyle \nabla _{a}T^{ab}=0}$⁠ , que son propiedades típicas de un tensor de energía-impulso y un vector de Killing ⁠${\displaystyle X_{b}}$⁠ , podemos construir la cantidad conservada${\displaystyle J^{a}:=T^{ab}X_{b}}$satisfactorio

${\displaystyle \nabla _{a}J^{a}=0.}$

Como se indicó anteriormente, el corchete de Lie de dos campos de muerte sigue siendo un campo de muerte. Los campos de muerte en una variedad${\displaystyle M}$de esta forma se forma una subálgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de todos los campos vectoriales en${\displaystyle M}$⁠ . Seleccionar un punto ⁠${\displaystyle p\in M}$⁠ , el álgebra${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$puede descomponerse en dos partes:

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}}$

y

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}}$

dónde${\displaystyle \nabla }$es la derivada covariante . Estas dos partes se intersecan trivialmente pero en general no se dividen .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$⁠ . Por ejemplo, si${\displaystyle M}$es un espacio homogéneo riemanniano, tenemos${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$si y solo si${\displaystyle M}$es un espacio simétrico riemanniano. ^{[ 10 ]}

Intuitivamente, las isometrías de${\displaystyle M}$definir localmente una subvariedad${\displaystyle N}$del espacio total, y los campos de Killing muestran cómo "deslizarse" a lo largo de esa subvariedad. Abarcan el espacio tangente de esa subvariedad. El espacio tangente${\displaystyle T_{p}N}$debería tener la misma dimensión que las isometrías que actúan efectivamente en ese punto. Es decir, se espera que${\displaystyle T_{p}N\cong {\mathfrak {m}}}$Sin embargo, en general, el número de campos de Killing es mayor que la dimensión de ese espacio tangente. ¿ Cómo es posible? La respuesta es que los campos de Killing "extra" son redundantes. En conjunto, los campos proporcionan una base sobrecompleta para el espacio tangente en cualquier punto seleccionado; las combinaciones lineales pueden hacerse nulas en ese punto. Esto se vio en el ejemplo de los campos de Killing en una 2-esfera: hay tres campos vectoriales de Killing; en cualquier punto dado, dos abarcan el espacio tangente en ese punto, y el tercero es una combinación lineal de los otros dos. Elegir dos cualesquiera define${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$; las combinaciones lineales degeneradas restantes definen un espacio ortogonal ;${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$⁠ .

La involución de Cartan se define como el reflejo o inversión de la dirección de una geodésica. Su diferencial invierte la dirección de las tangentes a una geodésica. Es un operador lineal de norma uno; tiene dos subespacios invariantes, de autovalor +1 y −1. Estos dos subespacios corresponden a${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$y​${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, respectivamente.

Esto se puede precisar aún más. Fijar un punto${\displaystyle p\in M}$Consideremos una geodésica${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {R} \to M} pasando por ⁠${\displaystyle p}$⁠ , con ⁠${\displaystyle \gamma (0)=p}$⁠ . La involución${\displaystyle \sigma _{p}}$se define como

${\displaystyle \sigma _{p}(\gamma (\lambda ))=\gamma (-\lambda )}$

Este mapa es una involución, en el sentido de que${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=1}$Cuando se restringe a las geodésicas a lo largo de los campos de la muerte, también es claramente una isometría. Está definida de forma única.

Dejar${\displaystyle G}$ser el grupo de isometrías generadas por los campos de Killing. La función${\displaystyle s_{p}:G\to G}$definido por

${\displaystyle s_{p}(g)=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}}$

es un homomorfismo de ⁠${\displaystyle G}$⁠ . Su infinitesimal${\displaystyle \theta _{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$es

${\displaystyle \theta _{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\left(e^{\lambda X}\right)\right|_{\lambda =0}}$

La involución de Cartan es un homomorfismo de álgebra de Lie, en el sentido de que

${\displaystyle \theta _{p}[X,Y]=\left[\theta _{p}X,\theta _{p}Y\right]}$

para todos${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$⁠ . El subespacio${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$tiene paridad impar bajo la involución de Cartan , mientras que${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$tiene paridad par. Es decir, denotando la involución de Cartan en el punto${\displaystyle p\in M}$como${\displaystyle \theta _{p}}$uno tiene

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {m}}=-\mathrm {id} }$

y

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {h}}=+\mathrm {id} }$

dónde${\displaystyle \mathrm {id} }$es el mapa identidad. De esto se deduce que el subespacio${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es una subálgebra de Lie de ⁠${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$⁠ , en ese ⁠${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}}$⁠ . Como se trata de subespacios de paridad par e impar, los corchetes de Lie se dividen, de modo que ${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}}$y​${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}$⁠ .

La descomposición anterior se cumple en todos los puntos.${\displaystyle p\in M}$para un espacio simétrico${\displaystyle M}$⁠ ; las demostraciones se pueden encontrar en Jost. ^{[ 11 ]} También se cumplen en entornos más generales, pero no necesariamente en todos los puntos de la variedad.

Para el caso especial de un espacio simétrico , se tiene explícitamente que${\displaystyle T_{p}M\cong {\mathfrak {m}}}$⁠ ; es decir, los campos de Killing abarcan todo el espacio tangente de un espacio simétrico. De forma equivalente, el tensor de curvatura es covariante constante en espacios localmente simétricos, por lo que estos son localmente paralelizable; este es el teorema de Cartan-Ambrose-Hicks .