Pareja Wieferich

En matemáticas , un par de Wieferich es un par de números primos p y q que satisfacen

p ^{q − 1} ≡ 1 ( mod q ² ) y q ^{p − 1} ≡ 1 ( mod p ² )

Los pares de Wieferich reciben su nombre del matemático alemán Arthur Wieferich . Estos pares desempeñan un papel importante en la demostración de Preda Mihăilescu de 2002 ^{[ 1 ]} del teorema de Mihăilescu (anteriormente conocido como la conjetura de Catalan). ^{[ 2 ]}

Solo se conocen 7 pares de Wieferich: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) y (2903, 18787). (secuencia OEIS : A124121  y OEIS : A124122  en OEIS )

Una terna de Wieferich es una terna de números primos p , q y r que satisfacen

p ^{q − 1} ≡ 1 (mod q ² ), q ^{r − 1} ≡ 1 (mod r ² ), y r ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ).

Se conocen 17 tríos de Wieferich:

(2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (3, 1006003, 3188089), (5, 20771, 18043), (5, 20771, 950507), (5, 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (41, 138200401, 2953), (83, 13691, 821), (199, 1843757, 2251), (431, 2393, 54787) y (1657, 2281, 1667). (secuencias OEIS : A253683  , OEIS : A253684  y OEIS : A253685  en OEIS )

La secuencia de Barker o n -tupla de Wieferich es una generalización del par _{de Wieferich y la tripleta} de Wieferich. Son primos ( p1 , p2 , _p3 , ..., pn ₎ tales que

p ₁ ^{p ₂ − 1} ≡ 1 (mod p ₂ ² ), p ₂ ^{p ₃ − 1} ≡ 1 (mod p ₃ ² ), p ₃ ^{p ₄ − 1} ≡ 1 (mod p ₄ ² ), ..., p _{n −1} ^{p _n − 1} ≡ 1 (mod p _n ² ), p _n ^{p ₁ − 1} ≡ 1 (mod p ₁ ² ). ^{[ 5 ]}

Por ejemplo, (3, 11, 71, 331, 359) es una secuencia de Barker o una 5-tupla de Wieferich; (5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) es una secuencia de Barker o una 10-tupla de Wieferich.

Para la n -tupla de Wieferich más pequeña, véase (secuencia A271100 en el OEIS ) , para el conjunto ordenado de todas las tuplas de Wieferich, véase (secuencia A317721 en el OEIS ) .

La secuencia de Wieferich es un tipo especial de secuencia de Barker. Cada entero k > 1 tiene su propia secuencia de Wieferich. Para construir una secuencia de Wieferich de un entero k > 1, se empieza con a(1) = k , a( n ) = el primo p más pequeño tal que a( n − 1) ^{p − 1} = 1 (mod p ) pero a( n − 1) ≠ 1 o −1 (mod p ). Se conjetura que cada entero k > 1 tiene una secuencia de Wieferich periódica. Por ejemplo, la secuencia de Wieferich de 2:

2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., se obtiene un ciclo: {5, 20771, 18043}. (una tripleta de Wieferich)

La secuencia de Wieferich de 83:

83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., se obtiene un ciclo: {83, 4871}. (un par de Wieferich)

La secuencia de Wieferich de 59: (esta secuencia necesita más términos para ser periódica)

59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ... también obtiene 5.

Sin embargo, existen muchos valores de a(1) con estado desconocido. Por ejemplo, la secuencia de Wieferich de 3:

3, 11, 71, 47,  ? (No se conocen números primos de Wieferich en base 47).

La secuencia de Wieferich de 14:

14, 29,  ? (No se conocen números primos de Wieferich en base 29 excepto el 2, pero 2² ⁼ 4 divide a 29 − 1 = 28)

La secuencia de Wieferich de 39:

39, 8039, 617, 101, 1050139, 29,  ? (También obtiene 29)

Se desconoce si existen valores de k tales que la sucesión de Wieferich de k no se vuelva periódica. Finalmente, se desconoce si existen valores de k tales que la sucesión de Wieferich de k sea finita.

Cuando a( n − 1)= k , a( n ) será (comenzando con k = 2): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281,  ?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19,  ?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829,  ?, 257, 491531,  ?, ... (Para k = 21, 29, 47, 50, incluso el siguiente valor es desconocido)

• Wieferich primo
• Cociente de Fermat

• Bilu, Yuri F. (2004). "La conjetura del catalán (después de Mihăilescu)". Astérisque . 294 : vii, 1– 26. Zbl 1094.11014 . 
• Ernvall, Reijo; Metsänkylä, Tauno (1997). "Sobre la p- divisibilidad de los cocientes de Fermat" . Math . Comp. 66 (219): 1353–1365 . Bibcode : 1997MaCom..66.1353E . doi : 10.1090/S0025-5718-97-00843-0 . MR 1408373. Zbl 0903.11002 .  
• Steiner, Ray (1998). " Límites del número de clases y la ecuación de Catalan" . Math. Comp . 67 (223): 1317– 1322. Bibcode : 1998MaCom..67.1317S . doi : 10.1090/S0025-5718-98-00966-1 . MR 1468945. Zbl 0897.11009 .