escalar de Weyl

En el formalismo de Newman-Penrose (NP) de la relatividad general , los escalares de Weyl se refieren a un conjunto de cinco escalares complejos.${\displaystyle \{\Psi _{0},\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\Psi _{4}\}}$que codifican los diez componentes independientes del tensor de Weyl de un espaciotiempo de cuatro dimensiones .

Dado un tétrada nula compleja${\displaystyle \{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$y con la convención${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$, los escalares de Weyl-NP se definen por ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \Psi _{0}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }m^{\beta }l^{\gamma }m^{\delta }\ ,}$

${\displaystyle \Psi _{1}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }n^{\beta }l^{\gamma }m^{\delta }\ ,}$

${\displaystyle \Psi _{2}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }m^{\beta }{\bar {m}}^{\gamma }n^{\delta }\ ,}$

${\displaystyle \Psi _{3}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }n^{\beta }{\bar {m}}^{\gamma }n^{\delta }\ ,}$

${\displaystyle \Psi _{4}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }n^{\alpha }{\bar {m}}^{\beta }n^{\gamma }{\bar {m}}^{\delta }\ .}$

Nota: Si se adopta la convención${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$, las definiciones de${\displaystyle \Psi _{i}}$deberían tomar los valores opuestos; ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} es decir,${\displaystyle \Psi _{i}\mapsto -\Psi _{i}}$después de la transición de firma.

Según las definiciones anteriores, se deben determinar los tensores de Weyl antes de calcular los escalares de Weyl-NP mediante contracciones con los vectores de tétrada correspondientes. Sin embargo, este método no refleja completamente el espíritu del formalismo de Newman-Penrose . Como alternativa, se podrían calcular primero los coeficientes de espín y luego usar las ecuaciones de campo de Newman-Penrose para derivar los cinco escalares de Weyl-NP.

${\displaystyle \Psi _{0}=D\sigma -\delta \kappa -(\rho +{\bar {\rho }})\sigma -(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma +(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa \,,}$

${\displaystyle \Psi _{1}=D\beta -\delta \varepsilon -(\alpha +\pi )\sigma -({\bar {\rho }}-{\bar {\varepsilon }})\beta +(\mu +\gamma )\kappa +({\bar {\alpha }}-{\bar {\pi }})\varepsilon \,,}$

${\displaystyle \Psi _{2}={\bar {\delta }}\tau -\Delta \rho -(\rho {\bar {\mu }}+\sigma \lambda )+({\bar {\beta }}-\alpha -{\bar {\tau }})\tau +(\gamma +{\bar {\gamma }})\rho +\nu \kappa -2\Lambda \,,}$

${\displaystyle \Psi _{3}={\bar {\delta }}\gamma -\Delta \alpha +(\rho +\varepsilon )\nu -(\tau +\beta )\lambda +({\bar {\gamma }}-{\bar {\mu }})\alpha +({\bar {\beta }}-{\bar {\tau }})\gamma \,.}$

${\displaystyle \Psi _{4}=\delta \nu -\Delta \lambda -(\mu +{\bar {\mu }})\lambda -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\lambda +(3\alpha +{\bar {\beta }}+\pi -{\bar {\tau }})\nu \,.}$

dónde${\displaystyle \Lambda }$(utilizado para${\displaystyle \Psi _{2}}$) se refiere al escalar de curvatura NP ${\displaystyle \Lambda$ :={\frac {R}{24}}} que podría calcularse directamente a partir de la métrica espaciotemporal${\displaystyle g_{ab}}$.

Szekeres (1965) ^{[ 7 ]} dio una interpretación de los diferentes escalares de Weyl a grandes distancias:

${\displaystyle \Psi _{2}}$es un término "Coulomb", que representa el monopolo gravitacional de la fuente;

${\displaystyle \Psi _{1}}$&${\displaystyle \Psi _{3}}$son términos de radiación "longitudinal" entrante y saliente;

${\displaystyle \Psi _{0}}$&${\displaystyle \Psi _{4}}$son términos de radiación "transversal" entrante y saliente.

Para un espaciotiempo general asintóticamente plano que contiene radiación ( tipo Petrov I),${\displaystyle \Psi _{1}}$&${\displaystyle \Psi _{3}}$pueden transformarse a cero mediante una elección apropiada de tétrada nula. Por lo tanto, pueden considerarse cantidades de calibre.

Un caso particularmente importante es el escalar de Weyl.${\displaystyle \Psi _{4}}$Se puede demostrar que describe la radiación gravitacional saliente (en un espaciotiempo asintóticamente plano) como

${\displaystyle \Psi _{4}={\frac {1}{2}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)+i{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\ddot {h}}_{+}+i{\ddot {h}}_{\times }\ .}$

Aquí,${\displaystyle h_{+}}$y${\displaystyle h_{\times }}$son las polarizaciones "positiva" y "cruzada" de la radiación gravitacional, y los puntos dobles representan la doble diferenciación temporal.

Sin embargo, existen ciertos ejemplos en los que la interpretación anterior falla. ^{[ 8 ]} Se trata de soluciones exactas de vacío de las ecuaciones de campo de Einstein con simetría cilíndrica. Por ejemplo, un cilindro estático (infinitamente largo) puede producir un campo gravitatorio que no solo posee el componente de Weyl tipo Coulomb esperado.${\displaystyle \Psi _{2}}$pero también componentes de " onda transversal " no nulas${\displaystyle \Psi _{0}}$y${\displaystyle \Psi _{4}}$Además, las ondas de Einstein-Rosen puramente salientes tienen un componente de "onda transversal entrante" distinto de cero.${\displaystyle \Psi _{0}}$.

• Escalares de Weyl-NP y Ricci-NP